從“乘以”到“乘”

1、從“乘以”到“乘”江津區(qū)石蟆小學(xué) 唐海燕在我們讀書(shū)的年代，猶記得數(shù)學(xué)老師在講授乘法的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)了“乘以”和“乘”是兩個(gè)不同的概念，練習(xí)中也多次出現(xiàn)區(qū)別這兩個(gè)詞的習(xí)題，總是讓人煩惱不已。在上個(gè)世紀(jì)80年代中期展開(kāi)了一輪關(guān)于“乘法意義”的討論，當(dāng)時(shí)的結(jié)論基本上是贊同不必區(qū)分被乘數(shù)和乘數(shù)，但這一說(shuō)法并未深入人心。在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中，不少小學(xué)數(shù)學(xué)教師仍存在一些困惑。很多教師提出，由于“乘法意義”的改革使教學(xué)實(shí)踐中產(chǎn)生了一些很難理解的問(wèn)題。例如：既然不再區(qū)分被乘數(shù)與乘數(shù)，也就不再區(qū)分相同加數(shù)與相同加數(shù)的個(gè)數(shù)的位置，這樣一來(lái)，“8×2”或“2×8”都可以用來(lái)表示“8個(gè)2”

2、，那么 “求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”該怎么理解呢？再如：“3×2/3”根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義應(yīng)該表示3的2/3是多少，但是根據(jù)整數(shù)乘法意義的延伸，是否也可理解為3個(gè)2/3相加是多少呢？又如：路程=速度×時(shí)間，如果交換因數(shù)的位置來(lái)列式，列出來(lái)的算式又該如何理解呢？縱觀上述觀點(diǎn)，部分教師認(rèn)為“乘法意義應(yīng)遵循老教材的說(shuō)法”的一個(gè)重要原因是對(duì)一些算式無(wú)法做出“合理”的解釋。例如：“8×2”到底表示“8個(gè)2相乘”還是表示“2個(gè)8相乘”；“3×2/3”是表示“3的2/3是多少”還是也可以表示“3個(gè)2/3是多少”；“同學(xué)們?nèi)ブ矘?shù)，每人植2棵，某班50人，共植多少棵

3、樹(shù)？”如果列式為“50×2”該如何理解等等。我認(rèn)為出現(xiàn)這樣的困惑很大程度上與改革的進(jìn)程和新課程理念的落實(shí)有一定關(guān)系。事實(shí)上，在90年代，就已確定不再?gòu)?qiáng)調(diào)被乘數(shù)與乘數(shù)的區(qū)分問(wèn)題。新一輪課程改革更加明確了這一思想，并將其寫(xiě)入了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。但是直到如今，很多地區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)仍將小數(shù)乘法的意義與分?jǐn)?shù)乘法的意義作為一個(gè)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)來(lái)安排，仍在強(qiáng)調(diào)“3×2/3”與“2/3×3”兩個(gè)算式的不同意義。由于不了解新教材的編寫(xiě)理念，市場(chǎng)上很多教輔資料仍有要求進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分算式意義的習(xí)題。這樣一來(lái)，就與新教材的乘法意義發(fā)生了一定程度的沖突，面對(duì)這樣一個(gè)“轉(zhuǎn)型”階段，我們更應(yīng)深

4、入地把握教材，深入地領(lǐng)會(huì)新課程理念。一、正確把握新課程關(guān)于“乘法意義”的相關(guān)規(guī)定 1結(jié)合情境理解乘法意義，是新課程提出的新理念。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確表示：“結(jié)合具體情境，體會(huì)四則運(yùn)算的意義?！庇纱丝梢?jiàn)，單獨(dú)追問(wèn)一個(gè)算式表示的意義已成為歷史！“填空：3×2/3表示（ ）”之類的題目將隨著教材的更新而退出舞臺(tái)！實(shí)際上，在一個(gè)具體的問(wèn)題情境中，乘法算式所代表的意義一般可以認(rèn)為是特定的，如“一根3米長(zhǎng)的繩子，用去2/3，用去多少米？”不論你寫(xiě)成3×2/3還是寫(xiě)成2/3×3，都可以理解為“3米的2/3”。另外，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生“運(yùn)算意義的理解和應(yīng)用”的要求做了相應(yīng)的調(diào)整，只

5、要能“運(yùn)用數(shù)與計(jì)算的知識(shí)描述并解決實(shí)際問(wèn)題”就已達(dá)到了學(xué)習(xí)的要求。2淡化乘法意義的教學(xué)，是教材改編中的指導(dǎo)思想之一。根據(jù)新課標(biāo)關(guān)于乘法意義的改動(dòng)，新教材對(duì)相關(guān)內(nèi)容做出了合理的調(diào)整，乘法意義的教學(xué)呈淡化趨勢(shì)。在五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法”部分，已找不到關(guān)于“小數(shù)乘法意義”的專門(mén)介紹，并且在相應(yīng)的教師用書(shū)中強(qiáng)調(diào)了意義教學(xué)的淡化與解決問(wèn)題教學(xué)的重要性。在六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”部分，也找不到關(guān)于“分?jǐn)?shù)乘法的意義”的專門(mén)介紹。二、深入理解新課程關(guān)于乘法意義改動(dòng)的必要性1新教材“乘法意義”更接近乘法的本質(zhì)，更為科學(xué)。整數(shù)乘法的意義是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”。這一本質(zhì)在過(guò)去和今天的教材中都是一樣的。只是在

6、形式上，新教材允許把“2+2+2+2+2+2+2+2”改寫(xiě)成“2×8”，也可以改寫(xiě)成“8×2”。反過(guò)來(lái)，也就是說(shuō)“2×8”可以表示“8個(gè)2相加的和”，也可以表示“2個(gè)8相加的和”。這可以說(shuō)是“乘法意義”的一次突破，使我們對(duì)“乘法意義”的認(rèn)識(shí)更接近其本質(zhì)。因?yàn)椤?×8”可以表示兩種意義，以前只有一種意義完全是人為規(guī)定的。實(shí)質(zhì)上，“乘法意義”具有階段性與統(tǒng)一性?！俺朔ㄒ饬x”在不同階段有不同的含義。首先，“幾個(gè)”是“幾倍”的特例。在整數(shù)乘法中，兩者是等價(jià)的，這種思想可以讓學(xué)生更容易認(rèn)識(shí)“幾倍”；當(dāng)?shù)貌坏秸麛?shù)倍時(shí)，就出現(xiàn)了小數(shù)倍，這時(shí)的“幾個(gè)”是“幾倍”的一種特

7、例，乘法意義也就開(kāi)始了擴(kuò)展。其次，“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”也是“一個(gè)數(shù)的幾倍”的特例。當(dāng)不到1倍時(shí)，我們就習(xí)慣于說(shuō)“幾分之幾”，而不說(shuō)“幾倍”。再次，在學(xué)習(xí)了百分?jǐn)?shù)后，“幾倍”和“幾分之幾”都可以用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。這樣，乘法意義不同表述之間的統(tǒng)一性又一次得到了體現(xiàn)。由此可見(jiàn)，“乘法意義”具有階段性，同時(shí)又有統(tǒng)一性。過(guò)去，我們的思想一直停留在一種不統(tǒng)一的狀態(tài)，或人為分裂的狀態(tài)。2新教材“乘法意義”為學(xué)生學(xué)習(xí)更多的“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”提供了支持。 第一，它減輕了學(xué)生的操練性負(fù)擔(dān)。如讓學(xué)生算“5個(gè)3是多少”，過(guò)去，教師在審題階段就要反復(fù)強(qiáng)調(diào)3是相同加數(shù)，5是相同加數(shù)的個(gè)數(shù)。在列式時(shí)還要強(qiáng)調(diào)誰(shuí)做被乘數(shù)，誰(shuí)做乘數(shù)

8、。即使這樣，還是避免不了學(xué)生列出過(guò)去被認(rèn)為是錯(cuò)誤的“5×3”這樣的算式。而新教材的改動(dòng)，使教師從這樣的枯燥反復(fù)的教學(xué)中解放出來(lái)。學(xué)生也不必再為“誰(shuí)在前，誰(shuí)在后”而抓耳撓腮，從而有更多的時(shí)間與精力投入到探究性的能發(fā)展思維的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中去，“學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”的新課程理念也在這里得到了落實(shí)。第二，它方便了學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)規(guī)律的探索。例如乘法交換律部分的編寫(xiě)：教材直接出示圖片，讓學(xué)生計(jì)算一共有多少個(gè)雞蛋，由于乘法意義的變革，學(xué)生“習(xí)以為常”地寫(xiě)出的“4×9”與“9×4”這兩道算式，為學(xué)習(xí)乘法交換律的引入創(chuàng)造了有利條件，然后讓學(xué)生舉出幾個(gè)這樣的例子，由于在二年級(jí)就已經(jīng)做

9、過(guò)這樣的練習(xí)，這種列式方法被學(xué)生熟練掌握，因此學(xué)生能在舉例后說(shuō)出“兩個(gè)因數(shù)位置交換，積不變”這一規(guī)律，乘法交換律的學(xué)習(xí)自然水到渠成。第三，它拓展了學(xué)生的思維空間。如在三年級(jí)上學(xué)期，剛學(xué)多位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，學(xué)生利用加法思考乘法算式的結(jié)果時(shí)，就多了一種思路可以選擇。譬如，學(xué)習(xí)“2×10”的計(jì)算，按以前的要求，可以通過(guò)想“10個(gè)2相加是多少”來(lái)求得答案，而現(xiàn)在由于乘法意義的改動(dòng)也可以通過(guò)思考“2個(gè)10相加是多少”來(lái)求得計(jì)算的結(jié)果?？梢钥隙ǖ氖?，相比而言，探索“2×10”的計(jì)算結(jié)果，思考“2個(gè)10相加是多少”比思考“10個(gè)2相加是多少”更加方便。而且，學(xué)生在思考“3×200”甚至更大的多位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，這種以前不敢使用的思考方法更有優(yōu)勢(shì)！又如讓學(xué)生計(jì)算“72×8+2×72”，這種題型在過(guò)去是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。因?yàn)槔斫馑仨氂玫健敖粨Q律”和“分配律”，要不就會(huì)“拐不過(guò)彎來(lái)”。今天的學(xué)生卻可以十分自然地選擇適當(dāng)?shù)囊饬x而想到：8個(gè)72加上2個(gè)72不就是10個(gè)72啦！而這種如此簡(jiǎn)單的想法在過(guò)去會(huì)被認(rèn)為是不合邏輯或不嚴(yán)密的。因此，新教材“乘法意義”解放了學(xué)生的思想，開(kāi)拓了學(xué)生