復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)

1、第二章 解析函數(shù)&1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義GO&2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 一一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果極限如果極限 存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，記作記作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)

2、。A (1) (1) z z00是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z z= =x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可導(dǎo)在平面上的任何點(diǎn)都不證明zzf例例1zzzzzf )Re()Re(:證證明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz時(shí)時(shí)取取純純虛虛數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng).lim0不不存存在在zfz (2)求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然數(shù)是自然

3、數(shù)).證明證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz -實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z), ,g (z) 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10外）處處可導(dǎo)在復(fù)平面上（除分母為導(dǎo)；在整個(gè)復(fù)平面上處處可由以上討論zQzPzRzazaazPnn

4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中，其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且(w) 0。)( 1)( wzf ?)(,;),()(,22的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)中中內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)中中zzfxxf &思考題思考題例例3 問：函數(shù)問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？是否可導(dǎo)？!0, 020, 012lim0不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)5

5、2)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)故故函函數(shù)數(shù)yixzf 例例4 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導(dǎo)。處才可導(dǎo)。 時(shí)時(shí)不不存存在在時(shí)時(shí)0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明不存在！不存在！時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0, 010, 00lim0yxxyyixxzA (1) (1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)

6、雜得在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因?yàn)槎?，這是因?yàn)閦 z00是在平面區(qū)域上是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原故。以任意方式趨于零的原故。 (2) (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, , 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù)若若 w=f (z) 在點(diǎn)在點(diǎn) z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn)點(diǎn) z0 處連續(xù)處連續(xù).? 連續(xù)連續(xù)在在所以所以由此可得由此可得則則令令有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則可導(dǎo)可導(dǎo)在在若若證明證明000000000000000)

7、(),()(lim,)()()(, 0lim),()()(,)()()(,0, 0, 0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 二二. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱可導(dǎo)，則稱f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 f (z)在在D內(nèi)解析，或稱內(nèi)解析，或稱f (z)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正則函數(shù)）全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果如果f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0不解析，就

8、稱不解析，就稱z0是是f (z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。A (1) w=f (z) 在在 D 內(nèi)解析內(nèi)解析 在在D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)函數(shù)f (z)在在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。解析。例如例如(1) w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)；上的解析函數(shù)；(2) w=1/z，除去，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)；函數(shù)； (3) w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例見例4)。定理定理1 設(shè)設(shè)w=f (z)及及w=g(z)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，內(nèi)的

9、解析函數(shù)，則則 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0時(shí)時(shí))均是均是D內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。.)0()()()()(10的的解解析析函函數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)外外除除分分母母為為是是復(fù)復(fù)平平面面上上函函數(shù)數(shù)；是是整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上的的解解析析由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 設(shè)設(shè) w=f (h) 在在 h 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z) 在在 z 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值的函數(shù)值集合集合 G，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)w=f g(z)在在D內(nèi)處處解析。內(nèi)處

10、處解析。 & 1. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件& 2.舉例舉例 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定義域義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析。內(nèi)解析。問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？一一. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu),(),(),(),(則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyx

11、xivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若沿平行于實(shí)軸的方式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱C-

12、R方程方程).yuxvyvxu 定理定理1 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 則則 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y ) 可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述條件滿足時(shí)上述條件滿足時(shí),有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 證明證明（由由f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x,

13、y)可微可微）。）。 函數(shù)函數(shù) w =f (z)點(diǎn)點(diǎn) z可導(dǎo)，即可導(dǎo)，即)( )()()(zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0zzu+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0

14、limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(píng)(x, y)，v(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)處可微處可微. （由函數(shù)（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）處可導(dǎo)）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)點(diǎn)可微，即：點(diǎn)可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf)()()()()()(4231yixizxvixuRC)(

15、)()(4231方程由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要內(nèi)解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí), ,僅由其實(shí)部或虛部就可以僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來求出導(dǎo)數(shù)

16、來. .A 利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的. .使用時(shí)使用時(shí): i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R條件條件.iii) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)：yvyuixvixuzf1)( A 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的的, , 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, , 并不是兩個(gè)并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的. .二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwy

17、iyezfzwx ；例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解解 (1) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則析析。在在全全平平面面不不可可導(dǎo)導(dǎo)，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可導(dǎo)導(dǎo)，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 僅在點(diǎn)僅在點(diǎn)z = 0處滿足

18、處滿足C-R條件，故條件，故。處處可可導(dǎo)導(dǎo)，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw解解 (3) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu例例2 求證函數(shù)求證函數(shù).0 ),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw處解析，并求在證明證明 由于在由于在z0處，處，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函數(shù)，都是可微函數(shù)，且滿足且滿足C-R條件：條件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函數(shù)故函數(shù)w=f (z)在在z0處解析，其導(dǎo)數(shù)為處解析，其導(dǎo)數(shù)為22222222222221)()(

19、)(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 證明證明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)，是一解析函數(shù)， 且且 確定確定,)2(,) 1(2),(uifyxyx。),(yxv?)(,)()(2222在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析取何值時(shí)取何值時(shí)問常數(shù)問常數(shù)若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 練習(xí)練習(xí): a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2&3. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

20、&1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)&2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)&4. 冪函數(shù)冪函數(shù)&5. 反三角函數(shù)反三角函數(shù)一一. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0exp)1( zz)0exp,( xez事實(shí)上事實(shí)上xezzfxz exp)(,)2(時(shí)時(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))0( y , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)定義定義.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在復(fù)平面上處處

21、解析，在復(fù)平面上處處解析，右右邊邊左左邊邊設(shè)設(shè)事事實(shí)實(shí)上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替為了方便，我們用以后為了方便，我們用以后:)(的周期性由加法定理可推得zezfZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22為為任任意意整

22、整數(shù)數(shù)事事實(shí)實(shí)上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)，)sin(cos ,) 1 (yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得時(shí)時(shí), ,的的實(shí)實(shí)部部特特別別當(dāng)當(dāng)?shù)降紸 )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例2iez解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 022kikiz)2(2

23、cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 從從而而得得到到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的定定義義二二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形推廣到復(fù)變數(shù)情形的正弦與余弦函數(shù)的正弦與余弦函數(shù)稱為稱為zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定義定義周周期期函函數(shù)數(shù)是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析zeeeeizizizi

24、zizcos)(21)(21)(sin q正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì).cos,sin)3是是偶偶函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同理同理zizezizsincosEuler,)3()4 成成立立公公式式對(duì)對(duì)一一切切式式由由思考題思考題. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果是否與實(shí)變函數(shù)是否與實(shí)變函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)顯得由2)cos(yyeeiy三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)由由正正弦弦和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)定定義義)5 1cossins

25、incoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( )4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函數(shù)的定義得由正弦和余弦函數(shù)的定義得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函數(shù)的定義其它三角函數(shù)的定義(詳見詳見P51) chyiyshyieei

26、yyyycos2sin)4()7當(dāng)當(dāng)式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根為為即即方方程程的的零零點(diǎn)點(diǎn)Zkkzz 2cos 的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為.1sin, 1cos不不再再成成立立在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi) zz)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定義定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)q雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函數(shù)數(shù)偶偶函函數(shù)數(shù) shzchz,)2.,一一定定是是多多值值函函數(shù)數(shù)反反函函數(shù)數(shù)且且是是周周期期函函數(shù)數(shù)，故故它

27、它的的定定義義的的函函數(shù)數(shù)雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)均均是是由由復(fù)復(fù)指指數(shù)數(shù)三三角角函函數(shù)數(shù)yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定義義析析在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3三三. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew 記作記作稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)把滿足把滿足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1,

28、 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 對(duì)數(shù)的定義對(duì)數(shù)的定義.2,)0(的的一一個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)倍倍相相差差其其任任意意兩兩個(gè)個(gè)相相異異值值即即虛虛部部無無窮窮多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虛虛部部是是的的模模的的實(shí)實(shí)自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)；它它實(shí)實(shí)部部是是它它的的的的對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)仍仍為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這說說明明一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) zzzz 的的無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln ,0主值支的主值稱為的一單值函數(shù)為時(shí)當(dāng)記作LnzLnzzzizLnzk)(2lnZkkizLnz 故故.(負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)).(負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)), ,LnzLnz1)1

29、)復(fù)數(shù)都有意義復(fù)數(shù)都有意義對(duì)一切非零對(duì)一切非零不僅對(duì)正數(shù)有意義不僅對(duì)正數(shù)有意義 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值當(dāng)當(dāng)例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值當(dāng)當(dāng)A .,這與實(shí)函數(shù)不同多值性了對(duì)數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)2)(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2處處連續(xù)在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外連續(xù)性z,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)均均連連其其中中z.arg 連續(xù)在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不而z見見1-6例

30、例1.ln,在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)及及負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外z0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點(diǎn)點(diǎn)及及負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外是是解解z .ln:)3平面內(nèi)解析在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的解析性zzLnzLnz1)( 且且負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個(gè)個(gè)分分支支除除了了原原點(diǎn)點(diǎn)和和.,2ziez求求設(shè)設(shè) 例例4, 1, 0222ln kikiz 四四. 乘冪乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù) babzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪.,0,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)變變數(shù)數(shù)情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值一般為多一般為多值值)2(ln kiabbLnabeea .,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)bababebkibkelnln