三棱錐的幾個(gè)重要性質(zhì),!教學(xué)內(nèi)容

1、棱錐的幾個(gè)重要性質(zhì),!精品資料直角三棱錐的幾個(gè)性質(zhì)有一類(lèi)特殊的三棱錐，它的經(jīng)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，我們不妨把這種三棱錐稱(chēng)作直角三棱錐，從結(jié)構(gòu)上看，它是平面的直角三角形在空間的擴(kuò)展。循著直角三角形的一些重要性質(zhì)對(duì)直角三棱錐進(jìn)行探究，我們能得到直角三棱錐的有趣的相應(yīng)性質(zhì)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形的性質(zhì)有：性質(zhì)1:RtA的垂心就是直角頂點(diǎn)。性質(zhì)2:RtA的兩個(gè)銳角互余。性質(zhì)3:RtA兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。性質(zhì)4:RtA中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影比例中項(xiàng)；每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；由此，RtA兩條直角邊的平方比等于它們?cè)谛边吷系纳溆氨?。性質(zhì)5:RtA

2、兩直角邊的乘積，等于斜邊與斜邊上高的乘積。性質(zhì)6:RtA斜邊上的中線等于斜邊的一半。1 1c（所以RtA的外接圓半徑R=-c=-Ja2b2）。2 2ab1性質(zhì)7:RtA的內(nèi)切圓半徑r=,=_（a+b-c）oaba2b22現(xiàn)在我們來(lái)探究一下直角三棱錐的性質(zhì)。如圖所示，在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PAPRPC兩兩垂直，設(shè)PA=a,PB=b,PC=c。,PAPRPC兩兩垂直，PA1面PBCPB面PCAPC1面PAR，面PAB面PBG面PCAM兩垂直。作PhL面ABC于H,連CH并延長(zhǎng)并交AB于D,連PD,貝UPH!AB,PH!CD,面PCDL面ABQ而PC上面PABPCXAB,所以AB上面PCRA

3、B!PQABCH同理，AHIBC,BH!CA由AEJ面PCWCD!AB,而PDAB且/APB=90,ABG/CAB為銳角。同理，/BCA也是銳角，從而有：性質(zhì)1:直角三棱錐的底面是銳角三角形。由AB!CHAHLBC,BH!CA易知，H是AABC的垂心，由此可得：性質(zhì)2:直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。,ab,、o在RtAPAB中，PD-AB=PA-PBPD=:在RtAPCD中，CD2=PD2+,a2b2PC2 =(aba22, 2.2 22 2a b b c c a2.2a bRtA PCD 中，PH, CRPD- PC=CD- PHPH,22_ 2PD PCCD2, 2, 2

4、22 2a b b c c a2iT2a b2,2 2a b c2, 2, 2 22 2a b b c c a1PH 22, 2 2a b c1-2a1b2僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5一一一八一 、，一，一，1性質(zhì)2：直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式因PHU面ABG，側(cè)棱PC與底面ABC所成角為/hPCHk aI 12 一 2a,則有+ bsin+:。c/ PCH= sin 22.2a bab2ab2cb2)22. 2a b2. 2a b.2 2b c同理，側(cè)PB與底面ABC所a2b成角為/ PB用 3 ,sin 2 / PBH= sin角為/ PAH= 丫 , si

5、n 2 Z PBH= sin2 2b c2 2c a,2 2b cPA與底面ABC所成sin 2 a + sin 2 3 +sin 2 丫 = 1。因此，性質(zhì)3:直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于 底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。1。三條側(cè)棱與由AB PD,AB CD, .側(cè)面 PAB與底面 ABC所成角為/ PDC= 0 ,由PCX PD知。+民90 , sin 2 a = sin 2 (90 - 0 ) = cos1。易得：sin 2 0 + sin 2 S + sin 22 0。類(lèi)似推理，由 sin 2 a + sin 2 3 + sin 2 r =PC=1。

6、 另外，tan(P-AB-C) = tan / PDC=PDcab111c J22 ,同理，tan(P-BC-A) = a 1ab. b1c2tan(P-CA-B)性質(zhì)3:直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C) = c112.2a b,tan(P-BC-A) = atan(P-CA-B)b 11b l 22 ,c a如圖，Q為底面A ABC內(nèi)任一點(diǎn)，作點(diǎn) Q到面PAB的距離為RQ= d1,至ij面PBC的距離為 R仁 d 2 ,至ij面 PCA的距離為 RS= d 3 ,容易得至ij: PC2 = Rd2 + RP2 = RQ2 + RT2

7、+ RS2 = 23d 1+ d 2+ d 3 2性質(zhì)4:底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。F. . 2SP2QP與梭PA所成角的余弦值 cos a = 5PQ2RT2PQ,QP與棱PB所成角的余弦值2。TP2cos 3 = z-=PQ2在 PQ = RQ2RS2-RS, QP與棱PA所成角的余弦值 PQ2+ RT2 + RS2兩邊同日除以PQ ,得2 cosRQ22 cosc + cos 2 a + cos 2 3=1；性質(zhì)4:直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。2RS2RT2QP與面PBC所成角的余弦值QP與面PAB所

8、成角的余弦值cos0=-RSRT_PQ22 cos5s RS2 RQ2 0 =RQ +2 cosPQ2RT2 + RS2 得0 + cos 2 8 +22,QP與面PCA所成角的余弦值2 cosRT2 RQ2,由 pq2 =PQ22 X PQ2 = RS2 + RT2 + RS2 + RQ2 + RT2 + RQ2 ,兩邊同時(shí)除以 PQ2 ,得cos 2=2,21 sin。+ 1 sin 2 8 + 1 sin 2= 2,得 sin 20 + sin 8 + sin,2 22 22 2a b b c c a22a b性質(zhì)4:直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值

9、的平方和為1。11cC底面二角形的面積sabc=ab,cd=-4ab-Ja2b2b2c2c2a2,這也可以當(dāng)成直角三棱錐的一個(gè)性質(zhì):2性質(zhì)5：直角三棱錐底面三角形的面積S=Ja2b2b2c之c2a之。2在RtAPCD中，PD2=HD-CD,兩邊同乘以AB2得1AB2-PD2=-AB2-HD-CD,444即SPAB=SHAB,SABC；向理，SPBC=SHBCSABC；SPCA=SHCASABC性質(zhì)5:直角三棱錐側(cè)面面積是其在底面的射影面積與底面面積的比例中項(xiàng)。把 S PAB = S HAB , S ABC ； S PBC 三個(gè)式子相加，得s ABC 2 = s PAB 2 + s2 =S2 P

10、BCHBC , S ABC ； S PCA + S PCA =S HCA . S ABC ；這性質(zhì)5:直角三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，等于底面面積的平方。PA直角二棱錐 P-ABC中，在點(diǎn) A處，cos/PAB- cos Z PAC= PAPA2_ 2_ 22AC AB BCcos / BAC=2AB AC_ AC2 PC2 AB2 PB22AB ACAB_2_222AC AB (PB PC )AC AB AC2AB ACPA = A = cos/PAB- cos/PAG2AB AC即 cos / BAC= cos / PAB- cos / PAQ 同理，點(diǎn) PBC 點(diǎn) C 處，cos Z A

11、CB= cos Z PCB- cos / PCA 所以性質(zhì)6:直角三棱錐底面端點(diǎn)處，側(cè)棱與底面 兩邊所成角的余弦積，等于底面角的余弦值。AB ACB 處,cos / ABC= cos / PBA cos /F將直角三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則直角三棱錐的外接球也是長(zhǎng)方體的外接球，其球心是長(zhǎng)方體的中心，半徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線的一半。因此有1c性質(zhì)7:直角三棱錐外接球的半徑R=b2C2。2三棱錐,設(shè)直角三棱錐內(nèi)切球半徑為r,球心為O,連OA,OB,OC則把直角三棱錐分成四個(gè)小1999999S abc = - va b b c c a ,2VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPCA+VOABC，-xabxc

12、=1xabxr+1xbcxr323232+1x1caxr+1x1xJa2b2b2c2c2a2xr,3232所以,abcab.2,2,2222bcac.abbcca性質(zhì)7:直角三棱錐內(nèi)切球的半徑abcr222222abbcac.abbcca現(xiàn)在將以上所探究到的直角三棱錐性質(zhì)小結(jié)如下:性質(zhì)1:直角三棱錐的底面是銳角三角形。性質(zhì)2:直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。“一1111直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式-12=2+2+20h2a2b2c21。三條側(cè)棱與1。各角的正切,tan(P-CA-B)=性質(zhì)3:直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于值：tan(p-AB-C)=cJ2,tan(P-BC-A)=aJ22abbcbdJca性質(zhì)4:底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值的平方和為