四則運(yùn)算2222222

1、四則運(yùn)算課標(biāo)解讀 一、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出了“掌握必要的運(yùn)算技能”“初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號(hào)和幾何直觀的作用”“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決”“能探索分析和解決簡(jiǎn)單問題的有效方法，了解決問題方法的多樣性”“能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性”“在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出：“能計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法”“認(rèn)識(shí)中括號(hào)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三

2、步）”“在具體運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系”“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×時(shí)間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”“經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達(dá)自己的想法”。二、課標(biāo)解讀1數(shù)的運(yùn)算：四則運(yùn)算的含義。 數(shù)（自然數(shù)）是刻畫一個(gè)集合中事物數(shù)量信息的符號(hào)，運(yùn)算（整數(shù)四則運(yùn)算）是刻畫多個(gè)集合中事物數(shù)量信息之間關(guān)系的符號(hào)（組合）。從數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯體系來看，加法運(yùn)算是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是一種特殊的加法，除法是乘法的逆運(yùn)算。 加法的定義：對(duì)于規(guī)定運(yùn)算表示在的后面增加個(gè)的序數(shù)，如果這個(gè)序數(shù)為，那么，稱為

3、與的和。求和的運(yùn)算叫做加法，記作：。顯然，加法運(yùn)算滿足封閉性、交換律、結(jié)合律。乘法的定義：乘法在本質(zhì)上是一類特殊的加法，乘法是數(shù)自相加的縮寫。一般地，對(duì)于自然數(shù)，規(guī)定乘法運(yùn)算表示個(gè)相加。顯然，乘法運(yùn)算滿足封閉性、交換律、結(jié)合律、分配律。 減法的定義：減法是加法的逆運(yùn)算，減法是通過加法來定義的。由于減法將出現(xiàn)負(fù)整數(shù)，因此，運(yùn)算的集合需要從自然數(shù)集合（）擴(kuò)展到整數(shù)集合）。整數(shù)集合包含正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)。對(duì)于，如果，則稱為減的差，求差的運(yùn)算叫做減法，記作：。顯然，整數(shù)集對(duì)于減法運(yùn)算是封閉的，而且，存在著“相反數(shù)”與“單位元”，使得，。除法的定義：除法是乘法的逆運(yùn)算。除法是通過乘法來定義的。由于除法將

4、出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，因此，運(yùn)算的集合需要從整數(shù)集合（）擴(kuò)展到有理數(shù)集合（）。對(duì)于，如果，則稱為與的商，求商的運(yùn)算叫做除法，記作：（=）。顯然，有理數(shù)集對(duì)于除法運(yùn)算是封閉的，而且，存在著“相反數(shù)”與“單位元”，使得，。 2數(shù)的運(yùn)算 數(shù)的運(yùn)算內(nèi)容貫串于整個(gè)一、二學(xué)段，是這兩個(gè)學(xué)段比較重要、占用學(xué)習(xí)時(shí)間最多的內(nèi)容。對(duì)于數(shù)的運(yùn)算首先要使學(xué)生理解為什么要運(yùn)算，這達(dá)到不同目的，決定了選擇不同的運(yùn)算方式和不同的精度要求。美國(guó)數(shù)學(xué)教師學(xué)會(huì)（NCTM）1989年編寫的學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)計(jì)算問題有一段論述，反映對(duì)運(yùn)算的觀念（見下圖），從中可以受到一些啟示。 首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解的是面對(duì)具體的情形，確定是否需要計(jì)算。然

5、后再確定需要什么樣的計(jì)算方法。口算、筆算、計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和估算都是供學(xué)生選擇的方式，都可以起到算出結(jié)果的目的。 應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生對(duì)算理的理解和掌握，按照標(biāo)準(zhǔn)的要求把握運(yùn)算的熟練程度的要求。重視估算的理解運(yùn)用。鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法去嘗試運(yùn)算，選擇合適的方法進(jìn)行運(yùn)算。理解常見的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用常見的數(shù)量關(guān)系解決問題。 （1）整數(shù)運(yùn)算 對(duì)于整數(shù)的運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)在兩個(gè)學(xué)段分別提出具體的內(nèi)容要求。 第一學(xué)段： 結(jié)合具體情境，體會(huì)整數(shù)四則運(yùn)算的意義（參見例5）。 能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)。 能計(jì)算三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以

6、一位數(shù)的除法。 認(rèn)識(shí)小括號(hào)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（兩步）。 第二學(xué)段： 能計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。 認(rèn)識(shí)中括號(hào)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）。 探索并了解運(yùn)算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律），會(huì)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算。 在具體運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系。 學(xué)習(xí)整數(shù)的運(yùn)算首先要使學(xué)生理解算理，把握四則運(yùn)算的本質(zhì)。如，加一個(gè)正數(shù)比原數(shù)大，學(xué)習(xí)加法時(shí)，要使學(xué)生理解這個(gè)算理。減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)正數(shù)就比原來的數(shù)小。乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，是求相同加數(shù)的和，這是乘法

7、的本質(zhì)特征。除法是乘法的逆運(yùn)算。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生理解四則運(yùn)算，了解它們之間的關(guān)系。 對(duì)于運(yùn)算的難度和熟練程度，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）針對(duì)不同的內(nèi)容提出明確的要求。限制運(yùn)算的步驟是為了控制繁雜的問題，往往四則運(yùn)算的多步計(jì)算會(huì)出很繁雜的問題，對(duì)于每一步驟的計(jì)算學(xué)生可能都會(huì)做，但在若干步驟計(jì)算中，如果有一個(gè)地方出錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)結(jié)果出錯(cuò)。在有的計(jì)算器之后，人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中遇到繁雜的問題時(shí)，可以選擇用計(jì)算工具，而沒有必要把用大量的時(shí)間用于復(fù)雜的運(yùn)算。而對(duì)于這種運(yùn)算，稍不留意就會(huì)在某一個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)，也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。 應(yīng)當(dāng)?shù)瘜?duì)運(yùn)算的熟練程度的要求，選擇正確的計(jì)算方法，準(zhǔn)確地

8、得到運(yùn)算結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度。 四則運(yùn)算教材分析 通過前面七冊(cè)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)的四則運(yùn)算，編排本單元的目的是對(duì)以前的知識(shí)進(jìn)行較為系統(tǒng)的概括和總結(jié)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。主要內(nèi)容分為三個(gè)方面：四則運(yùn)算的意義和各部分間的關(guān)系（例1例3）；混合運(yùn)算的順序（例4）；解決問題（例5）。一、主要內(nèi)容 本單元的主要內(nèi)容是在復(fù)習(xí)已學(xué)過四則運(yùn)算的知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算進(jìn)行概括。在學(xué)生已經(jīng)掌握的整數(shù)四則混合運(yùn)算的基礎(chǔ)上，對(duì)四則混合運(yùn)算順序進(jìn)行歸納總結(jié)。這里第一次出現(xiàn)中括號(hào)，使四則混合運(yùn)算方面的知

9、識(shí)趨于完整。本單元包括三部分內(nèi)容，即：四則運(yùn)算的意義，每種運(yùn)算中各部分間的關(guān)系；四則混合運(yùn)算；解決實(shí)際問題。本單元的內(nèi)容安排如下： 從上面可以看出，本單元教學(xué)內(nèi)容分為三個(gè)層次。 1四則運(yùn)算的意義和各部分間的關(guān)系（例1例3）學(xué)生在前七冊(cè)教材中，對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算已經(jīng)有了較多的接觸，積累了豐富的感性認(rèn)識(shí)并掌握了相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能。在此基礎(chǔ)上，對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的意義和關(guān)系進(jìn)行抽象、概括，使學(xué)生對(duì)每種運(yùn)算的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。整數(shù)四則運(yùn)算的意義是學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算意義的基礎(chǔ)，對(duì)于四則運(yùn)算意義認(rèn)識(shí)的提升，將為學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的意義和關(guān)系打下基礎(chǔ)。 2四則混合運(yùn)算（例4）。四則混合運(yùn)算和運(yùn)算順序是

10、計(jì)算教學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識(shí)。本單元在學(xué)生已學(xué)過的混合運(yùn)算及運(yùn)算順序，初步認(rèn)識(shí)小括號(hào)的作用的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)中括號(hào)，對(duì)整數(shù)四則混合運(yùn)算進(jìn)行概括和總結(jié)。由此，不僅使學(xué)生豐富了計(jì)算知識(shí)，提高計(jì)算能力，也為學(xué)生列綜合算式解決問題打好基礎(chǔ)。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)運(yùn)算做好準(zhǔn)備。 3解決問題（例5）。本單元設(shè)置用兩、三步計(jì)算解決的實(shí)際問題，旨在讓學(xué)生合理靈活的運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題，感受、領(lǐng)悟優(yōu)化思想，提高解決問題的能力。 四則運(yùn)算的意義、四則混合運(yùn)算的順序是本單元的教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)的難點(diǎn)。 二、教學(xué)目標(biāo) 1結(jié)合具體情境，理解加、減、乘、除四則運(yùn)算的意義，掌握四則運(yùn)算中各部分間的關(guān)系，對(duì)四則運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行較系統(tǒng)的概括和總結(jié)

11、。 2認(rèn)識(shí)中括號(hào)，掌握四則混合運(yùn)算的順序，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則混合運(yùn)算。 3讓學(xué)生經(jīng)歷解決實(shí)際問題的過程，學(xué)會(huì)用四則混合運(yùn)算知識(shí)解決一些實(shí)際問題，感受解決問題的一些策略和方法。 4通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高抽象概括能力，養(yǎng)成認(rèn)真審題、獨(dú)立思考等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、教學(xué)建議1讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程。 學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)會(huì)加、減、乘、除的計(jì)算方法，積累了豐富的有關(guān)加、減、乘、除的意義的感性認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，通過解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，激活學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，再以“為什么要用加（減、乘、除）法計(jì)算？”引導(dǎo)學(xué)生思考，概括運(yùn)算的意義。例如教學(xué)加法的意義時(shí)，可放手讓學(xué)生解決“西寧到拉薩的鐵路長(zhǎng)多少千米”

12、這個(gè)問題。在解決問題中經(jīng)歷把814 km與1142km合在一起，即把814與1142合成一個(gè)數(shù)的計(jì)算過程，喚起學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。之后，通過“為什么要用加法計(jì)算？”引導(dǎo)學(xué)生思考：加法是什么樣的運(yùn)算？在此基礎(chǔ)上，概括加法的意義，進(jìn)而概括說明加法算式各部分的名稱。由解決問題到概括出加法的意義，是學(xué)生對(duì)加法的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。2重視歸納整理，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。 本單元教學(xué)的重要內(nèi)容是概括四則運(yùn)算的意義，豐富、梳理四則混合運(yùn)算順序的知識(shí)。教材設(shè)置了4道例題， 依次教學(xué)加、減、乘、除法的意義及各部分間的關(guān)系，0的運(yùn)算特性，四則混合運(yùn)算等教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)中，教師要縱觀全局駕馭教

13、材，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把分散學(xué)習(xí)的知識(shí)串成線、結(jié)成網(wǎng)，逐步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。例如，在概括四則運(yùn)算的意義之后，可引導(dǎo)學(xué)生用圖表的形式，歸納整理知識(shí)，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握。3組織好練習(xí)，深化知識(shí)，培養(yǎng)能力 本單元設(shè)置了3個(gè)練習(xí)，都突出了教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)，應(yīng)突出練習(xí)的針對(duì)性，注重學(xué)生的理解和掌握。例如，練習(xí)一第1題是四道有關(guān)加、減運(yùn)算意義的問題。題目中特別提出：“下面各題應(yīng)用什么方法計(jì)算？為什么？”要求用加、減法得意義說明各題選擇方法的道理。教學(xué)時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷把加、減法的意義應(yīng)用于具體問題進(jìn)行判斷、推理和表述的過程。這樣，才能讓學(xué)生加深理解加、減法的意義，培養(yǎng)學(xué)生的判斷、

14、推理能力及有根據(jù)的說理能力。又如，練習(xí)2第3題“調(diào)皮的小貓”，調(diào)皮的小貓的爪印遮住了等式中的因數(shù)、除數(shù)或被除數(shù)。教學(xué)時(shí)，不僅要用好活潑有趣的素材，激發(fā)學(xué)生參與練習(xí)活動(dòng)的興趣；還要組織好交流，請(qǐng)學(xué)生說說求出“爪印下”各數(shù)的根據(jù)。學(xué)生根據(jù)算式各部分間的關(guān)系來說明，或是利用乘、除法的關(guān)系來解釋，將使學(xué)生對(duì)乘、除法算式各部分間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)得到進(jìn)一步提高，使學(xué)生加深對(duì)乘、除法關(guān)系的理解。4建議用6課時(shí)教學(xué)四則運(yùn)算重難點(diǎn)突破 一、加、減法的意義及各部分間的關(guān)系突破建議：1用好主題圖展開教學(xué)活動(dòng)。 教學(xué)時(shí)，可用課件呈現(xiàn)我國(guó)地圖鐵路建設(shè)的發(fā)展。隨語(yǔ)言描述先定格在西寧至格爾木，再呈現(xiàn)格爾木至拉薩的鐵路修通。讓學(xué)

15、生直觀感受西寧至拉薩包括西寧到格爾木和格爾木到拉薩兩段路程。同時(shí)了解我國(guó)鐵路建設(shè)的發(fā)展，感受時(shí)代的發(fā)展。以現(xiàn)實(shí)情境引入教學(xué)，可以促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來。2引導(dǎo)學(xué)生對(duì)加法的意義進(jìn)行概括。 解決“西寧到拉薩的鐵路長(zhǎng)多少千米”這個(gè)問題后，以“為什么用加法計(jì)算”來引導(dǎo)學(xué)生思考“加法是什么樣的運(yùn)算”，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際應(yīng)用到抽象概括意義的過程。這個(gè)過程也是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的過程。3通過對(duì)比，突破教學(xué)難點(diǎn)。 盡管學(xué)生對(duì)減法的人是積累了豐富的感性認(rèn)識(shí)，但從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)減法還有很大的距離。因此，教學(xué)中可組織好“對(duì)比”活動(dòng)，讓學(xué)生通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)第2、3題和第1題的聯(lián)系，即第1題是已知兩個(gè)加數(shù)求它們

16、的和，第2、3題是反過來，已知兩個(gè)加數(shù)的和和其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)。從而幫助學(xué)生突破概括減法意義的難點(diǎn)。同時(shí)通過對(duì)比有效幫助學(xué)生理解減法是加法的反向運(yùn)算，建立逆運(yùn)算概念，掌握加、減法的關(guān)系。4以“問題”引導(dǎo)學(xué)生整理出關(guān)系式  對(duì)加、減法各部分間的關(guān)系的總結(jié)，以“加（減）法中最基本的數(shù)量關(guān)系式是什么？”“怎樣求加法？”“怎樣求被減數(shù)和減數(shù)？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，整理出加、減法各部分間的關(guān)系式。由此，提升學(xué)生對(duì)加、減法算式中各部分間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生受到初步的辯證的思想熏陶。二、乘、除法的意義及各部分間的關(guān)系突破建議：1讓學(xué)生經(jīng)歷“過程”，提升認(rèn)識(shí)放手讓學(xué)生獨(dú)立解

17、決問題，激活已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生比較加法算式與乘法算式，思考：乘法是什么樣的運(yùn)算？有解決問題到比較與思考，讓學(xué)生經(jīng)歷“由3+3+3+3=12與3X4=12，用乘法算比較簡(jiǎn)便求幾個(gè)相同加數(shù)的和用乘法算簡(jiǎn)便概括出乘法的確切意義”的過程，使學(xué)生對(duì)乘法的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。2突出除法和乘法的聯(lián)系，概括除法的意義除法是與乘法相反的運(yùn)算。借助學(xué)生對(duì)除法意義的感性認(rèn)識(shí)，以解決第（1）（2）（3）題為基礎(chǔ)，組織比較活動(dòng)。通過比較，弄清楚乘法算式與除法算式中已知數(shù)與未知數(shù)的變化，進(jìn)而從除法算式和乘法算式的聯(lián)系出發(fā)，思考、概括除法的意義。這樣，不僅利于用比較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括除法的意義，還有助

18、于學(xué)生理解除法和乘法的關(guān)系，認(rèn)識(shí)除法是乘法的逆運(yùn)算。3借助具體實(shí)例化解難點(diǎn)學(xué)生對(duì)乘、除法各部分間的關(guān)系和有關(guān)0的運(yùn)算，在前幾年的學(xué)習(xí)中積累了比較豐富的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。這里，重點(diǎn)是總結(jié)整理出關(guān)系式和把有關(guān)0的運(yùn)算知識(shí)系統(tǒng)化。其中，概括有余數(shù)除法各部分間的關(guān)系，以及“0為什么不能作除數(shù)”是教學(xué)的難點(diǎn)。  教學(xué)中，可以借助具體實(shí)例，幫助學(xué)生想清楚、弄明白，化解難點(diǎn)。例如，呈現(xiàn)有余數(shù)除法算式30÷4=72 ，185÷12=155 ，據(jù)此讓學(xué)生思考“怎樣求被除數(shù)”等問題，進(jìn)而概括出關(guān)系式。再如，借一個(gè)非零的數(shù)除以0（如：5÷0=口）與0÷0的例子，讓學(xué)生對(duì)例子的討論獲得“0不能作除數(shù)”的結(jié)論。這個(gè)過程，也讓學(xué)生明白了0為什么不能作除數(shù)的道理。三、含括號(hào)的混合運(yùn)算的順序突破建議：1步步深入，發(fā)揮學(xué)生的主體作用 教學(xué)例4時(shí)，首先借助基本式題96÷124 X 2與例4（1）依次展開數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過“說”和“計(jì)算”激活已有的混合運(yùn)算的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并把這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)自然運(yùn)用到三步