線性代數(shù)：行列式(2)(3)

1、 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的. .它們都是代數(shù)式。它們都是代數(shù)式。對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa回顧11112112212212122aaa aa aaa(12)(21)11221221( 1)( 1)a aa a 1.31.3 n n 階行列式的定階行列式的定義義觀察二階行列

2、式和三階行列式觀察二階行列式和三階行列式: :2 二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個元素乘積的代數(shù)和元素乘積的代數(shù)和. . 兩個元素的乘積可以表示為兩個元素的乘積可以表示為1212jja aj1j2為為2級排列級排列, , 當(dāng)當(dāng)j1j2取遍了取遍了2級排列級排列(12, 21)時時, , 即得到二階行列式的所有項即得到二階行列式的所有項( (不包含符號不包含符號), ), 共共為為2!=2項項. .3數(shù)數(shù)時時取取負負號號。為為偶偶數(shù)數(shù)時時取取正正號號，為為奇奇當(dāng)當(dāng))(21jj 4,3122133321123223113221133123123322

3、11aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa說明說明（1 1）三階行列式共有）三階行列式共有6 6項，即項，即3!3!項項（2 2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的 乘積乘積（3 3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標(biāo)排列的三個元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa3121 12, 322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為1321 01, 偶排列偶排列奇排列奇排列,負號負號 5(123)(231)(312)11223312233

4、1132132( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321)(132)(213)132231112332122133( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 1 2 3123()123( 1)j j jjjja aa6333231232221131211aaaaaaaaa每一項的符號是每一項的符號是, , 當(dāng)這一項中元素的當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)行標(biāo)按按自然自然數(shù)順序數(shù)順序排列后排列后, , 如果如果對應(yīng)的列標(biāo)對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是構(gòu)成的排列是偶偶排列排列則取則取正號正號, , 是是奇排列奇排列則取則取負號負號. . 如在上述二如在上述二階行列式中階行列式中, ,

5、 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時取正號為偶數(shù)時取正號, , 為奇數(shù)為奇數(shù)時取負號時取負號; ; 在上述三階行列式中在上述三階行列式中, , 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時取正號為偶數(shù)時取正號, , 為奇數(shù)時取負號為奇數(shù)時取負號. .根據(jù)這個規(guī)律根據(jù)這個規(guī)律, , 可給出可給出4 4階行列式的定義：階行列式的定義：(1)(1)四階行列式共有四階行列式共有2424項，即項，即4!4!項項 (2)(2)每項都是位于不同行不同列的四個元素的乘每項都是位于不同行不同列的四個元素的乘積積(3)(3)每項的正負號都取決于位于不同行不同列的四每項的正負號都取決于位于不同行不同列的四個元素的下標(biāo)排列個元素的下標(biāo)排列( (見表見表) )7),(

6、21jj ),(321jjj 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa1 2 3 41234()1234( 1)j j j jjjjja aaa89(1324)(1342)1123324411233442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1234)(1243)1122334411223443( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1423)(1432)1124324311243342( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2134)(2143)1221334412213443( 1)( 1)NN

7、a a a aa a a a (2314)(2341)1223314412233441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2413)(2431)1224314312243341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3124)(3142)1321324413213442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3214)(3241)1322314413223441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3412)(3421)1324314213243241( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4123)(4132)14213243

8、14213342( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4213)(4231)1422314314223341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4312)(4321)1423314214233241( 1)( 1)NNa a a aa a a a 定義定義 用用n2個元素個元素aij(i,j=1,2,n)組成的記號組成的記號111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱為稱為n階行列式階行列式, , 其中其中橫排橫排稱為稱為行行, , 縱排縱排稱為稱為列列. . 它表示所有可能取自它表示所有可能取自不同的行不同的列不同的行不同的列的的n n個元素乘積的個

9、元素乘積的代數(shù)和代數(shù)和, , 各項符號是各項符號是: (: (接后接后) )10由此由此, , 可給出可給出n階行列式的定義：階行列式的定義： 當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后, , 如果對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號如果對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號, , 是是奇排列則取負號奇排列則取負號. . 因此因此, , n階行列式所表示的代數(shù)階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項可以寫為和中的一般項可以寫為: :1 212()12( 1)nnj jjjjnja aa(1.3) 其中其中 j1j2jn 構(gòu)成一個構(gòu)成一個n級排列級排列, , 當(dāng)取遍所有當(dāng)

10、取遍所有n級排列時級排列時, , 則得到則得到n階行列式表示的代數(shù)和中所有階行列式表示的代數(shù)和中所有的項的項. .即：即：11 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1( 一階行列式一階行列式|a|就是就是a. .行列式有時簡記為行列式有時簡記為|aij|由定理可知由定理可知: : n階行列式共有階行列式共有n!項項, , 且冠以正號的項和冠以負號的項且冠以正號的項和冠以負號的項( (不不算元素本身所帶的負號算元素本身所帶的負號) )各占一半各占一半. .12說明說明1. 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求行列式是一種特定的

11、算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，要注意它的組的需要而定義的，要注意它的行數(shù)行數(shù)等于等于列數(shù)列數(shù); ;2. n階行列式是階行列式是n!項的項的代數(shù)和代數(shù)和; ;3. n階行列式的每項都是位于不同行、階行列式的每項都是位于不同行、不同列不同列n個元素的乘積個元素的乘積; ;4. 一階行列式一階行列式|a|=a不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆; ;13.)1( 5.)(212121nnjjjnjjjaaa 的符號為的符號為例如, 四階行列式11121314212223243132333441424344aaaaaa

12、aaDaaaaaaaa所表示的代數(shù)和中有4!=24項.例如, a11a22a33a44項取正號, a14a23a31a42項取負號, 而a11a24a33a44不是D的一項.14若若 j1 4 a1j1=0，所以所以 j1只能等于只能等于4, , 例例1 1計算行列式計算行列式0004003002001000分析分析解解: :展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是 a1j1a2j2a3j3a4j4同理可得同理可得2343,2,1jjj150004003002001000432111 2 3 4 .24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例2 2計算計

13、算 上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa0002221121116分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是1212.njjnja aa,njn11,njn3213,2,1,njnjj所以不為零的項只有所以不為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211(123)1122( 1).nnna aa 解解: :.2211nnaaa17例例3 3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 18同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000

14、.2211nnaaa 19n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明證明行列式行列式20n 2112112,111n nnnna aa .12121nnn 證明證明: : 第一式是顯然的第一式是顯然的, ,下面證第二式下面證第二式. .若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢21 上上( (下下) )三角形行列式及對角形行列式的值三角形行列式及對角形行列式的值, , 均等于主對角線上元素的乘積均等于主對角線上元素的乘積. .這一結(jié)論在以這一結(jié)論在以后行列式計算中可直接應(yīng)用后行列式計算中可直接應(yīng)用. .這些結(jié)論應(yīng)該記住，記憶是

15、非常重要的。這些結(jié)論應(yīng)該記住，記憶是非常重要的。 由行列式的定義不難得出由行列式的定義不難得出: : 一個一個行列式若有一行行列式若有一行( (或一列或一列) )中的元素皆中的元素皆為零為零, , 則此行列式必為零則此行列式必為零. .22例例5 5 用行列式定義計算行列式用行列式定義計算行列式0101101001000011解解: : 第第3行只能取第行只能取第2列列, , 第第1行就只能取第行就只能取第4列列, , 第第4行只能取第行只能取第3列列, , 第第2行只能取第行只能取第1列，所以，列，所以，(4123)=3, , 因此行列式取值因此行列式取值-1. .23 1. 1. 一個排列

16、中的任意兩個元素對換，排列改一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性變奇偶性2.2.行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法小結(jié)24 nnnjjjnjjjjjjaaaD21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaaD21212121)()1( nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1( 已知已知 1211123111211xxxxxf 求求x3的系數(shù)的系數(shù). .25思考題解答思考題解答解解: :含含x3的項有兩項的項有兩項, ,即即 1211123111211xxxxxf 對應(yīng)于對應(yīng)于1243112234431a a a a (1234)11223

17、3441a a a a26(1234)3112233441,a a a ax124331122344312a a a ax 故故x3的系數(shù)為的系數(shù)為-1. .27排列逆序逆序數(shù)奇偶性1 2 3無0偶排列1 3 2321奇排列2 1 3211奇排列2 3 121, 312偶排列3 1 231, 322偶排列3 2 121,31,323奇排列表1-1排列逆序逆序數(shù)奇偶性1 2無0偶排列2 1211奇排列返回28排列排列逆序逆序逆序數(shù)逆序數(shù)奇偶性奇偶性1 2 3 4無無0偶排列偶排列1 2 4 3431奇排列奇排列1 3 2 4321奇排列奇排列1 3 4 232,422偶排列偶排列1 4 2 3

18、42,432偶排列偶排列1 4 3 243,42,323奇排列奇排列2 1 3 4211奇排列奇排列2 1 4 321,432偶排列偶排列2 3 1 421,312偶排列偶排列2 3 4 121.31,413奇排列奇排列2 4 1 3 21,41,433奇排列奇排列2 4 3 121,43,41,314偶排列偶排列返回29排列排列逆序逆序逆序數(shù)逆序數(shù)奇偶性奇偶性3 1 2 431,322偶排列偶排列3 1 4 231,32,423奇排列奇排列3 2 1 432,31,213奇排列奇排列3 2 4 132,31,21,413偶排列偶排列3 4 1 231,32,41,424偶排列偶排列3 4 2

19、 1 32,31,42,41,215奇排列奇排列4 1 2 341,42,433奇排列奇排列4 1 3 241,43,42,324偶排列偶排列4 2 1 342,41,43,214偶排列偶排列4 2 3 1 42,43,41,21,315奇排列奇排列4 3 1 243,41,42,31,325奇排列奇排列4 3 2 143,42,41,32,31,216偶排列偶排列返回30當(dāng)當(dāng)n 4時時, , 用定義計算用定義計算n階行列式將是十階行列式將是十分復(fù)雜甚至是不可能的分復(fù)雜甚至是不可能的. . 下面將討論行下面將討論行列式的性質(zhì)列式的性質(zhì), , 并用這些性質(zhì)來簡化行列并用這些性質(zhì)來簡化行列式的計算

20、式的計算. .( (證明不重要證明不重要, , 但必須記住以下所述的性質(zhì)但必須記住以下所述的性質(zhì)及其推論并用它們來計算行列式及其推論并用它們來計算行列式) ) 1.4 n 階行列式的性質(zhì)及計算31一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式行列式DT稱為行列式稱為行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. .即把行列式即把行列式D中的中的行與列按原順序互換行與列按原順序互換( (第第1行換成行換成第第1列列, ,第第2行換成第行換成第2列列,，以此類推，直到最后，以此類推，直到最后一行）以后得到的行列式，稱為一行）以后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，的轉(zhuǎn)置行列式，也可記為也可記為D . . 記記nnaaa

21、2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa221132 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .如如D 123456789則則D 123456789如如1112131411213141212223241222324231323334132333434142434414243444aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa33 TD證明：證明：的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記 D=,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即按定義按定義 又因為行列式又因

22、為行列式D可表示為：可表示為：ija故故.TDD 證畢證畢34 njjjjjjnjjjjjjTnnnnaaabbbD21)(21)(21212121)1()1( njjjjjjnnaaaD21)(2121)1( 互換互換行列式的兩行（列）行列式的兩行（列）, ,行列式行列式變號變號. .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 說明說明 行列式中行列式中行行與與列列具有具有同等的地位同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對式的性質(zhì)凡是對行行成立的對成立的對列列也同樣成立也同樣成立. .是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ,ijDaj

23、i,即當(dāng)即當(dāng) 時時, ,jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時時, ,jik, ,ipjpjpipabab 35于是于是1111ijnpipjpnpDbbbb其中不計符號，任取其中一項36,)1()(1njipppp)(1njipppp,11njinpjpippbbbb它是來自 的不同行不同列 個元素的乘積，因為 和 只是互換兩行的元素，所以這一項也是 的一項，反之亦然.該項在 中的符號為 而在中的符號為,)1()(1nijpppp由定理可知這兩個符號相反，由于該項選取的任意性可知：1Dn1DDD1DD.1DD證畢證畢,) 1(11njinpipjppaaaa又如又如,571-571266853.

24、825-825361567567361266853注：注：1.1.以后用記號以后用記號rirj表示第表示第i行和第行和第j行對換；行對換；而用記號而用記號cicj表示第表示第i列和第列和第j列對換。列對換。這里這里r是英文是英文row( (行）的第一個字母；行）的第一個字母；而而c是英文是英文column( (列）的第一個字母。列）的第一個字母。 2. 2.以后遇到以后遇到互換兩行或兩列互換兩行或兩列要記得要記得行列式變號行列式變號。23rr12cc例如例如34256 5623437說明：說明：某些教材中兩行某些教材中兩行( (或兩列或兩列) )互換用箭號表示，互換用箭號表示，如上例中如上例中

25、,571-571266853.825-82536156756736126685338例：求行列式例：求行列式1000002000000400030000005的值。的值。解：解：100000200000040003000000543rr-10000020000030000040000055!120 此為對角形行列式。此為對角形行列式。對角形行列式的值等對角形行列式的值等于主對角線上元素的于主對角線上元素的乘積乘積39推論推論 如果行列式有如果行列式有兩行（列）兩行（列）完全相同完全相同，則，則此行列式為此行列式為零零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 所謂所謂

26、兩行兩行( (或列或列) )相同相同指的是指的是兩行兩行( (或列或列) )元素對應(yīng)都相等元素對應(yīng)都相等如如11111314212123243131333441414344aaaaaaaaaaaaaaaa01111212131314141aaaaaaaa11121314212223242122232441424344aaaaaaaaaaaaaaaa21222324aaaa21222324aaaa040 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式. .nnnniniinaaakakakaaaa2121112

27、11注：以后用注：以后用kri表示表示k乘第乘第i行；行；而用而用kci表示表示k乘第乘第i列。列。111211212niiinnnnnaaaaaaaaakkkk41行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有元素的公（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面因子可以提到行列式符號的外面例如例如21 r1320111232 第第 i 行（或列）提出公因子行（或列）提出公因子 k ，記作，記作 rik(cik)。132011246 312321642 21 r1232 123213042推論推論2 2行列式中如果有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此則此行列式為零行列式為

28、零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 43如如11111314212123243131333441414344akaaaakaaaakaaaakaaa01111212131314141akaakaakaaka11121314212223242122232441424344aaaalalalalaaaaaaaaa21222324lalalala21222324aaaa0又如又如12452335663736121549343535033145783131155847

29、53501412541683000040123010044問題：問題：如果行列式有兩行或兩行以上的行都有公因如果行列式有兩行或兩行以上的行都有公因子，那么按子，那么按性質(zhì)性質(zhì)3 3推論推論1 1應(yīng)如何應(yīng)如何取？?。?答案：答案：按順序?qū)⒐蜃犹岢?，如按順序?qū)⒐蜃犹岢?，?1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdkabcdabcd行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外以提到行列式符號

30、的外面面45例 計算行列式2413635104D解解: : 因為第一列與第二列對應(yīng)元素成比例因為第一列與第二列對應(yīng)元素成比例, ,根據(jù)根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)3 3的推論的推論2 224136305104D行列式中如果有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此，則此行行列式為零列式為零得得46例 若四階行列式 D4 = |aij|=m, ,則則D= |3aij|=?分析：分析：D4 = |aij|11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa111213142122232431323334414243443333333333333333a

31、aaaaaaaaaaaaaaaD= |3aij|解：解：根據(jù)根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)3 3的推論的推論1 1從行從行( (或列或列) )看，每行看，每行( (或每列或每列) )都存在公因子都存在公因子3 3，因此可以分別提出來，共有，因此可以分別提出來，共有4 4個因子個因子3 3。D= |3aij|=34 |aij|=81m行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外以提到行列式符號的外面面得得47特別地，若 階行列式48ijaD 則DkkaDnij1n性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和.

32、 .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如49由行列式定義由行列式定義, , 性質(zhì)性質(zhì)4顯然成立顯然成立. . 此性此性質(zhì)說明行列式中某一行質(zhì)說明行列式中某一行( (列列) )的元素均是的元素均是兩數(shù)之和時兩數(shù)之和時, , 該行列式就可按此行該行列式就可按此行( (列列) )拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和. .例如例如axbycdadbcxdcyab

33、xycdcd50又如又如wdzcybxa .wzyxdzbxwcyadcba wdzybxwdcyba 51例例 如果三如果三階行列式D3 = |aij|=m, ,求行列式求行列式D的值：的值：111112132121222331313233aaaaDaaaaaaaa解：解：D 111113111213212123212223313133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa性質(zhì)性質(zhì)4 40111213212223313233aaaaaaaaa第一行和第一行和第二行相第二行相同同, ,據(jù)性質(zhì)據(jù)性質(zhì)2推論，此推論，此行列式為行列式為0第二列存在公因第二列存在公因子子(-1), ,據(jù)性質(zhì)

34、據(jù)性質(zhì)3推論推論2，可以把，可以把(-1)提出來提出來m 注：注：此例說明了在計算行列式時，性質(zhì)的運用不是孤立的。此例說明了在計算行列式時，性質(zhì)的運用不是孤立的。52推論推論 如果將行列式某一行如果將行列式某一行( (列列) )的每個元的每個元素都寫成素都寫成m m個數(shù)個數(shù)( (m m為大于為大于2 2的整數(shù)的整數(shù)) )的和的和, , 則則此行列式可以寫成此行列式可以寫成m m個行列式的和個行列式的和. .例例axvbyucdadbcxdcyvdcuabxyvucdcdcd53性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一數(shù)同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列

35、( (行行) )對應(yīng)的元素上去，對應(yīng)的元素上去，行行列式值不變列式值不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如54注：以后用注：以后用rj+kri表示用比例表示用比例k乘第乘第i行的各個元素行的各個元素并加到第并加到第j行的相應(yīng)元素上行的相應(yīng)元素上( (特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=-1時表示時表示rj - ri ，而，而k=+1時表示時表示rj + ri ) )； 而用而用cj+kci比例比例k乘第乘第i列的各個元素并加到第列的各個元素

36、并加到第j列的相應(yīng)元素上。列的相應(yīng)元素上。 ( (特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=-1時表示時表示cj - ci ，而而k=+1時表示時表示cj + ci ) )例如例如dbdcba 12rrdbca又如又如458892046889201910001921cc458892010000019100000458890100000從此例說明從此例說明運用行運用行列式的性質(zhì)可以簡列式的性質(zhì)可以簡化行列式的計算化行列式的計算55復(fù)習(xí) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換互換行列式的兩行（列）行列式的兩行（列）, ,行列式行列式變號變號. .推論推論 如果行列式有如果行列式有兩行（列）

37、兩行（列）完全相同完全相同，則此，則此行列式為行列式為零零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式. . 行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有元素的公因（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面推論推論2 2 行列式中如果有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此則此行列式為零行列式為零56復(fù)習(xí)性質(zhì)性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和, ,則則D可以寫成兩個行列式之和可以寫成兩個行列式之和.

38、.性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一數(shù)同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，對應(yīng)的元素上去，行行列式值不變列式值不變推論推論 如果將行列式某一行如果將行列式某一行( (列列) )的每個元素都寫的每個元素都寫成成m個數(shù)個數(shù)( (m為大于為大于2的整數(shù)的整數(shù)) )的和的和, , 則此行列式可則此行列式可以寫成以寫成m個行列式的和個行列式的和. .57 我們知道我們知道三角形行列式的值就等于主對角三角形行列式的值就等于主對角線上的各元素乘積線上的各元素乘積。11121222000nnnnaaaaaa1122nna aa 因此

39、，計算一般的行列式時因此，計算一般的行列式時, , 常多次運用行常多次運用行列式的性質(zhì)列式的性質(zhì), , 把它把它化為三角形行列式來計算化為三角形行列式來計算. .11212212300000nnnnnaaaaaaa 1122nna aa58(1)1233213rr12031 ( 3)3 (2)021312rr13021 22 具體如何操作呢？我們先來看幾個二階和三具體如何操作呢？我們先來看幾個二階和三階行列式化為上三角行列式的例子。階行列式化為上三角行列式的例子。第一列第一個元素為第一列第一個元素為0，可以運用，可以運用性質(zhì)性質(zhì)2進進行換行。行換行?；Q互換行列式行列式的兩（列）的兩（列）,

40、,行列式行列式變號變號. .性質(zhì)性質(zhì)5 5：把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對應(yīng)的對應(yīng)的元素上去，元素上去，行列式值不變行列式值不變59110011121D31rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 注意第一行第一列注意第一行第一列元素非元素非0 0，不用換行，不用換行(3)60011110121D注意第一行第一列元素為注意第一行第一列元素為0 0(4)由于第一列第一個元素為0，因此必須換行，可以與第二行換也可以與第三行換，得到的結(jié)果將是相同的.我們分別計算如下：61法

41、法1 112rr11001112131rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 011110121D62法法2 213rr21rr01210111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 011110121D121110011答案與法答案與法1 1同！同！63注：注： 1.由于r2與r3的第一個元素均為非0，因此不管r1與哪行換均是可以的；但是有時候要注意換上去的行的數(shù)字要盡量簡單點，盡量換上含數(shù)字絕對值較小的但又沒有出現(xiàn)分數(shù)的;2.換行時要變號.64 總結(jié)以上各例，我們得出一般行列式化總結(jié)以上各例，我們得出一般行列式化為為上三角形行列式上三角形行列

42、式的步驟是的步驟是: : 然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行, , 使第一列除第一個元素外其余元素全為使第一列除第一個元素外其余元素全為0 如果第一列第一個元素為如果第一列第一個元素為0, , 先將第一行與其先將第一行與其它行交換它行交換, , 使第一列的第一個元素不為使第一列的第一個元素不為0（換行換行時，注意行列式外加一個負號時，注意行列式外加一個負號）; ;（性質(zhì)性質(zhì)2 2：rirj）（性質(zhì)性質(zhì)5 5: : rj+kri）互換互換行列式的兩行列式的兩（列）（列）, ,行列式行列式變號變號. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行

43、）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對對應(yīng)的元素上去，應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變65再用同樣的方法處理除去第一行和再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式第一列后余下的低一階行列式; ; 依次作依次作下下去去, , 直至它成為上三角形行列式直至它成為上三角形行列式, , 這時這時主主對角線上的元素的乘積就是行列式的值對角線上的元素的乘積就是行列式的值. .注：注：如果第一列第一個元素不為如果第一列第一個元素不為0 0，就，就不用換行；在考查低一階行列式的時候不用換行；在考查低一階行列式的時候方法同上，也要對第一列第一個元素為方法

44、同上，也要對第一列第一個元素為0 0的行進行換行的行進行換行, ,方法與以上同。方法與以上同。66例例 計算行列式計算行列式0112110212102110D注意第一行第一列元素為067解解: :0112110212102110D12rr110201121210211031412rrrr110201120112031432423rrrr1102011200240022681102011200240022D 43rr1102011200240002469 注意：也可把行列式化為下三角行列式來計注意：也可把行列式化為下三角行列式來計算。算。步驟是步驟是： 然后把第一列分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各列然

45、后把第一列分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各列, , 使第一行除第一個元素外其余元素全為使第一行除第一個元素外其余元素全為0 ； 如果第一行第一個元素為如果第一行第一個元素為0, 0, 先將第一列與其先將第一列與其它列交換它列交換, , 使第一行的第一個元素不為使第一行的第一個元素不為0 0( (換列時，換列時，注意行列式外加一個負號注意行列式外加一個負號）; ;（性質(zhì)性質(zhì)2： cicj ）（性質(zhì)性質(zhì)5: cj+kci）互換互換行列式的兩行列式的兩（列）（列）, ,行列式行列式變號變號. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列(

46、(行行) )對對應(yīng)的元素上去，應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變70再用同樣的方法處理除去第一行和第一再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式列后余下的低一階行列式; ; 依次作下去依次作下去, , 直直至它成為下三角形行列式至它成為下三角形行列式, , 這時這時主對角線上主對角線上的元素的乘積就是行列式的值的元素的乘積就是行列式的值. .所有的行列式都可以化為上三角行列式所有的行列式都可以化為上三角行列式。因此，一般來說，大部分行列式的計算都先因此，一般來說，大部分行列式的計算都先化為上三角行列式。但是，有時候化為下三化為上三角行列式。但是，有時候化為下三角形行列式更為簡

47、便。角形行列式更為簡便。下面利用化為下三角形行列式的方法來下面利用化為下三角形行列式的方法來處理上面計算過的一道三階行列式。處理上面計算過的一道三階行列式。其他階行列式類同。其他階行列式類同。71011110121D13cc11001112121cc10101101332cc0021010132 答案與前同！答案與前同！72并不是化為上三角行列式只能用行并不是化為上三角行列式只能用行變換，也并不是化為下三角行列式只能變換，也并不是化為下三角行列式只能用列變換。其實，不管化為上三角行列用列變換。其實，不管化為上三角行列式或下三角行列式，式或下三角行列式，行變換和列變換都行變換和列變換都可以結(jié)合進

48、行可以結(jié)合進行。73例例 計算行列式：計算行列式： 2141312112325062分析：分析：雖然第一行第一列元素不為雖然第一行第一列元素不為0，但第一，但第一列元素的數(shù)值相對比較大，為了方便計列元素的數(shù)值相對比較大，為了方便計算我們可以進行換列算我們可以進行換列( (或行或行) )。分析各行和。分析各行和各列的特點，發(fā)現(xiàn)第二列的數(shù)值的絕對值各列的特點，發(fā)現(xiàn)第二列的數(shù)值的絕對值相對小。因此用第二列與第一列進行互換相對小。因此用第二列與第一列進行互換后再進行下一步計算。后再進行下一步計算。74解：解： 214131211232506212cc124113212132056221312rrrr1

49、241056203500562運用上面化為上運用上面化為上三角的方法來處三角的方法來處理低一階行列式理低一階行列式的時候出現(xiàn)了困的時候出現(xiàn)了困難難! ! 注意到第二行和第四行相同知注意到第二行和第四行相同知該行列式值為該行列式值為0=0說明：說明： 計算行列式的時候，不管用什么方法來求解都要計算行列式的時候，不管用什么方法來求解都要注意各種方法的靈活運用。注意各種方法的靈活運用。75 前面化為上三角行列式或下三前面化為上三角行列式或下三角行列式只用到了角行列式只用到了性質(zhì)性質(zhì)2和和性質(zhì)性質(zhì)5。事實上，對于比較復(fù)雜的行列式僅用這事實上，對于比較復(fù)雜的行列式僅用這兩種方法是不夠的，需要結(jié)合利用行列

50、兩種方法是不夠的，需要結(jié)合利用行列式的其他性質(zhì)。有些行列式的計算還需式的其他性質(zhì)。有些行列式的計算還需要結(jié)合利用一些技巧。下面，我們將簡要結(jié)合利用一些技巧。下面，我們將簡單地介紹這些技巧。單地介紹這些技巧?；Q互換行列式的兩（列）行列式的兩（列）, ,行列式行列式變號變號. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同乘以同一數(shù)一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，對應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變763222232222322223=D例例 計算計算9999232222322223D 11112322922322223法法1 1：分析：各列的元素之和為一定數(shù)。：分析：各列的元素之和為一定數(shù)