北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（word版含答案）

1、北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù) 學(xué)2022.1本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則（A）（B）（C）（D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）在ABC中，若，則（A）（B）（C）（D）（4）若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（5）如圖，在直三

2、棱柱中，點分別是棱的中點，則下列結(jié)論中不正確的是（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面（6）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（7）已知為等比數(shù)列，為其前項和，若，則（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量（單

3、位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為Peukert常數(shù).為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時，放電時間；當(dāng)放電電流時，放電時間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為（參考數(shù)據(jù)：）（A）（B）（C）（D）（10）設(shè)集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為.已知，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開式中，常數(shù)項為_.（用數(shù)字作答）（12）已知點在拋物線上，

4、為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點.則拋物線的方程為_；的面積為_.（13）在長方形中，且，則_，_.（14）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的一個取值為_.（15）在棱長為的正方體中，過點的平面分別與棱交于點,，記四邊形在平面上的正投影的面積為，四邊形在平面上的正投影的面積為.給出下面有四個結(jié)論：四邊形是平行四邊形；的最大值為2；的最大值為；四邊形可以是菱形，且菱形面積的最大值為.則其中所有正確結(jié)論的序號是_.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，且.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.（17）（本小題13

5、分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，在條件、條件、條件這三個條件中選擇兩個作為已知（）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值條件：；條件：；條件：注：如果選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分（18）（本小題14分）2021年7月11日18時，中央氣象臺發(fā)布暴雨橙色預(yù)警，這是中央氣象臺2021年首次發(fā)布暴雨橙色預(yù)警.中央氣象臺預(yù)計，7月11日至13日，華北地區(qū)將出現(xiàn)2021年以來的最強(qiáng)降雨.下表是中央氣象臺7月13日2:00統(tǒng)計的24小時全國降雨量排在前十的區(qū)域.北京密云山東樂陵河北遷西山東慶云北京懷柔河北海興河北唐山天津渤海A平臺河北豐南山東長清180毫米175毫米14

6、4毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米（）從這10個區(qū)域中隨機(jī)選出1個區(qū)域，求這個區(qū)域的降雨量超過135毫米的概率；（）從這10個區(qū)域中隨機(jī)選出3個區(qū)域，設(shè)隨機(jī)變量表示選出的區(qū)域為北京區(qū)域的數(shù)量，求的分布列和期望；（）在7月13日2:00統(tǒng)計的24小時全國降雨量排在前十的區(qū)域中，設(shè)降雨量超過140毫米的區(qū)域降雨量的方差為，降雨量在140毫米或140毫米以下的區(qū)域降雨量的方差為，全部十個區(qū)域降雨量的方差為.試判斷，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù).（）若，求在點處的切線方程；（）若在上恰有一個極小值點，求實數(shù)的取值范圍；（）若對

7、于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（20）（本小題15分）已知橢圓的焦點為，長軸長與短軸長的比值為.（）求橢圓的方程；（）過點的直線與橢圓交于兩點，軸于點，軸于點，直線交直線于點，求與的面積之比.（21）（本小題15分）已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，當(dāng)時，或，則稱為數(shù)列的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列的所有“緊數(shù)列”為；.（）直接寫出數(shù)列的所有“緊數(shù)列”；（）已知數(shù)列滿足：，若數(shù)列的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列的個數(shù)為；（）已知數(shù)列滿足：，對于數(shù)列的一個“緊數(shù)列”，定義集合，如果對任意，都有，那么稱為數(shù)列的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于的代數(shù)式表示

8、）北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）B（3）A（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（）因為平面，平面，所以.因為，所以，.所以.所以，所以.又因為，所以平面.5分（）因為平面，平面，平面，所以，.又因為是矩形，所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，.于是.因為平面，取平面的法向量為.

9、則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.13分（17）（共13分）解：（）選條件：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，所以，即.因為，所以，.所以.6分選條件：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，所以，即.因為，所以，.所以.6分選條件：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，所以，即.因為，所以，.所以.6分（）由題意得.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為由，得.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，此時.所以，所以的最大值是.13分（18）（共14分）解：（）設(shè)這個區(qū)域降雨量在135毫米以上為事件，區(qū)域降雨量在135毫米以上的區(qū)域共有6個，所以答：這個區(qū)域降雨量在135毫米以上的概率為4分

10、（）由題意分析可知，.隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為:.11分（）.14分（19）（共15分）解：（）當(dāng)時，所以，所以切線方程為.4分（）由，得.令，得，.若，則，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意.若，則，與的情況如下：極大值極小值因此，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若在上有且只有一個極小值點，則需，所以.綜上，的取值范圍是.9分（）因為，所以，即.又因為，所以，即.令，所以.因為，所以，又，所以，所以為上減函數(shù)，所以，所以綜上，實數(shù)的取值范圍為.15分（20）（共15分）解：（）由題設(shè)，所以.又因為，所以.解得，.所以橢圓的方程為.5分（）由題意可知，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則，.因為軸，所以.直線方程為，所以.因為軸，所以.因為，.所以.所以三點共線.因為，所以，所以，所以.15分（21）（共15分）解：（）；.5分（）依題意，對任意，有或,或，因為均為遞增數(shù)列，所以有，即同時滿足：，.因為為遞增數(shù)列，因此和恒成立.又因為為整數(shù)數(shù)列，對于，也恒成立.對于，一方面，由，得，即.另一方面，所以，即從第項到第項是連續(xù)的正整數(shù)，所以，因此，故共有種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列共有個.10分（）記，依題意，對任意，有或，注意到，即對任意，有，若，則，即；若，則，即，即對任意，或者，或者.所