最新非數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生《數(shù)值分析》考試參考資料

1、非數(shù)學(xué)專業(yè)碩士數(shù)值分析考試復(fù)習(xí)資料第一章1 誤差 相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差得概念例題:當(dāng)用數(shù)值計(jì)算方法求解一個(gè)實(shí)際的物理運(yùn)動(dòng)過程時(shí), 一般要經(jīng)歷哪幾個(gè)階段? 在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生?答: 實(shí)際問題-數(shù)學(xué)模型-數(shù)值方法-計(jì)算結(jié)果 在這個(gè)過程中存在一下幾種誤差: 建立數(shù)學(xué)模型過程中產(chǎn)生:模型誤差 參數(shù)誤差 選用數(shù)值方法產(chǎn)生:截?cái)嗾`差 計(jì)算過程產(chǎn)生:舍入誤差 傳播誤差6設(shè)關(guān)于精確數(shù)有3位有效數(shù)字，估計(jì)的相對(duì)誤差. 對(duì)于，估計(jì)對(duì)于的誤差和相對(duì)誤差. 解 的相對(duì)誤差：由于 . , . （） 對(duì)于的誤差和相對(duì)誤差. = . 2有效數(shù)字 基本原則:1 兩個(gè)很接近的數(shù)字不做減法: 2: 不用很小得數(shù)做分母(不用

2、很大的數(shù)做分子)例題:4改變下列表達(dá)式使計(jì)算結(jié)果比較精確：（1） （2） （3） . 解 (1) . (2) . (3) . 第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1） 插值基函數(shù)（因子）可簡(jiǎn)潔表示為 其中: .例1 n=1時(shí)，線性插值公式 ，例2 n=2時(shí)，拋物插值公式牛頓（Newton）插值公式由差商的引入，知（1） 過點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式為 其中 （2） 過點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式為 其中 重點(diǎn)是分段插值: 例題:1. 利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項(xiàng)式（結(jié)果要簡(jiǎn)化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2 解(2)： 方法一. 由 Lagr

3、ange 插值公式 可得： 方法二. 令 由 ， ， 定A，B （稱之為待定系數(shù)法） 15.設(shè)，求在區(qū)間上的分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差，取等距節(jié)點(diǎn)，且.解 ， ， ， 設(shè) ，則： 誤差估計(jì)： . 第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分兩種情形：1. 連續(xù)意義下在空間中討論2. 離散意義下在維歐氏空間中討論，只要求提供的樣本值 1. 最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組設(shè)的維子空間 =span,其中 是的線性無關(guān)多項(xiàng)式系.對(duì)，設(shè)其最佳逼近多項(xiàng)式可表示為: 由 即 （*2） 其中稱(*2)式為最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組（或正規(guī)方程組）.由的線性無關(guān)性，可證明正定，即上述法方程組的解存在且唯一 .11、

4、 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多項(xiàng)式. 解： 設(shè) ， 分別為的一次、二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。 內(nèi)積 計(jì)算如下內(nèi)積： , , , , , , 建立法方程組： (1) ，得： ， 于是 (2) 解得： ， ， , 于是： . 第四章1 為什么要進(jìn)行數(shù)值積分?常用哪些公式,方法?答: 梯形復(fù)化求積公式和simpson復(fù)化求積公式.2: 方法好壞的判斷: 代數(shù)精度l 誤差分析 1.代數(shù)精度的概念定義 若求積公式 （*）對(duì)所有次數(shù)的多項(xiàng)式是精確的，但對(duì) 次多項(xiàng)式不精確，則稱（*）具有次代數(shù)精度。等價(jià)定義若求積公式（*）對(duì)是精確的，但對(duì)不精確，則（*）具有次代數(shù)精度。3: 誤差1 等距剖分下的數(shù)值求積公

5、式：公式特點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)預(yù)先給定，均勻分布,系數(shù)待定利用插值多項(xiàng)式近似代替，即得插值型求積公式Newton-Cotes公式 2 給定節(jié)點(diǎn)數(shù)下的具有最佳逼近性質(zhì)（具有最高次代數(shù)精度）的數(shù)值求積公式：Gauss求積公式 公式特點(diǎn)：系數(shù)和節(jié)點(diǎn)均待定3 分段插值多項(xiàng)式近似代替 （分段求積）復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函數(shù)插值分而治之： 分段低次求積公式- 稱為復(fù)化求積法兩類低次（）求積公式：1. NewtonCotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分別稱為復(fù)化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn)Gauss求積公式稱為復(fù)化一點(diǎn)

6、、兩點(diǎn)、三點(diǎn)Gauss公式復(fù)化梯形公式（）復(fù)化辛甫生公式: （每個(gè)上用辛甫生公式求積），為的中點(diǎn)復(fù)化辛甫生公式是最常用的數(shù)值求積方法。常采用其等價(jià)形式：復(fù)化柯特斯公式其中，為的中點(diǎn)， ，為的四等分的分點(diǎn)l 自適應(yīng)復(fù)化求積法計(jì)算時(shí)，要預(yù)先給定或步長(zhǎng)，在實(shí)際中難以把握因?yàn)?，取得太大則精度難以保證，太小則增加計(jì)算工作量.自適應(yīng)復(fù)化梯形法的具有計(jì)算過程如下：步1 步2步3 判斷？若是，則轉(zhuǎn)步5；步4 ，轉(zhuǎn)步2；步5 輸出 .第五章1: 常用方法: (1).直接解法：逐步（順序）消去法、主元素法、矩陣分解法等；(2).迭代解法：構(gòu)造某種極限過程去逐步逼近方程組的解.經(jīng)典迭代法迭代法、迭代法、逐次超松弛（

7、SOR）迭代法等； . Krolov子空間的迭代法 根據(jù)的對(duì)稱性，又分為： 對(duì)稱正定- 共軛梯度法 非對(duì)稱- BICG 、 GMRes(最小殘量法).解一類特定背景問題的迭代法 多重網(wǎng)格法 2: 幾類迭代法優(yōu)缺點(diǎn)比較:3: 迭代方法目標(biāo)： 求解 其中，非奇異?；舅枷耄喊丫€性方程組的解，化為一個(gè)迭代序列極限解關(guān)鍵：構(gòu)造迭代序列所滿足的公式：迭代格式。構(gòu)造迭代格式基本步驟：1 將分裂：， 其中，非奇異2 構(gòu)造迭代格式 其中，稱之為迭代矩陣 , 其中，為的殘余向量此時(shí)，常用的迭代方法將分裂為 其中，,l Jacobi迭代方法若，迭代格式 其中 Jacobi迭代矩陣： 式可寫為分量形式 . （*1）

8、方法（*1）或稱為Jacobi迭代方法.GaussSeidle迭代方法若，迭代格式 其中， Gauss-Seidel迭代矩陣： 其分量形式 ,. （*2） 即，在計(jì)算新分量時(shí)，利用新值，。迭代法（*2）或稱為GaussSeidel迭代方法 。l 超松弛方法(SOR)方法定義SOR方法的迭代格式如下：, （*3）稱為松弛因子，即為方法. 其矩陣形式 其中， SOR法的迭代矩陣： .第七章1: 解非線性方程與方程組的方法:1. 準(zhǔn)確方法 如：用求根公式對(duì)次的代數(shù)多項(xiàng)式求根。但： 絕大多數(shù)的方程并無準(zhǔn)確方法可用。如： 次的代數(shù)多項(xiàng)式并無求根公式。2. 數(shù)值方法（實(shí)際中大多采用）基本思想： 設(shè)法找到一

9、個(gè)能收斂到方程的解的序列。(1).區(qū)間套法 二分法。(2).迭代法：.簡(jiǎn)單迭代法； . Newton迭代法; . 割線法; .加速算法。2: 收斂條件: 二分法無條件 簡(jiǎn)單迭代法條件: 定理1 如果 滿足以下條件: 1) , ; 2) 常數(shù) : , 使得對(duì)任意兩點(diǎn) ,都有 , 則: 方程(*)在 上的解存在唯一,且對(duì)任給的初值,由迭代過程(* *) 所產(chǎn)生的序列收斂到.例題:2. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：（1），迭代公式 （2），迭代公式 ，（3），迭代公式 ，試分析每一種迭代公式的收斂性，并問哪一種迭代收斂得快？解：取的鄰域來考察 (1) ，

10、故迭代公式(1)收斂. (2) , ， 故迭代公式（2）也收斂。 (3) , 故迭代公式（3）發(fā)散. 由于越小，越快地收斂于根 ，故（2）式收斂最快。第八章解一階常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法2階常微分方程邊值問題的差分方法1 三類邊值問題 1）第一類邊值問題： ， （3.1） 。 (3.2) 2）第二類邊值問題： ， （3.3） 。 (3.4) 3）第三類邊值問題： ， （3.5） ， (3.6) 其中， 。2 差分格式的建立 針對(duì)方程（3.1）而言.Step 1 取 的離散節(jié)點(diǎn): , 第 步步長(zhǎng) , 一般可取等 步長(zhǎng): , Step 2 將 用二階差商、 用一階差商近似： ， . 理由：由Taylor展開，有 兩式相加得，其中， .兩式相減得，其中， . Step 3 略去 項(xiàng) , 并記