my數(shù)學(xué)建模課件對策與決策模型

1、對策與決策模型 對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會(huì)遇到的擇優(yōu)活動(dòng)。對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會(huì)遇到的擇優(yōu)活動(dòng)。人們在處理一個(gè)問題時(shí)，往往會(huì)面臨幾種情況，同時(shí)又人們在處理一個(gè)問題時(shí)，往往會(huì)面臨幾種情況，同時(shí)又存在存在幾種可行方案幾種可行方案可供選擇，要求可供選擇，要求根據(jù)自己的行動(dòng)目的根據(jù)自己的行動(dòng)目的選定一種選定一種方案，方案，以期獲得最佳的結(jié)果以期獲得最佳的結(jié)果。 有時(shí)，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭有時(shí)，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動(dòng)、政治派別的斗爭等等。這時(shí)競、體育中的比賽和軍事行動(dòng)、政治派別的斗爭等等。這時(shí)競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己

2、的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能擇，此時(shí)的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當(dāng)作對策問題來求解。么也可以把決策問題當(dāng)作對策問題來求解。1 1 對策問題對策問題 對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決

3、于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。結(jié)果。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。 例例1 （田忌賽馬）（田忌賽馬） 田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時(shí)期齊王欲與田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級的馬大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他

4、出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。而贏了一千金。 對策的基本要素對策的基本要素（1 1）局中人局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個(gè)決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自一個(gè)決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的

5、斗爭）。中的競爭、政治派別間的斗爭）。（2 2）策略集合策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。應(yīng)當(dāng)注應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個(gè)競爭過程中對付他方的完整方意的是，所謂策略是指在整個(gè)競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下例如下棋中的某步只能看和一個(gè)完整策略的組成部分，而不能看成棋中的某步只能看和一個(gè)完整策略的組成部分，而不能看成一個(gè)完整的策略。一個(gè)完整的策略。當(dāng)對策問題各

6、方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各當(dāng)對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個(gè)純局勢（簡表示，稱之為一個(gè)純局勢（簡稱局勢）稱局勢）例如例如，若一對策中包含，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為兩名局中人，其策略集合分別為SA = 1, m，SB = 1, n。若。若A選擇策略選擇策略 i而而B選策選策略略 j，則（，則（ i, j）就構(gòu)成此對策的一個(gè)純局勢。顯然，）就構(gòu)成此對策的一個(gè)純局勢。顯然，SA與與SB一共可構(gòu)成一共可構(gòu)成mn個(gè)純局勢，它們構(gòu)成下表。對策問題的全個(gè)純局勢，它們構(gòu)成下表。對策

7、問題的全體純局勢構(gòu)成的集合體純局勢構(gòu)成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。稱為此對策問題的局勢集合。 ( m, n) ( m, j) ( m, 2) ( m, 1) m( i, n) ( i, j) ( i, 2) ( i , 1) i( 2, n) ( 2, j) ( 2, 2) ( 2, 1) 2( 1, n) ( 1, j) ( 1, 2) ( 1, 1) 1A的的策策略略nJ21B的策略的策略（3 3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。贏得函數(shù)贏得函數(shù)F F為定義在局勢集合為定義在局勢集合S S上的矢值函數(shù)，對于上的矢值函數(shù)，對于S S中的每一中的每一純局勢純局勢S S

8、，F(xiàn) F（S S）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。綜上所述，一個(gè)對策模型由局中人、策略（或支付）的值。綜上所述，一個(gè)對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I I = 1, = 1, ,k k ，對每一對每一i iI I，有一策略集合，有一策略集合S Si i，當(dāng)，當(dāng)I I中每一局中人中每一局中人i i選定策略選定策略后得一個(gè)局勢后得一個(gè)局勢s s；將；將s s代入贏得函數(shù)代入贏得函數(shù)F F，即得一矢量，即得一矢量F F( (s s) = ) = ( ( F F1 1( (s

9、 s),), ,F Fk k( (s s)，其中，其中F Fi i( (s s) )為在局勢為在局勢s s下局中人下局中人i i的贏得的贏得（或支付）。（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例例2 （石頭（石頭剪子剪子布）布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石

10、頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見下石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見下表。表。表表1 1石頭石頭剪子剪子布布石頭石頭（0，0）（1，-1）（-1，1）剪子剪子（-1，1）（0，0）（1，1）布布（1，-1）（-1，1）（0，0）例例3 （囚犯的困惑）（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充

11、分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑1818個(gè)月；如果雙個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3 3年；如果一方供認(rèn)另一方年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑刑7 7年。將嫌疑犯年。將嫌疑犯A A、B B被判刑的幾種可能情況列表如下被判刑的幾種可能情況列表如下：表表2 2嫌疑犯嫌疑犯B供認(rèn)供認(rèn)不供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯嫌疑犯A

12、供認(rèn)供認(rèn)不供認(rèn)不供認(rèn)（3，3）（7，0）（0，7）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A A、B B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。二、零和對策二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確定后，存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確定后，A A之所得恰為之所得恰為B B之所失，或者之所失，或者A A之所失恰為之所失恰為B B之所得，即雙方所得之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，

13、因之和總為零。在零和對策中，因F F1 1( (s s)= )= F F2 2( (s s) )，只需指出其，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A A有有m m種策略，種策略，B B有有n n種策略，贏得矩陣種策略，贏得矩陣 111212122212nnm nmmmnaaaaaaRaaa表示若表示若A A選取策略選取策略i i而而B B選取策略選取策略j j，則，則A A之所得為之所得為a aijij（當(dāng)（當(dāng)a aijij00，（ii） （i, j = 1,2,n），）， 則稱之為正互反矩陣（易見則稱之為正互反

14、矩陣（易見aii =1, i = 1, , n）。）。1jiijaa關(guān)于如何確定關(guān)于如何確定aij的值，的值，Saaty等建議引用數(shù)字等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時(shí)，用認(rèn)為，人們在成對比較差別時(shí)，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取相應(yīng)地取1,3,5,7和和9。在成對。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值可分別取值2、4、6、8。步步3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排

15、序及一致性檢驗(yàn)上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：的元素還應(yīng)當(dāng)滿足： i、j、k = 1,2,n ,ijikika aa滿足以上關(guān)系式的正互反矩陣稱為滿足以上關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣一致矩陣。但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在但要求所有比較

16、結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說是無較大時(shí)幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了了19標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了

17、解等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。的檢驗(yàn)方法?，F(xiàn)在來考察一致矩陣現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為 1, n的的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為造出來的一致矩陣為111122221212nnnnnnA容易看出，一致矩陣容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：為確定多大程度的非一致性是

18、可以允忍的，為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：等人采用了如下辦法：（1）求出）求出 ，稱，稱CI為為A的一致性指標(biāo)的一致性指標(biāo)。max1nCIn當(dāng)當(dāng)CI略大于零時(shí)（對應(yīng)地，略大于零時(shí)（對應(yīng)地，max稍大于稍大于n），），A具有較為滿意的一致性；具有較為滿意的一致性；否則，否則，A的一致性就較差。的一致性就較差。（2）Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣用從用從19及其倒數(shù)及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值的平均

19、值 ， 并定義并定義maxmax1nRIn稱稱RI為為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對對n =1,11,，Saaty給出了給出了RI的值，如表的值，如表10所示。所示。表表10N1234567891011RI000.580.9021.411.451.491.51（3）將）將CI與與RI作比較，定義作比較，定義CICRRI稱稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在認(rèn)為，在CR0.10時(shí)可以時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直

20、至具有滿意的一致性為止。直至具有滿意的一致性為止。合理利用企業(yè)利潤合理利用企業(yè)利潤調(diào)動(dòng)職工積調(diào)動(dòng)職工積極性極性C1提高企業(yè)技提高企業(yè)技術(shù)水平術(shù)水平C2改善職工工改善職工工作生活條件作生活條件C3發(fā)獎(jiǎng)金發(fā)獎(jiǎng)金P1擴(kuò)建福利擴(kuò)建福利事業(yè)事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層目標(biāo)層O準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層C措施層措施層P為求出為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造中所占的權(quán)值，構(gòu)造OC層的成對比較矩陣層的成對比較矩陣A=111535131313于是經(jīng)計(jì)算，于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得，查表得RI = 0.58，故，故CR = 0.033。

21、因。因CR0.1，接受矩陣，接受矩陣A，求出，求出A對應(yīng)于對應(yīng)于max的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量化特征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以，以W的的分量作為分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。中所占的權(quán)重。類似求措施層中的類似求措施層中的P1、P2在在C1中的權(quán)值，中的權(quán)值，P2、P3在在 C2中的權(quán)值中的權(quán)值及及P1、P2在在C1中的權(quán)值：中的權(quán)值： 1P231P1P2P1C113max=2，CI = CR = 0W = (0.75, 0.25)T15P31P2P3P2C215max=2，CI = CR = 0W = (0.167, 0.833)T1P22

22、1P1P2P1C312max=2，CI = CR = 0W = (0.66, 0.333)T經(jīng)層次單排序，得到圖經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤合理利用企業(yè)利潤調(diào)動(dòng)職工積調(diào)動(dòng)職工積極性極性C1提高企業(yè)技提高企業(yè)技術(shù)水平術(shù)水平C2改善職工工改善職工工作生活條件作生活條件C3發(fā)獎(jiǎng)金發(fā)獎(jiǎng)金P1擴(kuò)建福利擴(kuò)建福利事業(yè)事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層目標(biāo)層O準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層C措施層措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332設(shè)上一層次（設(shè)上一層次（A層）包含層）包含A1,Am共共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分

23、別為別為a1,am。又設(shè)其后的下一層次（。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含層）包含n個(gè)因素個(gè)因素B1,Bn，它們，它們關(guān)于關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為的層次單排序權(quán)值分別為b1j,bnj（當(dāng)（當(dāng)Bi與與Aj無關(guān)聯(lián)系時(shí)，無關(guān)聯(lián)系時(shí)，bij = 0）?，F(xiàn)求）。現(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排層各因素的層次總排序權(quán)值序權(quán)值b1,bn，計(jì)算按表，計(jì)算按表11所示方式進(jìn)行所示方式進(jìn)行,即即 ，i =1,n。1miijjjbb a表表11bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B層總排序權(quán)值層總排序權(quán)值A(chǔ)mA m A2

24、a 2A1a1層層A層層Bmjjjab11mjjjab12mjjnjab1步步4 層次總排序及一致性檢驗(yàn)層次總排序及一致性檢驗(yàn)最后，在步驟（最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如表所示。序權(quán)值的計(jì)算如表所示。 層層C層層PC1C2C3層層P的總排序權(quán)的總排序權(quán)值值0.1050.6370.258P10.7500.

25、6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。的非一致性。B層總排序

26、隨機(jī)一致性比率為層總排序隨機(jī)一致性比率為CR = 11( )( )mjjmjjCI j aRI j a當(dāng)當(dāng)CR0，k=0。（步（步2）迭代計(jì)算）迭代計(jì)算 ，k = 0,1,。(1)( )kkWAW若若 ，i = 1,n，則取則取W= 為為A的對應(yīng)于的對應(yīng)于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步否則轉(zhuǎn)步2。(1)( )kkiiWW(1)kW（步（步3） 將將 標(biāo)準(zhǔn)化，即求標(biāo)準(zhǔn)化，即求 其中其中 為為 的第的第i個(gè)分量。個(gè)分量。(1)(1)(1)1/nkkkiiWWW(1)kiW(1)kW(1)kW（步（步4）求）求max的近似值的近似值max1()1niiiAWnW對前面例子中的對前

27、面例子中的OC判斷矩陣，判斷矩陣，若取若取 ， =0.001，利用冪法求近似特征向量如下：，利用冪法求近似特征向量如下：(0)1 1 1,3 3 3TW（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)TW3(1)1iiW（第二次迭代）（第二次迭代） (2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)TW3(2)1iiW（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， =

28、3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)TW3(3)1iiW（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)TW3(4)1iiW因因 ，取，取W = W(4)。進(jìn)而，可求得。進(jìn)而，可求得 。(4)(3)0.001iiWWmax3.0373、和積法、和積法（步（步1）將判斷矩陣）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令1/nijijkjkaaa , i, j =1, ,n令令 。()ijAa（步（步2）將）將 中元素按行相加得到向量中元素按

29、行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i = 1, , n。AW1niijjWa（步（步3）將）將 標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即，即 W1/niijjWWW，i = 1, , nW即為即為A的（對應(yīng)于的（對應(yīng)于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 。max1()1niiiAWnW仍以前面例子中的仍以前面例子中的OC判斷矩陣為例：判斷矩陣為例：111535131313按列標(biāo)準(zhǔn)化按列標(biāo)準(zhǔn)化 0.1110.1300.0770.5560.6520.9620.3330.2170.2310.3171.9000.781W標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化0.1060.634

30、0.261W，max3.036以上近似方法計(jì)算都很簡單，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差很小，且以上近似方法計(jì)算都很簡單，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時(shí)兩者完全相同。為一致矩陣時(shí)兩者完全相同。按行相加按行相加三、層次分析法應(yīng)用舉例三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理。）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理

31、。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面

32、性。（2）比較、判斷過程較為粗糙比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。討研究。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)

33、的層次結(jié)構(gòu)。例例14 招聘工作人員招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖7.9所示。所示。招聘人員綜合情況招聘人員綜合情況知識(shí)知識(shí)能力能力外表外表經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)知知識(shí)識(shí)外外語語知知識(shí)識(shí)法法律律知知識(shí)識(shí)組組織織能能力力公公關(guān)關(guān)能能力力計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)操操作作氣氣質(zhì)質(zhì)身身高高體體形形C層層B層層A層層B1B2B3C1C2C3C4C5C6C7C8C9該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識(shí)面與外觀

34、形象同樣重要，而該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識(shí)面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立AB層成對層成對比較判斷矩陣比較判斷矩陣5W 求得求得max =3，CR = 0。1211121B1B2B3B3B2B1A1212類似建立類似建立BC層之間的三個(gè)成對比較矩陣層之間的三個(gè)成對比較矩陣: 注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計(jì)算添加上去的注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計(jì)算添加上去的 1513181C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21517121C921C87

35、51C7C9C8C7B3W = (0.186,0.737,0.077)Tmax = 3.047, = 3.047, CRCR = 0.08 = 0.08W = ( , , )T131313W = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, = 3.017, CRCR = 0.08 = 0.08max招聘人員綜合情況招聘人員綜合情況知識(shí)知識(shí)能力能力外表外表經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)知知識(shí)識(shí)外外語語知知識(shí)識(shí)法法律律知知識(shí)識(shí)組組織織能能力力公公關(guān)關(guān)能能力力計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)操操作作氣氣質(zhì)質(zhì)身身高高體體形形C層層B層層A層層5B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330

36、.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9經(jīng)層次總排序，可求得經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項(xiàng)指標(biāo)作九項(xiàng)指標(biāo)作19級評分。設(shè)其得分為級評分。設(shè)其得分為X= (x1,x9)T，用公式，用公式y(tǒng) = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4

37、 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 例例15 （挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如圖業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如圖8.10所示所示。工作滿意程度工作滿意程度研究研究課題課題發(fā)展發(fā)展前途前途待待遇遇同事同事情況情況地理地理位置位置單位單位名氣名氣工作工作1工作工作2工作工作3目標(biāo)層目標(biāo)層A準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層B方案層方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣

38、：該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：90.050.120.30W133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A12121213131214141513由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）（方案層） 0.140.620.24W0.100.330.57W0.320.220.46W12C3314C21C1C3C2C1B1141312125C314C21C1C3C2C1B214151211C311C231C1C3C2C1B313

39、13(層次總排序?qū)哟慰偱判?如表如表13所示。所示。 表表13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值90.050.120.30方案層工作20.280.470.770.40單排序工作20.620.330.220.650.470.170.34權(quán)值工作30.240.570.460.070.070.060.26根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性檢驗(yàn)）止，本例省略了一致性檢驗(yàn)）例例16 作品評比。作品評比。 電影或文學(xué)作品評獎(jiǎng)時(shí)，

40、根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，評判標(biāo)準(zhǔn)有教育性、藝術(shù)電影或文學(xué)作品評獎(jiǎng)時(shí)，根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，評判標(biāo)準(zhǔn)有教育性、藝術(shù)性和娛樂性，設(shè)其間建立的成對比較矩陣為性和娛樂性，設(shè)其間建立的成對比較矩陣為11151113531A由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，CR = 0.048 ( 0.1)max3.028本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7.11所示所示 電影或文學(xué)作品評比教育性藝術(shù)性娛樂性作品1作品n0.1580.1870.656在具體評比時(shí)，可請專家對作品的教育性、藝術(shù)性和娛樂性分別打分。在具體評比時(shí)，可請專家對作品的教育性、藝術(shù)性和娛樂性分別打分。根據(jù)作品的得分

41、數(shù)根據(jù)作品的得分?jǐn)?shù)X = (x1, x2, x3)T，利用公式，利用公式y(tǒng) = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3 計(jì)算出作品的總得分，據(jù)此排出的獲獎(jiǎng)順序。計(jì)算出作品的總得分，據(jù)此排出的獲獎(jiǎng)順序。讀者不難看出，讀者不難看出，A矩陣的建立對評比結(jié)果的影響極大。事實(shí)上，整個(gè)矩陣的建立對評比結(jié)果的影響極大。事實(shí)上，整個(gè)評比過程是在組織者事先劃定的框架下進(jìn)行的，評比結(jié)果是按組織者評比過程是在組織者事先劃定的框架下進(jìn)行的，評比結(jié)果是按組織者的滿意程度來排序的。這也說明，為了使評比結(jié)果較為理想，的滿意程度來排序的。這也說明，為了使評比結(jié)果較為理想，A矩陣矩陣的建立應(yīng)盡可能合理。的建立應(yīng)盡可能合理。例例17 教師工作情況考評。教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合評估，使晉級、獎(jiǎng)勵(lì)等盡可能科學(xué)合理，某高校為了做好教師工作的綜合評估，使晉級、獎(jiǎng)勵(lì)等盡可能科學(xué)合理，構(gòu)造了圖構(gòu)造了圖7.12所示的層次結(jié)構(gòu)模型。所示的層次結(jié)構(gòu)模型。教育工作評估教育工作評估教學(xué)工作量教學(xué)工作量指導(dǎo)研究生數(shù)指導(dǎo)研究生數(shù)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容教學(xué)效果教學(xué)效果主要刊物發(fā)表論文數(shù)主要刊物發(fā)表論文數(shù)一般論文數(shù)一般論文數(shù)國家級獲獎(jiǎng)項(xiàng)目國家