平方差公式（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章整式的運(yùn)算平方差公式（二）山東省濟(jì)南市第二十七中學(xué) 朱艷本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法及多項(xiàng)式乘法之后的一節(jié)課。從知識(shí)上來講，實(shí)際上不是新知識(shí)，而是上一節(jié)整式乘法的一個(gè)特例。因而可以引導(dǎo)學(xué)生在已有整式乘法知識(shí)的基礎(chǔ)上，歸納這一乘法結(jié)果的普遍性，讓學(xué)生明確這一公式來源于整式乘法。除了從代數(shù)角度來認(rèn)識(shí)這個(gè)公式之外，還要引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)乘法公式的幾何背景，可以加深學(xué)生對(duì)這個(gè)乘法公式的直觀印象，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式乘法，對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的形成及幾何意義有一定的了解，這對(duì)學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)有一定的幫助。相信，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)該和樂意用自己已學(xué)的

2、知識(shí)來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，學(xué)習(xí)新的知識(shí)。這一點(diǎn)是與新課程標(biāo)準(zhǔn)中讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過程的要求相符的。但是對(duì)學(xué)生來說，如何從項(xiàng)的角度來理解平方差公式的特征，以區(qū)別與其他多項(xiàng)式相乘的算式會(huì)有一定的困難，再加上要學(xué)生用圖形來解釋所得的乘法公式，要求有點(diǎn)高，估計(jì)學(xué)生會(huì)需要老師的幫助。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流、獲得知識(shí)，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信。平方差公式第二

3、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)說明一、 學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，并且掌握了字母表示數(shù)的廣泛意義，學(xué)會(huì)了一些探索規(guī)律的方法。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：本節(jié)課從組織學(xué)生運(yùn)用平方差公式進(jìn)行判斷正誤入手，通過拼圖游戲引入新課。學(xué)生在探索這個(gè)問題的過程中，將自然體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的作用，并靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課從組織學(xué)生運(yùn)用平方差公式進(jìn)行判斷正誤入手，通過拼圖游戲引入新課。學(xué)生在探索這個(gè)問題的過程中，將自然體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的作用，并靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。本節(jié)課的教學(xué)要培養(yǎng)

4、學(xué)生的推理能力，使學(xué)生通過大膽而又合情合理的推理，有條理地表達(dá)自己的思考過程。由此，根據(jù)課標(biāo)要求，我確定本節(jié)課的目的如下：1知識(shí)與技能：(1)發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力；(2)了解平方差公式的幾何背景。2數(shù)學(xué)思考、解決問題：(1)在進(jìn)一步體會(huì)平方差公式的意義時(shí)，發(fā)展推理和有條理的表達(dá)能力；(2)通過拼圖游戲，與同伴交流平方差公式的幾何背景。3情感與態(tài)度：在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí)，通過小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作精神。三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念是：遵循“教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究”同步協(xié)調(diào)的原則，讓學(xué)生在探究合作交流的過程中，展示思維過程，讓學(xué)生的思維全過程得到充分暴露，學(xué)生在再發(fā)

5、現(xiàn)、再發(fā)明的過程中，思維火花發(fā)生強(qiáng)烈碰撞，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、生成為自然的事情.本節(jié)課可以按如下教學(xué)方式展開：放手做一做引導(dǎo)想一想鼓勵(lì)說一說特例驗(yàn)一驗(yàn)設(shè)法證一證（多項(xiàng)式展開、幾何圖形解釋）規(guī)律用一用。 第一環(huán)節(jié) 復(fù)習(xí)回顧活動(dòng)內(nèi)容：1提問平方差公式的內(nèi)容2判斷正誤：（1）（a+5）(a-5)=(2)(3x+2)(3x-2)=(3)(a-2b)(-a-2b)=(4)(100+2)(100-2)=9996(5)(2a+b)(2a-b)=提問：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，因式要具備什么特征時(shí)，積才會(huì)是二項(xiàng)式？(當(dāng)因式是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘時(shí)，積是二項(xiàng)式。)為什么具備這些特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積會(huì)是二項(xiàng)式？而它

6、們的積又有什么特征？(這是因?yàn)榫邆溥@樣特征的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積的四項(xiàng)中，會(huì)出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，合并這兩項(xiàng)的結(jié)果為零，于是就剩下兩項(xiàng)了。而它們的積等于因式中這兩個(gè)數(shù)的平方差。)活動(dòng)目的：通過學(xué)習(xí)舊知，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做鋪墊。這些都是學(xué)生常出錯(cuò)的題目，通過做題引導(dǎo)學(xué)生積極地思考并對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行調(diào)控，幫助學(xué)生優(yōu)化思維過程,進(jìn)一步理解平方差公式。實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生議論、討論，各抒己見，找到了正確的做法；運(yùn)算時(shí)不但要注意到字母，還要注意到系數(shù)。第二環(huán)節(jié) 拼圖游戲，驗(yàn)證公式活動(dòng)內(nèi)容：如左圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形。1請(qǐng)表示圖中陰影（紫色）部分的面積。2小穎將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，

7、這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？ 圖1 a2-b2 圖2 (a+b)(a-b)3比較1，2的結(jié)果，你能驗(yàn)證平方差公式嗎? a2-b2 = (a+b)(a-b) 4(1)敘述平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式及文字表達(dá)式；(2)試比較公式的兩種表達(dá)式在應(yīng)用上的差異活動(dòng)目的：讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“猜想驗(yàn)證證明”的過程。若從代數(shù)的角度，運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算出結(jié)果，進(jìn)一步明確平方差公式的運(yùn)算本質(zhì)；若從幾何背景的角度，使平方差公式更具有直觀性，避免對(duì)公式的死記硬背，使平方差公式的學(xué)習(xí)更有意義。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是與具體實(shí)踐活動(dòng)分不開的，重視動(dòng)手操作，是發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力最有效途徑之一。新編數(shù)

8、學(xué)教材的特點(diǎn)之一，是重視直觀教學(xué)，增加了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)和動(dòng)手操作內(nèi)容。為此，操作活動(dòng)成了課堂教學(xué)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。設(shè)計(jì)這個(gè)環(huán)節(jié)，不僅能使學(xué)生獲得知識(shí)更容易，而且有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力。通過讓學(xué)生了解平方差公式的幾何背景，進(jìn)一步了解平方差公式的意義，并初步了解平方差公式的逆運(yùn)用。說明：平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式在使用上有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)(1)公式具體，易于理解；(2)公式的特征也表現(xiàn)得突出，易于初學(xué)的人“套用”；(3)形式簡(jiǎn)潔但數(shù)學(xué)表達(dá)式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對(duì)具體問題存在一個(gè)判定a、b的問題，否則容易對(duì)公式產(chǎn)生各種主觀上的誤解依照公式的文字表達(dá)式可寫出下面兩個(gè)正確的式子：經(jīng)對(duì)比

9、，可以讓學(xué)生體會(huì)到公式的文字表達(dá)式抽象、準(zhǔn)確、概括因而也就“欠”明確(如結(jié)果不知是誰(shuí)與誰(shuí)的平方差)故在使用平方差公式時(shí)，要全面理解公式的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用公式的兩種表達(dá)式，比如用文字公式判斷一個(gè)題目能否使用平方差公式，用數(shù)學(xué)公式確定公式中的a與b，這樣才能使自己的計(jì)算即準(zhǔn)確又靈活實(shí)際教學(xué)效果：師：“在一塊邊長(zhǎng)為厘米的正方形紙板上，因?yàn)楣ぷ鞯男枰虚g挖去為b厘米的小正方形，請(qǐng)問剩下的面積有多少？”我們?cè)撛鯓恿写鷶?shù)式來表示？生：我們可以用a2-b2來表示剩下的面積。師：還有沒有別的方法？生：也可以用(a+b)(a-b)來表示剩下的面積。師：今天我們除了找一個(gè)比較方便的方法來求面積外，更重要的是我們能

10、從圖形中了解到(a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)性質(zhì)。安排平方差公式產(chǎn)生的幾何背景，使學(xué)生經(jīng)歷過實(shí)際問題“符號(hào)化”的過程。本節(jié)課我從復(fù)習(xí)舊知識(shí)入手，觀察面積圖形了解幾何圖形背景等一些手段來調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，活躍課堂氣氛，達(dá)到了一定的效果。但用面積相等來證明平方差公式的準(zhǔn)確性部分學(xué)生難以理解。第三環(huán)節(jié) 鞏固深化，拓展思維活動(dòng)內(nèi)容：例1 運(yùn)用平方差公式計(jì)算 (1)( )( )( ) (2)( )( )( )例2 運(yùn)用平方差公式計(jì)算（1）(200+1)(200-1) （2）102×98（3）203×197 （4）活動(dòng)目的：例1兩個(gè)題都需要運(yùn)用兩次平方差公式，鍛煉學(xué)生對(duì)平方差

11、公式的靈活運(yùn)用；例2目的是運(yùn)用平方差公式進(jìn)行一些有關(guān)數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算。通過找規(guī)律，利用平方差公式簡(jiǎn)化數(shù)字運(yùn)算，學(xué)生可以體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的作用，同時(shí)使學(xué)生較容易的運(yùn)用平方差公式進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算。實(shí)際教學(xué)效果：例1兩個(gè)題掌握較好；例2需做如下引導(dǎo)：要想用平方差公式，必須把式子寫成（ + ）（ - ）的形式。引導(dǎo)學(xué)生積極地思考并對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行調(diào)控，幫助學(xué)生優(yōu)化思維過程，在此基礎(chǔ)上，提供學(xué)生交流討論的機(jī)會(huì)，學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)自己的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行組織和澄清，并能清楚地、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想，能通過對(duì)其他人的思維和策略的考察，擴(kuò)展自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，學(xué)生會(huì)自覺地、主動(dòng)地、積極地學(xué)習(xí)，以“問”之方

12、式來啟發(fā)學(xué)生深思，以“變”之方式誘導(dǎo)學(xué)生靈活善變，以“梳”之方式引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié).102=100+2 98=100-2203=200+3 97=100-3=20+ =19+練習(xí)請(qǐng)每位同學(xué)自編兩道能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的題目第四環(huán)節(jié) 感受問題，體驗(yàn)成功活動(dòng)內(nèi)容：例3 計(jì)算例4 填空(1)a2-4(a+2)( ) (2)25-x2(5-x)( ) (3)m2-n2( )( )思考題：什么樣的二項(xiàng)式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積？(某兩數(shù)平方差的二項(xiàng)式可逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積)練習(xí)1 填空1x2-25( )( )24m2-49(2m-7)( )3a4-m4(a2+m2)

13、( )(a2+m2)( )( )練習(xí)2 判斷（1）(a+b)(-a-b)=a2-b2(2) 計(jì)算： 活動(dòng)目的：加入簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算之后，逐步讓學(xué)生養(yǎng)成識(shí)別公式特征并自覺套用的習(xí)慣。題目中加入了逆向使用公式的題目，讓學(xué)生雙向應(yīng)用公式的過程中提高學(xué)生公式的應(yīng)用能力。同時(shí)，有意識(shí)地通過練習(xí)慢慢滲透因式分解的思想。例3兩個(gè)題的目的，是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的運(yùn)用，能使運(yùn)算簡(jiǎn)便；還需要注意的是運(yùn)算順序以及結(jié)果一定要化簡(jiǎn)。例4的目的使讓學(xué)生體會(huì)平方差公式的逆用。通過有提示的填空題形式，學(xué)會(huì)如何運(yùn)用平方差公式解題。鞏固所學(xué)知識(shí)，在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)解決。實(shí)際教學(xué)效果：此題目錯(cuò)解原因在于沒有仔細(xì)觀察，看到

14、第二個(gè)括號(hào)里有負(fù)號(hào)就誤以為是(ab)此題目中兩個(gè)二項(xiàng)式各項(xiàng)都屬相反項(xiàng)，沒有相同項(xiàng)，故不能用平方差公式解題時(shí)往往只對(duì)字母平方，而忽略了系數(shù)，本題錯(cuò)解原因就在于此第五環(huán)節(jié) 擴(kuò)展能力活動(dòng)內(nèi)容：以上題目視學(xué)生情況而定。第六環(huán)節(jié) 歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)活動(dòng)內(nèi)容：讓學(xué)生談?wù)勛约旱母惺芑顒?dòng)目的：整理本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)，明確新、舊知識(shí)間的聯(lián)系，歸納整理重要的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感覺學(xué)有所得。實(shí)際教學(xué)效果:鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想。第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)習(xí)題1.12 四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思本節(jié)課從復(fù)習(xí)舊知識(shí)入手，通過計(jì)算比賽，觀察面積圖形了解幾何圖形背景等一些手段來調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，活躍課堂氣氛，達(dá)到了一定的效果。為了保證基本的運(yùn)算技能，教學(xué)中要適當(dāng)、分階段地提供一些必要的訓(xùn)練，使學(xué)生能準(zhǔn)確地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，并能明白每一步的算理。但是教