高中數(shù)學(xué)概率大題(經(jīng)典一)

1、高中數(shù)學(xué)概率大題（經(jīng)典一）一解答題(共10小題）1在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了有6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽(1）如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)比賽，將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；（2）若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷,不宜同時(shí)上場(chǎng)；替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對(duì)矮小，也不宜同時(shí)上場(chǎng);那么為了場(chǎng)上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員,教練員有多少種組隊(duì)方案？2某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間（分）12345頻率0.10。40.30.10.1從

2、第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)（1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望3某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物)圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)卡片用后放回盒子,下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行(1）有三人參加抽獎(jiǎng)，要使至少一人獲獎(jiǎng)的概率不低于，則“海寶"卡至少多少張?(2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng),用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及E的值4一袋中有m（

3、mN）個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球（1）當(dāng)m=4時(shí)，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率；（2）當(dāng)m=3時(shí),設(shè)表示取出的2個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù),求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3）如果取出的2個(gè)球顏色不相同的概率小于,求m的最小值5某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)模型，一定數(shù)額的消費(fèi)可以獲得一張抽獎(jiǎng)券,每張抽獎(jiǎng)券可以從一個(gè)裝有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球的口袋中一次性摸出3個(gè)球,至少摸到一個(gè)紅球則中獎(jiǎng)(）求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率;（）若每次中獎(jiǎng)可獲得10元的獎(jiǎng)金，一位顧客獲得兩張抽獎(jiǎng)券，求兩次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)金額之和X(元）的概率分布和期望E(X)6將一枚硬幣連續(xù)拋擲15次，每次拋擲互不影響記正面向上的次數(shù)為

4、奇數(shù)的概率為P1,正面向上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為P2()若該硬幣均勻，試求P1與P2；（）若該硬幣有暇疵，且每次正面向上的概率為，試比較P1與P2的大小7某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0。25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；方案3：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)

5、60000元,只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元（1)試求方案3中損失費(fèi)（隨機(jī)變量)的分布列；（2）試比較哪一種方案好82009年10月1日，為慶祝中華人們共和國(guó)成立60周年,來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的共計(jì)6名大學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名北京大學(xué)志愿者的概率是（1）求6名志愿者中來自北京大學(xué)、清華大學(xué)的各幾人；（2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)人各一人的概率；（3）設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求分布列及期望9在1，2，3，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)（1)求這3個(gè)

6、數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率；(2）求這3個(gè)數(shù)和為18的概率;（3)設(shè)為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1,2，3,則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)的值是2）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E10某單位組織4個(gè)部門的職工旅游，規(guī)定每個(gè)部門只能在韶山、衡山、張家界3個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)，假設(shè)各部門選擇每個(gè)景區(qū)是等可能的(）求3個(gè)景區(qū)都有部門選擇的概率；()求恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇的概率參考答案與試題解析一解答題（共10小題）1（2016南通模擬）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了有6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽(1)如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)比賽，將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為X，

7、求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；(2）若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷,不宜同時(shí)上場(chǎng)；替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對(duì)矮小,也不宜同時(shí)上場(chǎng)；那么為了場(chǎng)上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員，教練員有多少種組隊(duì)方案？【解答】解：(1)由題意知隨機(jī)變量X的取值是0、1、2、3、4、5,當(dāng)X=0時(shí),表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為0，以此類推，P(X=0）=；P（X=1）=；P(X=2）=；P(X=3）=；P（X=4)=；P（X=5）=隨機(jī)變量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=2。73(2)由題意知上場(chǎng)隊(duì)員有3名主

8、力，方案有：(C63C41）（C52C22)=144（種)上場(chǎng)隊(duì)員有4名主力，方案有：（C64C42）C51=45（種）上場(chǎng)隊(duì)員有5名主力，方案有:（C65C43）C50=C44C21=2(種）教練員組隊(duì)方案共有144+45+2=191種2（2012陜西)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘,對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間（分）12345頻率0。10.40。30。10.1從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)(1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

9、【解答】解:設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間,用頻率估計(jì)概率，得Y的分布如下:Y12345P0.10.40.30。10。1（1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則時(shí)間A對(duì)應(yīng)三種情形:第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘;第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘,且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘所以 P（A）=0。1×0.3+0.3×0.1+0。4×0。4=0.22(2）X所有可能的取值為：0，1，2X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘,所以P(X=

10、0）=P（Y2）=0。5；X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間超過1分鐘,或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘,所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘,所以P（X=2)=0.1×0。1=0。01；所以X的分布列為X012P0.50。490.01EX=0×0.5+1×0。49+2×0。01=0。513（2012海安縣校級(jí)模擬）某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽"

11、;或“海寶”(世博會(huì)吉祥物）圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是:參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行(1)有三人參加抽獎(jiǎng),要使至少一人獲獎(jiǎng)的概率不低于,則“海寶"卡至少多少張？（2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng),用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及E的值【解答】解:（1）記至少一人獲獎(jiǎng)事件為A，則都不獲獎(jiǎng)的事件，設(shè)“海寶”卡n張，則任一人獲獎(jiǎng)的概率，由題意:，n7至少7張“海寶”卡,（2）的分布列為；，4（2011江蘇模擬)一袋中有m(mN*）個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球,現(xiàn)從中任取2個(gè)球(1)當(dāng)m=4時(shí),求取出的2個(gè)球顏色相同的概

12、率；（2）當(dāng)m=3時(shí),設(shè)表示取出的2個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3)如果取出的2個(gè)球顏色不相同的概率小于，求m的最小值【解答】解:（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從9個(gè)球中任取2個(gè),共有C92=36種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的2個(gè)球的顏色相同，包括三種情況,共有C42+C32+C22=10設(shè)“取出的2個(gè)球顏色相同"為事件A，P（A)=（2）由題意知黑球的個(gè)數(shù)可能是0，1，2P（=0）=P（=1）=，P（=2）=的分布列是E=0×+1×+2×=（3）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，事件發(fā)生所包含的事件數(shù)C

13、x+52，滿足條件的事件是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，設(shè)“取出的2個(gè)球中顏色不相同”為事件B，則P（B）=，x26x+20，x3+或x3，x的最小值為65（2010鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)模型，一定數(shù)額的消費(fèi)可以獲得一張抽獎(jiǎng)券，每張抽獎(jiǎng)券可以從一個(gè)裝有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球的口袋中一次性摸出3個(gè)球，至少摸到一個(gè)紅球則中獎(jiǎng)（)求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；（)若每次中獎(jiǎng)可獲得10元的獎(jiǎng)金，一位顧客獲得兩張抽獎(jiǎng)券，求兩次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)金額之和X(元)的概率分布和期望E（X）【解答】解:（1)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從6個(gè)球中取三個(gè)，共有C

14、63種結(jié)果，而滿足條件的事件是摸到一個(gè)紅球或摸到兩個(gè)紅球，共有C21C42+C22C41設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”為事件A，即一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0。04，P（X=10）=C21×0。8×0.2=0。32,P(X=20)=（0.8）2=0。64，X的概率分布列為E（X）=0×0。04+10×0.32+20×0.64=166（2010鹽城三模）將一枚硬幣連續(xù)拋擲15次，每次拋擲互不影響記正面向上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為P1,正面向上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為P2（）若該硬幣均勻，試求P1與P2；（）若該硬幣

15、有暇疵,且每次正面向上的概率為，試比較P1與P2的大小【解答】解：（）拋硬幣一次正面向上的概率為,正面向上的次數(shù)為奇數(shù)次的概率為P1=P15（1）+P15（3)+P15（15）=（)P1=C151p1（1p）14+C153p3（1p）12+C1515p15，P2=C150p0(1p）15+C152p2（1p）13+C1514p14(1p）1則P2P1=C150p0（1p）15C151p1(1p)14+C152p2(1p)13+C1514p14（1p）1C1515p15=（1p）p15=（12p）15，而，12p0,P2P17（2010南通模擬）某地位于甲、乙兩條河流的交匯處,根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，

16、今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0。25,乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備,施工部門提出以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；方案2:建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損,損失約56000元；方案3:不采取措施，此時(shí),當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí),損失為10000元（1）試求方案3中損失費(fèi)（隨機(jī)變量）的分布列;(2）試比較哪一種方案好【解答】解：（1）在方案3中，記“甲河流發(fā)生洪水"為事件A，“乙河

17、流發(fā)生洪水"為事件B，則P(A）=0。25，P(B）=0.18，所以,有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P（A+B)=P（A)P(）+P（)P（B）=0.34，兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P(AB）=0。045，都不發(fā)生洪水的概率為P(）=0.75×0.82=0。615，設(shè)損失費(fèi)為隨機(jī)變量,則的分布列為： 10000600000P 0.34 0.045 0.615（2）對(duì)方案1來說,花費(fèi)4000元；對(duì)方案2來說，建圍墻需花費(fèi)1000元,它只能抵御一條河流的洪水,但當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)，損失約56000元，而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P=0。25×0。18=0。045所

18、以，該方案中可能的花費(fèi)為：1000+56000×0。045=3520(元）對(duì)于方案來說,損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為:E=10000×0。34+60000×0。045=6100(元），比較可知，方案2最好,方案1次之,方案3最差8(2010海安縣校級(jí)模擬)2009年10月1日,為慶祝中華人們共和國(guó)成立60周年，來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的共計(jì)6名大學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名北京大學(xué)志愿者的概率是（1）求6名志愿者中來自北京大學(xué)、清華大學(xué)的各幾人；（2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)人各一

19、人的概率；(3）設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求分布列及期望【解答】解：（1）記“至少一名北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，則A的對(duì)立事件為“沒有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”設(shè)有北京大學(xué)志愿者x個(gè),1x6，那么P（A）=，解得x=2，即來自北京大學(xué)的志愿者有2人，來自清華大學(xué)志愿者4人;（2)記“清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各有一人”為事件E,那么P(E）=，所以清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各一人的概率是；（3)的所有可能值為0，1，2，P（=0)=,P(=1)=,P（=2）=，所以的分布列為E=9（2010蘇州模擬）在1，2，3，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)（1）求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率;（2）求這3個(gè)數(shù)和為18的概率;（3)設(shè)為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如:若取出的數(shù)為1,2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2，3，此時(shí)的值是2）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E【解答】解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)C93,滿足條件的事件3個(gè)數(shù)中至少