直線的向量參數(shù)方程p

1、編輯課件1編輯課件2研究 從今天開始從今天開始, ,我們將進一步來體會向量這一工我們將進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應用具在立體幾何中的應用. .編輯課件3。，使，實數(shù)對共面的充要條件是存在與向量不共線，則向量如果兩個向量byaxpyx,p,baba共線向量定理共線向量定理:復習：復習：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實數(shù) ，使 。編輯課件4思考思考1：1、如何確定一個點在空間的位置？、如何確定一個點在空間的位置？2、在空間中給一個定點、在空間中給一個定點A和一個定方向（向量），和一個定方向（向量），能確定一條直線在空間的

2、位置嗎？能確定一條直線在空間的位置嗎？3、給一個定點和兩個定方向（向量），能確定一、給一個定點和兩個定方向（向量），能確定一個平面在空間的位置嗎？個平面在空間的位置嗎？4、給一個定點和一個定方向（向量），能確定一、給一個定點和一個定方向（向量），能確定一個平面在空間的位置嗎？個平面在空間的位置嗎？編輯課件5OPOPOPP 在空間中，我們?nèi)∫欢c 作為基點，那么空間中任意一點 的位置就可以用向量來表示。我們把向量稱為點 的位置向量。OP一、點的位置向量一、點的位置向量編輯課件6aABP二、直線的向量參數(shù)方程二、直線的向量參數(shù)方程 對對于于直直線線 l上上的的任任一一點點P, , 存存在在實實數(shù)數(shù)

3、t使使得得 APtAB (1，）OP OA taOPxOA yOB xy 此方程稱為此方程稱為直線的向量參數(shù)方程。直線的向量參數(shù)方程。這樣這樣點點A和向量和向量 不僅可以確定直線不僅可以確定直線 l的位的位置，還可以具體寫出置，還可以具體寫出l上的任意一點。上的任意一點。a l編輯課件71 -2 321 -3ABAB例1：已知兩點（， ， ），（ ， ， ），求 ， 連線與 三坐標平面的交點。517 10,0)334 4（ ，），(110AByozCyz分析：設連線與平面的交點為（ ， ， ），1OCt OAtOB 由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-23 3-6yzt

4、tyzttt（ ， ， ）（）（ ， ， ），）59OC（0， ， ）編輯課件812 3212112ABPQOPQA QBQ 練習：已知兩點（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），點 在上運動，求當取得最小值時，點 的坐標。( , ,2 ),OQOP 設261610QA QB 4233QA QB 當時，取得最小值。4 4 83 3 3Q此時（ ，）編輯課件9 Pb a OOPxayb 除除 此之外此之外, 還可以用垂直于平面的直線的方向向還可以用垂直于平面的直線的方向向量量(這個這個平面的法向量平面的法向量)表示空間中平面的位置表示空間中平面的位置.n 這樣，點這樣，點O與向量與向量 不僅

5、可以確定平面不僅可以確定平面 的位的位置，還可以具體表示出置，還可以具體表示出 內(nèi)的任意一點。內(nèi)的任意一點。a b 、三、平面的法向量三、平面的法向量編輯課件10A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在的有向線段所在直線垂直于平面直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平，則稱這個向量垂直于平面面 ,記作記作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么那么過點過點A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.n n 幾點注意：幾點注意：1.法向

6、量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互一個平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，則有內(nèi)，則有0n m n m n l編輯課件11問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的關于根據(jù)法向量的定義建立個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(編輯課件12(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法

7、向量。nxyz解：設平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）編輯課件13 因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應該可以利用直線的方向向量與平面位置，所以我們應該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角平行、垂直、夾角等位置關系等位置關系.你能用直線的

8、方向向量表示空間兩直線你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角嗎？你能平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們二面角的大小嗎？系以及它們二面角的大小嗎？思考思考2：編輯課件14線線面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行關系：四、平行關系：111222( ,),(,),laa b cua b c設直線 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;laua abbc c編輯課件15五、垂直關系：五、垂直關系：111222222,0, /abca b

9、 cauabc當時111222( ,),(,),aa b cua b c若則121212/,.lauakuaka bkb ckc編輯課件16鞏固性訓練11.設設 分別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)下根據(jù)下 列條件列條件,判斷判斷l(xiāng)1,l2的位置關系的位置關系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行編輯課件17鞏固性訓練21.設設 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關系的位

10、置關系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交編輯課件18鞏固性訓練31、設平面、設平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面，平面的法向量為的法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、若、若 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量為的法向量為(1,1/2

11、,2),且且 ，則，則m= ./llll編輯課件19例例3、用、用向量法向量法證明：一條直線與一個平面內(nèi)兩條相證明：一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。已知：直線已知：直線m，n是平面是平面 內(nèi)的任意兩條相交直線，內(nèi)的任意兩條相交直線，且且,.lm ln求證：求證：.l, , .l m na b c 解：設直線的方向向量分別為,0.lm lnab a b 0.a c 同理,m nm n且相交，p 內(nèi)任一向量 可以表示為如下形式：, ,.pxbyc x yR ()0,a paxbycxa bya c .ll與 內(nèi)的任一直線垂直.即編輯課件20直線直線l與平面與平面 所成的所成的角為角為( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夾角：六、夾角：編輯課件21lmabml /baba /編輯課件22 lua /l0 uaua編輯課件23 u v /vuvu /編輯課件24lamb