2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案 - 打印版

1、2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 班級 姓名 成績 供稿人：李錦揚(yáng)一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1設(shè)非零實(shí)數(shù)，滿足則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）2已知，是實(shí)常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則下列關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個(gè)實(shí)根的是（ ）（A）（B）（C）（D）（第3題）3如圖，在RtABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長

2、度中，不一定是有理數(shù)的為（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第4題）4如圖，已知ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3（B）4（C）6（D）85對于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：，且，則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題6設(shè)，b是的小數(shù)部分，則的值為 （第7題）7如圖，點(diǎn)D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，已知CDF，BFE，BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是 8已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為 9實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：

3、一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為 10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元?jiǎng)t他至少賣出了 支圓珠筆三、解答題（第11題）11如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OBOC3OA直線與軸交于點(diǎn)D求DBC-CBE12設(shè)的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)13設(shè)，是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“

4、魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案一、選擇題1設(shè)非零實(shí)數(shù)，滿足則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故于是，所以2已知，是實(shí)常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則下列關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個(gè)實(shí)根的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，則因?yàn)?，且，所以，?，于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是，即（第3題

5、）3如圖，在RtABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3題答題）因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD是有理數(shù)由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)（第4題）4如圖，已知ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因?yàn)?/p>

6、DCFE是平行四邊形，所以DE/CF，且EF/DC（第4題答題）連接CE，因?yàn)镈E/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原來陰影部分的面積等于ACE的面積連接AF，因?yàn)镋F/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因?yàn)?，所以SABC = 4SACF故陰影部分的面積為65對于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：，且，則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】設(shè)，則，于是二、填空題6設(shè)，b是的小數(shù)部分，則的值為 【答案】【解答】由于，故，因此（第7題）7如圖，點(diǎn)D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，已知CDF，BFE，BCF的面積分別

7、是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是 【答案】【解答】如圖，連接AF，則有：（第7題答題），解得，所以，四邊形AEFD的面積是8已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為 【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，（i）若，則，從而可得；（ii）若，則，從而可得綜上知的最大值為9實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為 【答案】，（為任意實(shí)數(shù)）【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知若，則，進(jìn)而若，則，有（為任意實(shí)數(shù)）經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組與（為任意實(shí)數(shù)）滿足條件1

8、0小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元?jiǎng)t他至少賣出了 支圓珠筆【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時(shí)三、解答題（第11題）11如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OBOC3OA直線與軸交于點(diǎn)D求DBC-CBE【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過點(diǎn)B（第11題答題）將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得5分拋物線的頂點(diǎn)為(1，)于

9、是由勾股定理得BC，CE，BE因?yàn)锽C2CE2BE2，所以，BCE為直角三角形，10分因此tan=又tanDBO=，則DBO15分所以，20分12設(shè)的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)【解答】分三種情況討論（i）若為銳角三角形因?yàn)?，所以由，可得，于?分（第12題答題（ii）（第12題答題（i）（ii）若為鈍角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋杂?，可得，于是?0分當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)椋杂?，可得，于?5分（iii）若為直角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及20分13設(shè)，是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論【解答】不能依題意，得因?yàn)椋杂钟捎跒檎麛?shù)，為素?cái)?shù)，所以或，10分當(dāng)時(shí)，進(jìn)而，與，是素?cái)?shù)矛盾；15分當(dāng)時(shí)，所以，不能構(gòu)成三角形的三邊長20分14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)【解答】若n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中