IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)

1、 第第6章章 IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)6.1 6.1 概述概述 6.1.1 IIR 6.1.1 IIR 數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)n我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為： （6.16.1） MiNiiiinybinxany01)()()(n進(jìn)行進(jìn)行z變換，可得：變換，可得： n于是得到于是得到IIRIIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： (6.2) (6.2)MiNiiiiizYzbzXzazY01)()

2、()(NiiiMiiizbzazXzYzH101)()()( 6.1.2 IIR 6.1.2 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法n 對對(6.2)(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得到：可以得到： (6.3) (6.3)n其中其中c ci i 為零點(diǎn)而為零點(diǎn)而d di i為極點(diǎn)。為極點(diǎn)。H(z)H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。三種方法。NiiMiiNiiiiMiizdzcazbzazH

3、1111010)1 ()1 (1)( 1. 1. 零極點(diǎn)位置累試法零極點(diǎn)位置累試法n IIR IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值處出現(xiàn)谷值, , 因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來設(shè)置因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來設(shè)置H(z)H(z)的零極點(diǎn)以的零極點(diǎn)以達(dá)到簡單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要達(dá)到簡單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過多次改變零極點(diǎn)的位置來達(dá)到要求。當(dāng)然這種求時(shí)，通過多次改變零極點(diǎn)的位置來達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。 2

4、. 2. 借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器n 模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起簡單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起來方便準(zhǔn)確。來方便準(zhǔn)確。n而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的, , 因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)因此，完全可以借助

5、于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在計(jì)數(shù)字濾波器。在IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用了這種方法。了這種方法。 3. 3. 用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)n 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計(jì)算誤差和誤差梯度等。擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計(jì)算誤差和誤差梯度等。 n第二步是最優(yōu)化過程，這個(gè)過程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的參第二步是最優(yōu)化過程，這個(gè)過程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的

6、參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計(jì)算計(jì)算H(z)H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)?shù)奶匦耘c所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過程也就到此完成。設(shè)計(jì)過程也就到此完成。 n這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫做機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫

7、做IIRIIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)(CAD)。n第一種方法的算法簡單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第一種方法的算法簡單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。得最多的第二種方法。 6.1.3 6.1.3 借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理n利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)

8、數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s)，然后，然后由由H Ha a(s)(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 6.2 6.2 模擬低通濾波特性的逼近模擬低通濾波特性的逼近n 模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)

9、的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。 n模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H Ha a(j)(j)是沖激響應(yīng)是沖激響應(yīng)h ha a(t)(t)的傅里葉變的傅里葉變換，換，H Ha a(j)(j)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。n圖圖6.16.1中用虛線畫出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾波中用虛線畫出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾

10、波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|H|Ha a(j)|(j)|2 2來給出的。來給出的。 nc c 是截止頻率，當(dāng)是截止頻率，當(dāng)00c c時(shí)，時(shí)，|H|Ha a(j)|(j)|2 2 =0=0，是阻帶。圖，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線中的實(shí)的曲線表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、逼近、 Chebyshev逼逼近和近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近

11、。逼近（也叫橢圓逼近。 6.2.1 Butterworth 6.2.1 Butterworth低通濾波特性的逼近低通濾波特性的逼近n 對于對于ButterworthButterworth濾波器有：濾波器有： （6.4）n滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里型濾波器。這里N為正整數(shù)，為為正整數(shù)，為B 型濾波器的階次，為截止頻率。型濾波器的階次，為截止頻率。|()|()HjaNc2211 6.2.1.1 B 6.2.1.1 B型濾波特性型濾波特性 1. 最平坦函數(shù)最平坦函數(shù)n B型濾波器的幅頻特性是隨型濾波器的幅頻特性是隨 增大而單調(diào)下降的。在增大而單調(diào)

12、下降的。在 =0附近以及附近以及 很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。型特性又叫做最平坦特性。 n2. 3db帶寬帶寬n 由由(6.4)式可知，當(dāng)式可知，當(dāng)=c c 時(shí)，時(shí)， = ，而，而 n因此截止頻率又叫做因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。帶寬或者半功率點(diǎn)。 dbjHca3log10| )(|log102110210|()|Hja212 圖圖6.1 6.1 ButterworthButterworth低通濾波器的平方幅度特性低通濾波器的平方幅度特性 3. N的影響的影響 n

13、在通帶內(nèi)，在通帶內(nèi)，0(/c)1，故，故N越大，越大， 隨隨 增大而下增大而下降越快。降越快。|()|Hja2|()|Hja2n因此，因此，N越大，越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的形狀；而不同的N所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過c c 處的半功處的半功率點(diǎn)。離率點(diǎn)。離c c越近，幅頻特性與理想特性相差越大。越近，幅頻特性與理想特性相差越大。 6.2.1.2 6.2.1.2 由得到由得到Ha(s), BHa(s), B型濾波器的極點(diǎn)型濾波器的極點(diǎn)n由于由于H Ha a(s)(s)是是s s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：的實(shí)系數(shù)有理函

14、數(shù)，故有： ，令令s=j, s=j, 則有：則有： ， 而而 (6.5) (6.5)n由由(6.4)(6.4)式和式和(6.5)(6.5)式有：式有： n用用s s代替上式中的代替上式中的j j : (6.6): (6.6)HsHsaa*( )()HjHjaa*()()|()|()()()()*HjHjHjHjHjaaaaa2HjHjaaNjjNcc()()()()111122)(1 1)()(2NjsaacsHsH 圖圖 6.2 6.2 階次階次N N對對B B型特性的影響型特性的影響n(6.6)(6.6)式的極點(diǎn)為：式的極點(diǎn)為： p=0,1, p=0,1,2N-1 ,2N-1 n 作為作為

15、 1 1的的2N2N次方根，次方根，p p 均勻地分布在單位圓上，均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為幅角間隔為/N /N ；它們關(guān)于實(shí)軸對稱，卻沒有一個(gè)在實(shí)；它們關(guān)于實(shí)軸對稱，卻沒有一個(gè)在實(shí)軸上。顯然，將軸上。顯然，將 的模乘上，再將其按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，的模乘上，再將其按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就得到就得到s sp p。因此，。因此，s sp p均勻地分布在半徑為的圓周上，其位均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個(gè)在虛軸上，這就是說，置關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個(gè)在虛軸上，這就是說，2N2N個(gè)個(gè)極點(diǎn)極點(diǎn)s sp p在在s s平面的左、右兩半平面各有平面的左、右兩半平面各有N N個(gè)。個(gè)。p

16、cNcpjjs)2/(1) 1(n 這這2N2N個(gè)極點(diǎn)是個(gè)極點(diǎn)是H Ha a(s)H(s)Ha a(-s)(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s)的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s s平平面的面的N N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)s sk k（k=0,1,k=0,1,N-1),N-1)分給分給H Ha a(s)(s)，這樣，右半，這樣，右半平面的平面的N N 個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)-s-sk k就正好是就正好是H Ha a(s)(s)的極點(diǎn)。因此有：的極點(diǎn)。因此有： (6.8) (6.8)()()(110NNcassssss

17、sHn這個(gè)式子中的常數(shù)這個(gè)式子中的常數(shù) 是為了使是為了使(6.5)(6.5)式滿足而加入的。式滿足而加入的。 這這N N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)s s0 0、s s1 1、s sN-1在在s s 平面的左半平面而且以共平面的左半平面而且以共軛形式成對出現(xiàn)，當(dāng)軛形式成對出現(xiàn)，當(dāng)N N為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), , 有一個(gè)在實(shí)軸上有一個(gè)在實(shí)軸上 ( (為為 - ) - )。cNc6.2.1.3 6.2.1.3 一般情況下的一般情況下的B B型低通濾波器型低通濾波器 圖圖 6.3 6.3 一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)n此時(shí)，應(yīng)該將角頻率此時(shí)，應(yīng)該將角頻率 標(biāo)稱化，通常以標(biāo)稱化，通常以1

18、1為基準(zhǔn)頻率，為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：則標(biāo)稱化角頻率為：=/=/1 1 。于是通帶邊界的標(biāo)稱。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為化角頻率為 1 1=1=1，并且在通帶有，并且在通帶有0011，在過渡，在過渡帶和阻帶則有帶和阻帶則有 11。n以下為了方便起見，仍用不帶撇的以下為了方便起見，仍用不帶撇的 表示標(biāo)稱化的角頻率。表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，頻率標(biāo)稱化后，B B型濾波器的平方幅度特性仍如型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)(6.2)式所式所示，只是式中的參數(shù)和示，只是式中的參數(shù)和N N都需要由圖都需要由圖6.36.3給出的指標(biāo)來確定。給出的指標(biāo)來確定。 n（6.46.4）式可以寫成

19、：）式可以寫成： (6.10) (6.10)n當(dāng)當(dāng)=1 1=1=1時(shí)，上式為：時(shí)，上式為： (6.11) (6.11)n令令 (6.12) (6.12)n則由則由(6.11)(6.11)式可得：式可得： )(1 1| )(|2212NNacjH21221)1(1/1)(AjHNca221)(BNcBA21211n當(dāng)當(dāng) 時(shí)有：時(shí)有： (6.13) (6.13)n故故 (6.14) (6.14)n由由(6.14)(6.14)式可求出式可求出N N，再將其代入，再將其代入(6.12)(6.12)式，即可求式，即可求 得得 。222222221 1| )(|ABjHNa22222/ ) 11(BANc

20、6.4 6.4 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法n 本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)。s s是模擬復(fù)頻率，是模擬復(fù)頻率，H Ha a(s)(s)也是模擬濾波器的沖也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)激響應(yīng)h ha a(t)(t)的拉氏變換。的拉氏變換。 6.4.1 6.4.1 沖激響應(yīng)不變法的變換方法沖激響應(yīng)不變法的變換方法n 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可以表示為：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋?(6.62)

21、 (6.62)NkkMiiNkkkMiiiassssAsbsasH1100)()()(n而且一般都滿足而且一般都滿足MNM0, r 0, r 1 1；當(dāng)；當(dāng) 0, r1 0, r1。 ssTjTjeeresTern (6.75) (6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了也表示了z z平面的幅角平面的幅角與與s s平面的虛部平面的虛部之間的關(guān)系。由之間的關(guān)系。由(6.75)(6.75)式還可以知道，式還可以知道，s s平面上平面上 由由-/T-/Ts s到到/T/Ts s這一條這一條狀區(qū)域映射到狀區(qū)域映射到z z平面上平面上 由

22、由- -到的區(qū)域，即整個(gè)到的區(qū)域，即整個(gè)z z平面；平面；s s平平面上的水平線面上的水平線=-/T=-/Ts s映射到映射到z z平面上的射線平面上的射線=-=-，而，而當(dāng)這條射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，對應(yīng)的當(dāng)這條射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，對應(yīng)的s s平面上的水平平面上的水平線就向上平移。線就向上平移。n 上面所闡述的不僅是模擬域上面所闡述的不僅是模擬域s s平面與數(shù)字域平面與數(shù)字域z z平面之間的平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s s平面與平

23、面與z z平面平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。濾波器。 圖圖 6.14 6.14 模擬復(fù)頻率模擬復(fù)頻率 s s 與數(shù)字復(fù)頻率與數(shù)字復(fù)頻率 z z 之間的映射關(guān)系之間的映射關(guān)系 n 例例6.6 6.6 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階 Butteworth Butteworth數(shù)數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為字低通濾波器，抽樣頻率為f fs s =1.2 kHz, =1.2 kHz, 截止頻率為截止頻率為 =400 Hz=400 Hz。n解 ： 此 數(shù) 字 濾 波 器 的 截 止 頻 率 ：解 ：

24、 此 數(shù) 字 濾 波 器 的 截 止 頻 率 ： c c = 2 f= 2 fc c =2=2400=800 400=800 弧度弧度/s/sn這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù): :n其中其中 ， ，n現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令 ( (* *2)2)()()(2103sssssssHcacjcjes)2321(3/20cjces1cjcjes)2321(3/42210210)()(1ssCssBssAssssssn可以得到：可以得到： n根據(jù)根據(jù)( (* *1)1)式和式和( (* *

25、2)2)式，再將式，再將A A、B B、C C代入，便得到：代入，便得到： 232/32/3cjA21cB232/32/3cjC2102/ )3/1 (2/ )3/1 ()(ssjssssjsHcccan上式中上式中T Ts s =1/f=1/fs s =1/1200=1/1200（秒）。（秒）。 11111121021013/ )3/1 (13/213/ )3/1 ( )12/ )3/1 (112/ )3/1 ()( zejzezejzejzezejTzHssssssTsTsTsTscTscTscs而6.5 6.5 雙線性變換法雙線性變換法 6.5.1 6.5.1 雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出雙線性

26、變換關(guān)系的導(dǎo)出n模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可以變換可以變換 為：為： n這里為了方便說明，已令這里為了方便說明，已令M=NM=N。NiiiMiiiasbsasH00)(NjjjNjjjasdscAsH101)(n由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器 ，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。n模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為： n則其沖激響應(yīng)為：則其沖激響應(yīng)為：

27、1sH ssI( ) 1 h tLHsttII11000( )n設(shè)有一信號(hào)設(shè)有一信號(hào)(t0(t0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應(yīng)為：對的響應(yīng)為： n設(shè)設(shè)0t0t1 1t00，即右半平面，即右半平面 r1, r1, 即單位圓外即單位圓外 =0=0，即虛軸，即虛軸 r=1, r=1, 即單位圓即單位圓 00，即左半平面，即左半平面 r1, r1, 即單位圓內(nèi)即單位圓內(nèi)n因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)

28、不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s s與相應(yīng)的數(shù)字濾與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率波器的復(fù)頻率z z之間的映射是一一對應(yīng)的關(guān)系。之間的映射是一一對應(yīng)的關(guān)系。 圖圖 6.16 6.16 雙線性變換法雙線性變換法s s平面與平面與z z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系 6.5.3 6.5.3 頻率預(yù)畸變頻率預(yù)畸變 n 下面討論下面討論s s平面的虛軸與平面的虛軸與z z平面的單位圓的映射關(guān)系，平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率也即模擬濾波器的角頻率 與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率 之間的關(guān)系。在之間的關(guān)系。在(6

29、.84)(6.84)式中令式中令 = 0 = 0 ，便可得到：，便可得到： 或或 （6.856.85） 221sTtg22tgTs 圖圖 6.17 6.17 與與之間的非線性關(guān)系之間的非線性關(guān)系n 與與 的關(guān)系是非線性的，但是，的關(guān)系是非線性的，但是，s s平面上的虛軸一一對應(yīng)平面上的虛軸一一對應(yīng)地映射到了地映射到了z z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。變換法，不存在頻域混疊失真的問題。n由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率 與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率 之之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾

30、波器的相位頻率特間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；性產(chǎn)生失真； n但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實(shí)際但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實(shí)際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照照(6.85)(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)來設(shè)計(jì)模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵來設(shè)計(jì)模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會(huì)正好映射到所要求的位置上。頻率就會(huì)正好映射到所要求的位置上。 6.5.4 6.5.4

31、雙線性變換法的特點(diǎn)雙線性變換法的特點(diǎn) 1 1模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H Ha a( ( ) ) 無限無限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。等各種類型的數(shù)字濾波器。 2 2與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系系=T=Ts s不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與

32、所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進(jìn)行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會(huì)使所設(shè)計(jì)如果事先進(jìn)行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會(huì)使所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3 3雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解。部分分式分解。n因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會(huì)產(chǎn)生相頻特性失真，法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會(huì)產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴(yán)，則不宜采用這所以若對