生物數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法——第四章2

1、04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章1其它試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法介紹其它試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法介紹 均勻設(shè)計(jì)均勻設(shè)計(jì)混料設(shè)計(jì)混料設(shè)計(jì)全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章2均勻設(shè)計(jì)均勻設(shè)計(jì) 一、概述一、概述 例為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，考察六種重金屬例為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對(duì)老鼠壽命的影響，考察老鼠體內(nèi)某對(duì)老鼠壽命的影響，考察老鼠體內(nèi)某種細(xì)胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個(gè)因子，每一因子種細(xì)胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個(gè)因子，每一因子取取17個(gè)水平。試驗(yàn)如何設(shè)計(jì)？個(gè)水平。試驗(yàn)如何設(shè)計(jì)？ 如果采用正交設(shè)計(jì)，那么至少要進(jìn)行如果采

2、用正交設(shè)計(jì)，那么至少要進(jìn)行172=289次試驗(yàn)。如次試驗(yàn)。如果采用二次回歸正交設(shè)計(jì)那么也至少要進(jìn)行果采用二次回歸正交設(shè)計(jì)那么也至少要進(jìn)行26-1+26+1=45次試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)都較多。能否減少試驗(yàn)次數(shù)？均勻設(shè)計(jì)便次試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)都較多。能否減少試驗(yàn)次數(shù)？均勻設(shè)計(jì)便是針對(duì)這種情況提出的一種設(shè)計(jì)方法。是針對(duì)這種情況提出的一種設(shè)計(jì)方法。04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章3 均勻設(shè)計(jì)是用均勻設(shè)計(jì)表安排試驗(yàn)，而用回歸均勻設(shè)計(jì)是用均勻設(shè)計(jì)表安排試驗(yàn)，而用回歸分析進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法分析進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。 基本想法是要使試驗(yàn)點(diǎn)在因子空間中具有較好基本想法是要使試驗(yàn)點(diǎn)在因子空間中具有較好的

3、均勻分散性。的均勻分散性。 適用范圍：變量取值范圍大、水平多（一般不適用范圍：變量取值范圍大、水平多（一般不少于少于5）的場(chǎng)合）的場(chǎng)合 。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章4二、二、均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表 均勻設(shè)計(jì)表是均勻設(shè)計(jì)的基本工具，它是用數(shù)論均勻設(shè)計(jì)表是均勻設(shè)計(jì)的基本工具，它是用數(shù)論方法編制的。方法編制的。 1.1. 均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表U Un n( (q q m m) ) 均勻設(shè)計(jì)表用代號(hào)均勻設(shè)計(jì)表用代號(hào)U Un n( (q q m m) )表示，表示，U U表示均勻設(shè)表示均勻設(shè)計(jì)表，它有計(jì)表，它有n n行，行，m m列，每列的水平數(shù)為列，每列的水平數(shù)為q q。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)

4、第八章5均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表U7(76)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1該表的每一列都是該表的每一列都是 的一個(gè)特定排列。的一個(gè)特定排列。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章6 該表的特點(diǎn)是：該表的特點(diǎn)是： （1）對(duì)任意的）對(duì)任意的n都可以構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)表，并且行數(shù)都可以構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)表，并且行數(shù)n與水與水平數(shù)平數(shù)q相同，因此試驗(yàn)次數(shù)少；相同，因此試驗(yàn)次數(shù)少； （2）列數(shù)可按下面規(guī)則給出：）列數(shù)可按下面規(guī)則給出： 當(dāng)當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)，列數(shù)最多等于為素?cái)?shù)時(shí)，列數(shù)最多等于n-1； 譬如上面譬如上面n=7，所以列數(shù)最多為，所以列數(shù)最多為n-1=6列；列； 當(dāng)當(dāng)n是合數(shù)時(shí)，設(shè)是合數(shù)時(shí)，設(shè) ，其中

5、，其中 為素為素?cái)?shù)，數(shù)， 為正整數(shù)，那么列數(shù)為為正整數(shù)，那么列數(shù)為 譬如譬如n=9，由于，由于9=32，所以列數(shù)為，所以列數(shù)為 列。列。 klkllpppn2121kppp,21klll,21kpppn111111216311904-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章7 2.另一類均勻設(shè)計(jì)表另一類均勻設(shè)計(jì)表 對(duì)于對(duì)于n為合數(shù)的表，一般列數(shù)較少，不太適用。為合數(shù)的表，一般列數(shù)較少，不太適用。 譬如譬如n=6時(shí)，由于時(shí)，由于n=23，所以列數(shù)只有，所以列數(shù)只有 列。列。 因?yàn)榫鶆蛟O(shè)計(jì)表因?yàn)榫鶆蛟O(shè)計(jì)表U7(76)最后一行全是最后一行全是“7”組成的，故劃去這組成的，故劃去這一行，相當(dāng)于減少一個(gè)水平。所以建議用

6、一行，相當(dāng)于減少一個(gè)水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行劃去最后一行的方法得到，為區(qū)別起見(jiàn)，記為的方法得到，為區(qū)別起見(jiàn)，記為23112116)(*mnqU)6(6*6U04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章8三、三、 均勻設(shè)計(jì)的使用表均勻設(shè)計(jì)的使用表 1.在用均勻設(shè)計(jì)表安排試驗(yàn)時(shí)，因?yàn)槿我鈨闪械木谟镁鶆蛟O(shè)計(jì)表安排試驗(yàn)時(shí)，因?yàn)槿我鈨闪械木鶆蛐允遣煌?，用哪些列是有講究的。勻性是不同的，用哪些列是有講究的。 譬如用譬如用 安排兩個(gè)因子時(shí)，用安排兩個(gè)因子時(shí)，用1 1，3 3列與用列與用1 1，6 6列的均勻性是不同的，試驗(yàn)點(diǎn)在平面上的分布見(jiàn)圖。列的均勻性是不同的，試驗(yàn)點(diǎn)在平面上的分布見(jiàn)圖。前者較均勻。

7、前者較均勻。 )6(6*6U04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章92.什么是均勻設(shè)計(jì)中的什么是均勻設(shè)計(jì)中的“均勻性均勻性”？ 用用“偏差偏差”來(lái)度量，偏差愈小均勻性愈好。來(lái)度量，偏差愈小均勻性愈好。偏差的定義如下：偏差的定義如下： （1）把均勻設(shè)計(jì)表）把均勻設(shè)計(jì)表Un(n m)中每一行看成中每一行看成m維空間中的一個(gè)點(diǎn)，維空間中的一個(gè)點(diǎn)，其其m個(gè)坐標(biāo)必是集合個(gè)坐標(biāo)必是集合 中某個(gè)數(shù)。中某個(gè)數(shù)。 （2）用線性變換將）用線性變換將 均勻地變換到區(qū)間均勻地變換到區(qū)間0，1中的某中的某個(gè)數(shù)。個(gè)數(shù)。 此線性變換為：此線性變換為： Un(n m)中中n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)變換成個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)變換成C m=0，1m中的中的n個(gè)點(diǎn)。

8、個(gè)點(diǎn)。 考慮考慮Un(n m)中中n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻性等價(jià)于考慮在個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻性等價(jià)于考慮在 0，1m中的中的均勻性。均勻性。 n, 2 , 1ninii, 2 , 1212，n, 2 , 104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章10 （3）設(shè)）設(shè) 是是0，1m中任一點(diǎn)，則中任一點(diǎn)，則 為多維矩形的體積，且為多維矩形的體積，且 。 （4）記）記 為為 n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 落在多維矩形的個(gè)數(shù)，落在多維矩形的個(gè)數(shù)，則則 表示有多少比例的點(diǎn)落在矩形中。表示有多少比例的點(diǎn)落在矩形中。 若此若此n個(gè)點(diǎn)在個(gè)點(diǎn)在0，1m中均勻散布，則中均勻散布，則 與該多維矩形與該多維矩形的體積的體積 相差不大。相差不大。 （5）設(shè)）設(shè)

9、是是0，1m中的中的n個(gè)點(diǎn)，則稱個(gè)點(diǎn)，則稱 為點(diǎn)集為點(diǎn)集 在在0，1m中的偏差。中的偏差。xnnxxx,21nnx/nnx/nxxx,21nxxx,2104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章11 3.3.使用表使用表 偏差偏差D可對(duì)任一均勻設(shè)計(jì)表可對(duì)任一均勻設(shè)計(jì)表 或或 中任意二列、任意三中任意二列、任意三列、列、進(jìn)行計(jì)算，從中選出使進(jìn)行計(jì)算，從中選出使D達(dá)到最小的列作為使用列，從達(dá)到最小的列作為使用列，從而形成使用表。而形成使用表。 如下表就是如下表就是 的使用表，的使用表，s s表示因子數(shù)。表示因子數(shù)。均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表 的使用表的使用表 若從中選出若從中選出5列使用，就會(huì)使偏差列使用，就會(huì)使偏

10、差D過(guò)大，故建議不使用，過(guò)大，故建議不使用，把使用表中不出現(xiàn)的列剔去，并重新編號(hào)，可得把使用表中不出現(xiàn)的列剔去，并重新編號(hào)，可得 及其及其使用表。使用表。 nU*nU)7(47U)7(67U)7(67U04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章12 均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表 及其使用表及其使用表 )7(47U 使用表說(shuō)明：當(dāng)安排兩個(gè)因子時(shí)，第使用表說(shuō)明：當(dāng)安排兩個(gè)因子時(shí)，第1、3列是最佳的選擇，列是最佳的選擇，若安排若安排4個(gè)因子，第個(gè)因子，第1、2、3、4是最佳選擇。是最佳選擇。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章13 均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表U7(74)與與 的使用表的使用表 )7(4*7U 由表上的由表上的D值

11、可知，在表上加值可知，在表上加“*”的比不加的比不加“*”的均勻，的均勻，因此在實(shí)際中我們首先使用加因此在實(shí)際中我們首先使用加“*”的均勻設(shè)計(jì)表。但是可安的均勻設(shè)計(jì)表。但是可安排的因子較少。排的因子較少。04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章14四、試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析的步驟四、試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析的步驟 例例 為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，考察六種重金屬為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對(duì)老鼠壽命的影響，為此考察對(duì)老鼠壽命的影響，為此考察老鼠體內(nèi)某種細(xì)胞的死亡率，為了了解誤差，每一水平組老鼠體內(nèi)某種細(xì)胞的死亡率，為了了解誤差，每一水平組合重復(fù)三次。合重復(fù)三次。

12、04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章15（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì)（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì) 1明確試驗(yàn)?zāi)康模毫私饬N重金屬明確試驗(yàn)?zāi)康模毫私饬N重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對(duì)老鼠壽命的影響。對(duì)老鼠壽命的影響。 2明確試驗(yàn)指標(biāo)：老鼠體內(nèi)某種細(xì)胞的死亡率。明確試驗(yàn)指標(biāo)：老鼠體內(nèi)某種細(xì)胞的死亡率。 3確定因子與水平：這里因子都是定量的。水平可以是等確定因子與水平：這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的，也可以是不等間隔的。間隔的，也可以是不等間隔的。 本例中有六種重金屬可看作六個(gè)因子，每一因子取本例中有六種重金屬可看作六個(gè)因子，每一因子取17個(gè)水平，個(gè)水平，其水平值均為：（單位：其水平值均為：（單位：ppm） 0.

13、01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20注意水平必須按順序排列（也可以將水平從小到大按順時(shí)鐘方注意水平必須按順序排列（也可以將水平從小到大按順時(shí)鐘方向排成一個(gè)圈，將任一值作為一水平，其它水平按順時(shí)鐘方向向排成一個(gè)圈，將任一值作為一水平，其它水平按順時(shí)鐘方向命名）。命名）。04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章16 4選擇均勻設(shè)計(jì)表，利用使用表進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)選擇均勻設(shè)計(jì)表，利用使用表進(jìn)行表頭設(shè)計(jì) 由于這里考察六個(gè)因子，每一因子取由于這里考察六個(gè)因子，每一因子取17個(gè)水平，可以用表個(gè)水平，可以用表U17（1716），六個(gè)因子按使用表的規(guī)定分別置于

14、），六個(gè)因子按使用表的規(guī)定分別置于1，2，3，5，7，8列上，得到如下試驗(yàn)計(jì)劃（見(jiàn)表列上，得到如下試驗(yàn)計(jì)劃（見(jiàn)表8.1.6），表中括號(hào)內(nèi)的），表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)是水平編號(hào)，括號(hào)外的數(shù)據(jù)是水平取值。數(shù)據(jù)是水平編號(hào)，括號(hào)外的數(shù)據(jù)是水平取值。（二）進(jìn)行試驗(yàn)，獲得試驗(yàn)結(jié)果（二）進(jìn)行試驗(yàn)，獲得試驗(yàn)結(jié)果 本例在每一水平組合下進(jìn)行三次重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果列在本例在每一水平組合下進(jìn)行三次重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果列在表表8.1.6的最后三列上。的最后三列上。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章1704-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章18 （三）數(shù)據(jù)分析：（三）數(shù)據(jù)分析： 對(duì)均勻設(shè)計(jì)所得到的試驗(yàn)結(jié)果通常采用回歸分析方法，建立對(duì)均勻設(shè)

15、計(jì)所得到的試驗(yàn)結(jié)果通常采用回歸分析方法，建立回歸方程。設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中有回歸方程。設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中有p個(gè)因子個(gè)因子 。 若只考慮若只考慮y關(guān)于的線性關(guān)系，則可用多元線性回歸方法建立關(guān)于的線性關(guān)系，則可用多元線性回歸方法建立回歸方程，并對(duì)每一系數(shù)作顯著性檢驗(yàn)，然后逐個(gè)刪去不顯著回歸方程，并對(duì)每一系數(shù)作顯著性檢驗(yàn)，然后逐個(gè)刪去不顯著的變量，直到所有系數(shù)顯著為止。的變量，直到所有系數(shù)顯著為止。 若考慮若考慮y關(guān)于的二次回歸，除每一變量的線性項(xiàng)外，還要考關(guān)于的二次回歸，除每一變量的線性項(xiàng)外，還要考慮其二次項(xiàng)、變量間的乘積項(xiàng)，那么回歸系數(shù)就有慮其二次項(xiàng)、變量間的乘積項(xiàng)，那么回歸系數(shù)就有在本例中，在本例中，p

16、=6，回歸系數(shù)有，回歸系數(shù)有28個(gè)，超過(guò)試驗(yàn)次數(shù)個(gè)，超過(guò)試驗(yàn)次數(shù)n=17，這時(shí)，這時(shí)只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項(xiàng)建立回歸方程。只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項(xiàng)建立回歸方程。pxxx,212)2)(1(122pppp04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章19 在本例中，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)為死亡率與含量的對(duì)數(shù)有關(guān)，在本例中，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)為死亡率與含量的對(duì)數(shù)有關(guān)，因此先將含量進(jìn)行變換（這里將六個(gè)自變量分別取對(duì)數(shù)），因此先將含量進(jìn)行變換（這里將六個(gè)自變量分別取對(duì)數(shù)），并考慮他們的二次項(xiàng)、交叉乘積項(xiàng)等，用逐步回歸方法，在并考慮他們的二次項(xiàng)、交叉乘積項(xiàng)等，用逐步回歸方法，在顯著性水平顯著性水平0.05上

17、挑選變量，所建立的方程如下上挑選變量，所建立的方程如下 ：PbZnCrZnNiZnZnCdNiCuCdNiCuCdylnln384. 0lnln401. 0 lnln393. 0lnln576. 0)(ln710. 0 )(ln367. 0)(ln670. 0ln29. 2ln27. 5ln83. 49 .2722204-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章20對(duì)方程作失擬檢驗(yàn)與顯著性檢驗(yàn)的方差分析表如下：對(duì)方程作失擬檢驗(yàn)與顯著性檢驗(yàn)的方差分析表如下：04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章21 對(duì)每一回歸系數(shù)的檢驗(yàn)的對(duì)每一回歸系數(shù)的檢驗(yàn)的F值分別是值分別是159.52，225.00，40.45，19.18，4.2

18、4，20.43，8.58，4.84，8.76，8.35，在顯著性水平在顯著性水平0.05時(shí)，時(shí)， ，故上述諸系數(shù)，故上述諸系數(shù)都是顯著的。都是顯著的。 所以上面所得到的方程是可信的。所以上面所得到的方程是可信的。 此方程對(duì)應(yīng)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為此方程對(duì)應(yīng)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為 ，復(fù)相關(guān)系，復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方是數(shù)的平方是0.948。 此方程反映了該種細(xì)胞的死亡率與六種重金屬的關(guān)系。從此方程反映了該種細(xì)胞的死亡率與六種重金屬的關(guān)系。從方程可以看出方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會(huì)增加該種細(xì)胞的死亡的含量增加會(huì)增加該種細(xì)胞的死亡率，率，Zn與與Cd、Ni、Cr、Pb的結(jié)合對(duì)該種細(xì)胞的死亡率有較大的

19、結(jié)合對(duì)該種細(xì)胞的死亡率有較大影響。影響。 11. 4)40, 1 (95. 0F04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章22混料設(shè)計(jì)混料設(shè)計(jì) 一、一、概念概念 1.混料試驗(yàn)混料試驗(yàn) 背景：有些產(chǎn)品是通過(guò)混合多種成分制造出來(lái)的，每種成背景：有些產(chǎn)品是通過(guò)混合多種成分制造出來(lái)的，每種成分的多少是用相對(duì)量表示的，這種相對(duì)量就是所用成分在總分的多少是用相對(duì)量表示的，這種相對(duì)量就是所用成分在總量中所占比例。通常需要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定使性能達(dá)到最好的量中所占比例。通常需要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定使性能達(dá)到最好的每種成分的比例。然而在這種試驗(yàn)中各成分的比例不能自由每種成分的比例。然而在這種試驗(yàn)中各成分的比例不能自由變動(dòng)，它們受到一

20、個(gè)約束：所有成分比例的和為變動(dòng)，它們受到一個(gè)約束：所有成分比例的和為1。 這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為混料設(shè)計(jì)。這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為混料設(shè)計(jì)。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章23 定義：定義：設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中有設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中有p個(gè)因子，用個(gè)因子，用 表示，表示，若試驗(yàn)中每一因子的取值滿足如下條件：若試驗(yàn)中每一因子的取值滿足如下條件：那么稱這一試驗(yàn)為混料試驗(yàn)。那么稱這一試驗(yàn)為混料試驗(yàn)。 pxxx,2104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章242.單形、單形的頂點(diǎn)、單形點(diǎn)的坐標(biāo)單形、單形的頂點(diǎn)、單形點(diǎn)的坐標(biāo) 由于在混料設(shè)計(jì)中，各因子的取值是有限制的，因此需要對(duì)由于在混料設(shè)計(jì)中，各因子的取值是有限制的，因此需要對(duì)其圖形及其一

21、些點(diǎn)給出若干專有名詞。其圖形及其一些點(diǎn)給出若干專有名詞。 （1）單形與單形的頂點(diǎn)）單形與單形的頂點(diǎn) 方程方程 的圖形是一個(gè)的圖形是一個(gè)p維平面，而（維平面，而（ ）為）為p維平維平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。在該面上點(diǎn)的坐標(biāo)。在該p維平面上滿足維平面上滿足 的區(qū)域構(gòu)成的區(qū)域構(gòu)成的圖形稱為單形。的圖形稱為單形。 若單形上點(diǎn)的若單形上點(diǎn)的p個(gè)坐標(biāo)中有一個(gè)為個(gè)坐標(biāo)中有一個(gè)為1，其它都為，其它都為0，則稱這種，則稱這種點(diǎn)為單形的頂點(diǎn)，即點(diǎn)為單形的頂點(diǎn)，即p維單形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為維單形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為11piixpxxx,21) 1 , 0 , 0( ,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (04-08-01試

22、驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章25 p=3時(shí)，其圖形為三維空間中的一個(gè)平面上的等邊三角形，時(shí)，其圖形為三維空間中的一個(gè)平面上的等邊三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0,0），），(0,1,0)，(0,0,1)，從而該，從而該等邊三角形就是三維空間上的一個(gè)單形。等邊三角形就是三維空間上的一個(gè)單形。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章26 p=4時(shí)的單形是三維空間中的一個(gè)的正四面體。時(shí)的單形是三維空間中的一個(gè)的正四面體。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章27（ 2）單形上點(diǎn)的坐標(biāo)單形上點(diǎn)的坐標(biāo) 我們可以在單形上建立坐標(biāo)系。我們可以在單形上建立坐標(biāo)系。 在在p p=3=3時(shí)，單形是平面上的一個(gè)正三

23、角形，設(shè)其高為時(shí)，單形是平面上的一個(gè)正三角形，設(shè)其高為1 1，記其三個(gè)頂點(diǎn)分別為記其三個(gè)頂點(diǎn)分別為A A、B B、C C，它們的坐標(biāo)分別是，它們的坐標(biāo)分別是(1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，(0,0,1)(0,0,1)。又設(shè)。又設(shè)P P 是該三角形的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，是該三角形的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，定義定義P P到邊到邊BCBC的距離為的距離為 ，到邊，到邊ACAC的距離為的距離為 ，到邊，到邊ABAB的的距離為距離為 ，此時(shí)三個(gè)距離之和恰為該正三角形的高，即，此時(shí)三個(gè)距離之和恰為該正三角形的高，即有有 。 這種坐標(biāo)系就是這種坐標(biāo)系就是p p=3=3時(shí)單形上的坐標(biāo)系，時(shí)單形上的坐標(biāo)系，

24、 便是單便是單形上點(diǎn)在這個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。形上點(diǎn)在這個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。 ),(321xxx1x2x3x1321xxx),(321xxx04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章2804-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章293. 混料試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)模型混料試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)模型 設(shè)試驗(yàn)中所考察的指標(biāo)為y，那么y與p個(gè)因子 的關(guān)系可以表示為： 這里 是隨機(jī)誤差，通常假定它服從 。 稱 為響應(yīng)函數(shù)，其圖形也稱為響應(yīng)曲面，當(dāng)響應(yīng)函數(shù)中的未知參數(shù)用估計(jì)值代替后便得到回歸方程，也稱響應(yīng)曲面方程。 由于 形式往往是未知的，通常用 的一個(gè)d次多項(xiàng)式表示，此時(shí)一個(gè)混料試驗(yàn)由因子數(shù)p與響應(yīng)多項(xiàng)式的次數(shù)d來(lái)確定，以后用p,d表示一個(gè)混料試驗(yàn)。),

25、(21pxxxfypxxx,21), 0(2N),(21pxxxfEy),(21pxxxfpxxx,2104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章30 利用混料試驗(yàn)的特點(diǎn)，多項(xiàng)式中的參數(shù)可以得到簡(jiǎn)化，此時(shí)利用混料試驗(yàn)的特點(diǎn)，多項(xiàng)式中的參數(shù)可以得到簡(jiǎn)化，此時(shí)給出的多項(xiàng)式模型稱為給出的多項(xiàng)式模型稱為Scheffe正則多項(xiàng)式模型正則多項(xiàng)式模型 。 對(duì)對(duì)p因子一次混料試驗(yàn)因子一次混料試驗(yàn)p,1， Scheffe利用利用 把把p元元一次一次多項(xiàng)式模型化為多項(xiàng)式模型化為Scheffe一次一次正則多項(xiàng)式模型：正則多項(xiàng)式模型： p因子二次混料試驗(yàn)因子二次混料試驗(yàn)p,2的的Scheffe二次二次正則多項(xiàng)式模型為：正則多項(xiàng)式

26、模型為： p因子三次混料試驗(yàn)因子三次混料試驗(yàn)p,3的的Scheffe三次三次正則多項(xiàng)式模型為：正則多項(xiàng)式模型為： p因子四次混料試驗(yàn)因子四次混料試驗(yàn)p,4的的Scheffe四次四次正則多項(xiàng)式模型為：正則多項(xiàng)式模型為：11piixppxxxEy2211jijiijpiiixxxEy1kjikjiijkjijiijpiiixxxxxxEy1lkjilkjiijklkjikjiijkjijiijpiiixxxxxxxxxxEy104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章31 對(duì)混料設(shè)計(jì)有一些特殊的設(shè)計(jì)方法，下面介紹兩種設(shè)計(jì)對(duì)混料設(shè)計(jì)有一些特殊的設(shè)計(jì)方法，下面介紹兩種設(shè)計(jì)方法及其相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析方法。方法及其相應(yīng)的

27、數(shù)據(jù)分析方法。04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章32二、單形格子設(shè)計(jì)二、單形格子設(shè)計(jì) 1.試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法 （1）p,1 的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì) 在在 p,1 中僅含中僅含p個(gè)未知參數(shù)，這時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)是由個(gè)未知參數(shù)，這時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)是由p 個(gè)個(gè)單形頂點(diǎn)組成的設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)方案如下：?jiǎn)涡雾旤c(diǎn)組成的設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)方案如下： 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章33（2） p,2 的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì) 在在p,2中含中含p+p(p-1)/2=p(p+1)/2個(gè)未知參數(shù)，這時(shí)的單個(gè)未知參數(shù)，這時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)由兩類點(diǎn)組成：一類點(diǎn)是形格子設(shè)計(jì)由兩類點(diǎn)組成：一類點(diǎn)是p 個(gè)單形頂點(diǎn)，另一個(gè)單形頂點(diǎn)，另一類點(diǎn)是兩個(gè)坐標(biāo)為類點(diǎn)是

28、兩個(gè)坐標(biāo)為1/2，其它坐標(biāo)為，其它坐標(biāo)為0的點(diǎn)，這類點(diǎn)共有的點(diǎn)，這類點(diǎn)共有p(p-1)/2個(gè)，其設(shè)計(jì)方案如下：個(gè)，其設(shè)計(jì)方案如下： 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章34（3）一般來(lái)講，單形格子設(shè)計(jì)具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：）一般來(lái)講，單形格子設(shè)計(jì)具有如下兩個(gè)特點(diǎn)： 1）每個(gè)）每個(gè)p，d設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)恰好等于響應(yīng)函數(shù)中未知參設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)恰好等于響應(yīng)函數(shù)中未知參數(shù)個(gè)數(shù)，即此為飽和設(shè)計(jì)。其試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)稱地排列在單形上，構(gòu)數(shù)個(gè)數(shù)，即此為飽和設(shè)計(jì)。其試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)稱地排列在單形上，構(gòu)成單形的一個(gè)格子，每一點(diǎn)的成單形的一個(gè)格子，每一點(diǎn)的p個(gè)坐標(biāo)代表個(gè)坐標(biāo)代表p個(gè)因子的成分比例，個(gè)因子的成分比例，其和為其和為1。 2）試驗(yàn)點(diǎn)

29、的分量與模型的次數(shù)）試驗(yàn)點(diǎn)的分量與模型的次數(shù)d有關(guān)，每一成分有關(guān)，每一成分xi的取值為的取值為 1/d的倍數(shù)，即只能取的倍數(shù)，即只能取0，1/d，2/d，(d - -1)/d，1，并且在，并且在設(shè)計(jì)中因子成分量的各種配合都要用到。設(shè)計(jì)中因子成分量的各種配合都要用到。 注意：這里各注意：這里各xi可以看成是類似于回歸設(shè)計(jì)中一種編碼值?？梢钥闯墒穷愃朴诨貧w設(shè)計(jì)中一種編碼值。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章35一種火箭推進(jìn)劑由三種成分一種火箭推進(jìn)劑由三種成分A、B、C混合制成，這里混合制成，這里A表示表示為固定劑，為固定劑，B為氧化劑，為氧化劑，C表示燃料。采用表示燃料。采用3，2單形格子設(shè)單形格子

30、設(shè)計(jì)，具體見(jiàn)表計(jì)，具體見(jiàn)表8.2.4。 在在A、B、C下的是編碼值下的是編碼值x1，x2，x3，右邊面的實(shí)際成分用，右邊面的實(shí)際成分用z1，z2，z3表示，他們是根據(jù)如下要求給出的：表示，他們是根據(jù)如下要求給出的： 首先找出各變量首先找出各變量xi的最小成分值的最小成分值ai，譬如在本例中，譬如在本例中a1=0.2，a2=0.4，a3=0.2，他們對(duì)應(yīng)的編碼值應(yīng)該是，他們對(duì)應(yīng)的編碼值應(yīng)該是0，那么編碼公式，那么編碼公式為：為： 也即給出了編碼值后，實(shí)際成分值可以用下式獲得：也即給出了編碼值后，實(shí)際成分值可以用下式獲得： 3 , 2 , 1131iaazxiiiii，3 , 2 , 1131ix

31、aaziiiii，04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章3604-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章37 一般在一般在p個(gè)因子的場(chǎng)合，實(shí)際值與編碼值的轉(zhuǎn)換公式為：個(gè)因子的場(chǎng)合，實(shí)際值與編碼值的轉(zhuǎn)換公式為： 其中其中ai是變量是變量xi的最小成分值。的最小成分值。 pixaazipiiii, 2 , 111，04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章382.數(shù)據(jù)分析方法數(shù)據(jù)分析方法 用最小二乘的方法可以求出參數(shù)的估計(jì)，但是由于是飽和用最小二乘的方法可以求出參數(shù)的估計(jì)，但是由于是飽和設(shè)計(jì)，所以殘差平方和為設(shè)計(jì)，所以殘差平方和為0，因此不能估計(jì)誤差方差。，因此不能估計(jì)誤差方差。 （1）p,1單形格子設(shè)計(jì)單形格子設(shè)計(jì) 記記p個(gè)試驗(yàn)

32、的結(jié)果分別為個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果分別為 ，為使殘差平方和為，為使殘差平方和為0，所以每一點(diǎn)的殘差都是所以每一點(diǎn)的殘差都是0，從而由數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)式便可以方便地，從而由數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)式便可以方便地得到參數(shù)的最小二乘估計(jì)。得到參數(shù)的最小二乘估計(jì)。 對(duì)對(duì)p,1單形格子設(shè)計(jì)來(lái)講，由于單形格子設(shè)計(jì)來(lái)講，由于 ，為使，為使殘差為殘差為0，則得，則得 的估計(jì)（記為的估計(jì)（記為 ）為：）為： pyyy,21pjyjjj, 2 , 1,jjbpjybjj, 2 , 1，04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章39 （2）p,2單形格子設(shè)計(jì)單形格子設(shè)計(jì) 例例8.2.2 3，2單形格子設(shè)計(jì)的參數(shù)估計(jì) 3，2單形格子設(shè)計(jì)的方案與試驗(yàn)結(jié)果可以具

33、體表示如下： 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章40數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)式：數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)式： 6233265133154122144121214121214121213 , 2 , 1 yyyiyiii，為使每一點(diǎn)殘差為為使每一點(diǎn)殘差為0，從上述第一個(gè)表達(dá)式可以得知：，從上述第一個(gè)表達(dá)式可以得知： 3 , 2 , 1,iybiii從第二個(gè)表達(dá)式可以得到：從第二個(gè)表達(dá)式可以得到： 2142141212224)2121(4yyyyb同理有：同理有：32623233151313224224yyybyyyb04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章41三、單形重心設(shè)計(jì)三、單形重心設(shè)計(jì) 在p，d單形格子設(shè)計(jì)中，當(dāng)d2時(shí)某些混料設(shè)計(jì)

34、中格子點(diǎn)的非零坐標(biāo)并不相等，這種非對(duì)稱性會(huì)使某些點(diǎn)對(duì)回歸系數(shù)的估計(jì)產(chǎn)生較大的影響，為改進(jìn)這一點(diǎn)，Scheffe提出了一種只考慮有相等非零坐標(biāo)的單形重心設(shè)計(jì)。 Scheffe考慮的模型為 ppkjikjiijkjijiijpiiixxxxxxxxxEy2112104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章421.試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章43 這些試驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)不依賴于這些試驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)不依賴于d，通常我們選用飽和設(shè)計(jì)。在，通常我們選用飽和設(shè)計(jì)。在d=1或或2時(shí)，單形重心設(shè)計(jì)與單形格子是設(shè)計(jì)一致的，但是時(shí)，單形重心設(shè)計(jì)與單形格子是設(shè)計(jì)一致的，但是d2后就不相同了。后就不相同了。 譬如譬

35、如p p=3=3時(shí)，時(shí)，33，33單形重心設(shè)計(jì)共做單形重心設(shè)計(jì)共做2p-1=7=7次試驗(yàn)，試驗(yàn)次試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)如下：點(diǎn)如下： 若要建立若要建立3，2單形重心設(shè)計(jì)，那么可以省略第七號(hào)試驗(yàn)（從單形重心設(shè)計(jì)，那么可以省略第七號(hào)試驗(yàn)（從下面的數(shù)據(jù)分析可以知道，這一試驗(yàn)是為估計(jì)下面的數(shù)據(jù)分析可以知道，這一試驗(yàn)是為估計(jì) 的系數(shù)而的系數(shù)而設(shè)立的），只進(jìn)行六次試驗(yàn)，這時(shí)與單形格子設(shè)計(jì)就相同了。設(shè)立的），只進(jìn)行六次試驗(yàn)，這時(shí)與單形格子設(shè)計(jì)就相同了。 321xxx04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章44 2.數(shù)據(jù)分析方法數(shù)據(jù)分析方法 由于現(xiàn)在仍是飽和設(shè)計(jì)，所以我們只能求得每一個(gè)殘差為由于現(xiàn)在仍是飽和設(shè)計(jì)，所以我們只能求得

36、每一個(gè)殘差為0的參數(shù)估計(jì)。的參數(shù)估計(jì)。 例：例：3，3單形重心設(shè)計(jì)單形重心設(shè)計(jì) 其模型為其模型為 3211231xxxxxxEyjijiijpiii04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章4504-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章46全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)中有設(shè)一個(gè)試驗(yàn)中有k 個(gè)因子，第個(gè)因子，第i個(gè)因子有個(gè)因子有 個(gè)水平，個(gè)水平， 。記一切可能的水平組合為記一切可能的水平組合為n個(gè)，那么個(gè)，那么如果每一水平組合都進(jìn)行了試驗(yàn)，那么就是全因子試驗(yàn)。如果每一水平組合都進(jìn)行了試驗(yàn)，那么就是全因子試驗(yàn)。 在在k k22的情況下，我們即使在每一水平組合下進(jìn)行了一次試的情況下，我們即使在每一水

37、平組合下進(jìn)行了一次試驗(yàn)，在不考察三級(jí)交互作用場(chǎng)合，還有足夠的自由度用于對(duì)每驗(yàn)，在不考察三級(jí)交互作用場(chǎng)合，還有足夠的自由度用于對(duì)每一因子是否顯著、任意兩個(gè)因子的交互作用是否顯著進(jìn)行分析。一因子是否顯著、任意兩個(gè)因子的交互作用是否顯著進(jìn)行分析。 本節(jié)僅用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析方法。本節(jié)僅用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明全因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析方法。 irki, 2 , 1kiirn104-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章47 例例 某合金的一種物理性能指標(biāo)某合金的一種物理性能指標(biāo)y受三種因子受三種因子A、B、C的影的影響，為了尋找其規(guī)律進(jìn)行試驗(yàn)。在試驗(yàn)中，因子響，為了尋找其規(guī)律進(jìn)行試驗(yàn)。在試驗(yàn)中，因子A、B均取三均取三水平，因子水平，因子C取四水平，共有取四水平，共有334=36種不同的水平組合，種不同的水平組合，在每一水平組合下進(jìn)行一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果（物理性能指標(biāo)）在每一水平組合下進(jìn)行一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果（物理性能指標(biāo)）如下：如下： 表表8.3.1 試驗(yàn)結(jié)果表試驗(yàn)結(jié)果表 要研究三個(gè)因子及兩兩因子間的交互作用對(duì)物理性能指標(biāo)要研究三個(gè)因子及兩兩因子間的交互作用對(duì)物理性能指標(biāo)有無(wú)顯著影響。有無(wú)顯著影響。 04-08-01試驗(yàn)設(shè)計(jì)第八章48其中其中 是一般