偏微分方程數(shù)值解法(拋物型方程差分法)2

1、1/17偏微分方程數(shù)值解法偏微分方程數(shù)值解法 7拋物型方程差分法拋物型方程差分法2差分格式穩(wěn)定性概念差分格式穩(wěn)定性概念顯、隱格式穩(wěn)定性分析顯、隱格式穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析的矩陣方法穩(wěn)定性分析的矩陣方法2/17xt2/hr 拋物型方程拋物型方程kjkjxkjkjfuhauu 2221 kjkjkjkjkjfuuraurau )()21(11221),(222txfxuatu 簡單顯式差分格式簡單顯式差分格式在實際應(yīng)用時在實際應(yīng)用時, ,取逐層計算形式取逐層計算形式. .當(dāng)初始層數(shù)據(jù)有誤當(dāng)初始層數(shù)據(jù)有誤差時差時, ,誤差會逐層傳播誤差會逐層傳播, ,影響以后各層的解影響以后各層的解. .記記 的誤差

2、為的誤差為 , , 設(shè)設(shè) 無誤差無誤差, , 則有則有kjukj kjf)()21(11221kjkjkjkjrara 3/17)(21111kjkjkj 2/12 ra取取)()21(11221kjkjkjkjrara 設(shè)初始層上設(shè)初始層上, ,僅有僅有 , ,其它點處無誤差其它點處無誤差 00j在各計算層上在各計算層上, ,誤差傳播得到控制誤差傳播得到控制4/17)()21(11221kjkjkjkjrara 12 ra取取)(111kjkjkjkj 設(shè)初始層上設(shè)初始層上, ,僅有僅有 , ,其它點處無誤差其它點處無誤差 00j在各計算層上在各計算層上, ,誤差傳播沒有得到控制誤差傳播沒有

3、得到控制5/17無窮大范數(shù)定義無窮大范數(shù)定義雙層差分格式雙層差分格式記矩陣記矩陣雙層格式的矩陣形式雙層格式的矩陣形式kkkkkfuBuA )(1)(雙層差分格式初值穩(wěn)定概念雙層差分格式初值穩(wěn)定概念:kkkkBA )(1)( 任意解都滿足任意解都滿足|0kkM 其中其中 M 與與 無關(guān)無關(guān). k k0 |max|1kjnjkuu kjnmkmkjmnmkmkjmfuu 1)(11)(nnkjmkA )()()( nnkjmkB )()()( 6/17簡單顯式差分格式簡單顯式差分格式)()21(11221kjkjkjkjuuraurau )(0jjxu 010 knkuu), 2 , 1(nj 穩(wěn)

4、定性分析穩(wěn)定性分析, ,設(shè)設(shè)2/12 ra|)|(| )21(|11221kjkjkjkjuuraurau |2|)21(22kkuraura |1kkjuu |1kCkuu此時差分格式穩(wěn)定此時差分格式穩(wěn)定7/17kkkkBA )(1)( 設(shè)齊次方程設(shè)齊次方程系數(shù)矩陣可逆系數(shù)矩陣可逆 kkkkBA )(1)(1 記記 稱之為過渡矩陣稱之為過渡矩陣 )(1)()(kkkBAH kkkH )(1 kkH 1常系數(shù)差分格式常系數(shù)差分格式H 的譜半徑的譜半徑:| )(|max)(1HHjnj 11)(MH 定理定理: 雙層差分格式穩(wěn)定的必要條件是雙層差分格式穩(wěn)定的必要條件是,存在與存在與 無無關(guān)的常數(shù)

5、關(guān)的常數(shù) M1 ,使得使得 8/17定理定理 若若 H = A-1B 為正規(guī)矩陣為正規(guī)矩陣,即即 HH* = H*H, 則條件則條件 11)(MH 是雙層差分格式按歐氏范數(shù)穩(wěn)定的充分條件是雙層差分格式按歐氏范數(shù)穩(wěn)定的充分條件注：歐氏范數(shù)注：歐氏范數(shù)(或離散或離散L2范數(shù)范數(shù))2/1120)(| njkjkuhu9/17簡單顯式差分格式矩陣形式簡單顯式差分格式矩陣形式kkkfuCraIrau )21(221)21(22CraIraH 過渡矩陣過渡矩陣特征值特征值 )1cos(2)21(22 njraraj nnrarararararara 2222222212121)1cos(1212 njra

6、 )1(2sin4122 njra 10/17過渡矩陣的譜半徑過渡矩陣的譜半徑 | )(|max)(1HHjnj |)1(2sin41|max221 njranj |1 |n 2ra| )(|2ra )(2ra 1)1(2sin4)1(2sin412222 nnranra 極值點滿足極值點滿足 212 ra11cos)1(2sin21)(22 nnra 顯式差分格式穩(wěn)定充分條件顯式差分格式穩(wěn)定充分條件. . 222/ ah 11/171122)21( khkhkhfuuCraIra 簡單隱式差分格式矩陣形式簡單隱式差分格式矩陣形式1212121 rarararararara特征值特征值 122

7、1cos2)21()( njraraHj 1)1cos1(21 njra 1)1(2sin41 122 njra 122)21( CraIraH過渡矩陣過渡矩陣12/17過渡矩陣的譜半徑過渡矩陣的譜半徑 | )(|max)(11HHjNj |)1(2/(sin411|max21 njranj 1)1(2/(sin4112 nra 隱式差分格式無條件穩(wěn)定隱式差分格式無條件穩(wěn)定. . 13/17C-N 格式矩陣形式格式矩陣形式 1222)1( kuCraIra)(22)1(122 kkkffuCraIra 1222)1( CraIraH2)1(22CraIra 特征值特征值 )1/(cos()1(

8、)1/(cos()1(2222 njraranjraraj )1(2/(sin21)1(2/(sin212222 njranjra 14/17過渡矩陣的譜半徑過渡矩陣的譜半徑 | )(|max)(1HHjnj |)1(2/(sin21)1(2/(sin21|max22221 njranjranj 1)( H C-N 格式是無條件穩(wěn)定的格式是無條件穩(wěn)定的. . 15/17數(shù)值實驗題數(shù)值實驗題 用三種差分格式求用三種差分格式求初邊值問題數(shù)值解初邊值問題數(shù)值解 0, 0), 1(), 0(10,sin)0 ,(0, 10,ttutuxxxutxuuxxt 并與準(zhǔn)確解比較并與準(zhǔn)確解比較 xttxu s

9、in)exp(),(2 顯格式顯格式kjxkjkjuhauu22211 隱格式隱格式122211 kjxkjkjuhauu C-N格式格式)(2112221kjkjxkjkjuuhauu 16/17數(shù)值計算實驗數(shù)值計算實驗00.20.40.60.810246x 10-5顯格式顯格式:input T:=1error = 7.9443e-006k = 200 CN格式格式input T:=1error = 2.6227e-006k = 5000.20.40.60.810246x 10-517/17T=input(input T:=);h=1/10;ta=1/200;r=ta/(h*h);s=1-2*r;x=0:h:1;N=length(x);t=0;uk=sin(pi*x);II=2:N-1;k=0;%顯格式計算程