1984年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案

1、.1984年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案這份試題共八道大題，總分值120分第九題是附加題，總分值10分，不計入總分一此題總分值15分此題共有5小題，每題都給出代號為A，B，C，D的四個結(jié)論，其中只有一個結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)每一個小題：選對的得3分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的不管是否都寫在圓括號內(nèi)，一律得負1分1數(shù)集X=2n+1，n是整數(shù)與數(shù)集Y=4k1，k是整數(shù)之間的關(guān)系是 C AXY BXY CX=Y DXY2假如圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點，那么 C AF=0，G0，E0. BE=0，F(xiàn)=0，G0.CG=0，F(xiàn)=0，E

2、0. DG=0，E=0，F(xiàn)0.3.假如n是正整數(shù)，那么的值 B A一定是零 B一定是偶數(shù)C是整數(shù)但不一定是偶數(shù) D不一定是整數(shù)4.大于的充分條件是 A A BC D5假如是第二象限角，且滿足那么A是第一象限角 B是第三象限角 B C可能是第一象限角，也可能是第三象限角D是第二象限角二此題總分值24分此題共6小題，每一個小題總分值4分只要求直接寫出結(jié)果1圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積答：2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？答：x-2.3求方程的解集答：4求的展開式中的常數(shù)項答：-205求的值答：06要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少

3、種不同的排法只要求寫出式子，不必計算答：三此題總分值12分此題只要求畫出圖形1設(shè)畫出函數(shù)y=Hx-1的圖象2畫出極坐標方程的曲線2 O 1 2 X 解： 1 Y 1 0 O 1 X 四此題總分值12分三個平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點或互相平行證：設(shè)三個平面為，且從而c與b或交于一點或互相平行1假設(shè)c與b交于一點，設(shè)所以,b,c交于一點即P點 P b c b c 2.假設(shè)cb,那么由所以,b,c互相平行五此題總分值14分設(shè)c,d,x為實數(shù)，c0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時求出它的解解：原方程有解的充要條件是：由條件4知，所以再由c0，可得又由及x0，知，即條件2包

4、含在條件1及4中再由條件3及，知因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：由條件16知這個不等式僅在以下兩種情形下成立：c0,1-d0,即c0,d1;c0,1-d0,即c0,d1.再由條件15及6可知從而，當c0,d1且時，或者當c0,d1且時，原方程有解，它的解是六此題總分值16分1設(shè)，實系數(shù)一元二次方程有兩個虛數(shù)根z1,z2.再設(shè)z1,z2在復平面內(nèi)的對應點是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長7分2求經(jīng)過定點M1，2，以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程9分解：1.因為p,q為實數(shù)，z1,z2為虛數(shù)，所以由z1,z2為共軛復數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對稱，所以橢圓

5、短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長=2b=|z1+z2|=2|p|,焦間隔 =2c=|z1-z2|=,長軸長=2a=2.因為橢圓經(jīng)過點M1，2，且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點為Ax,y，因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的間隔 為A到y(tǒng)軸的間隔 的，從而左焦點F的坐標為設(shè)d為點M到y(tǒng)軸的間隔 ，那么d=1根據(jù)及兩點間間隔 公式，可得這就是所求的軌跡方程七此題總分值15分在ABC中，A，B，C所對的邊分別為,b,c，且c=10，P為ABC的內(nèi)切圓上的動點

6、求點P到頂點A，B，C的間隔 的平方和的最大值與最小值解：由，運用正弦定理，有因為AB，所以2A=-2B，即A+B=由此可知ABC是直角三角形由c=10，如圖，設(shè)ABC的內(nèi)切圓圓心為O，切點分別為D，E，F(xiàn)，那么 Y B0，6 D E O Px,y X O C0，0 A8，0 AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標系，那么內(nèi)切圓方程為:x-22+y-22=4設(shè)圓上動點P的坐標為x,y,那么因為P點在內(nèi)切圓上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為從而因為，所以S最大值=80+8=88，S最小

7、值=80-8=72八此題總分值12分設(shè)2，給定數(shù)列xn,其中x1=,求證：1231證：先證明xn2n=1,2,用數(shù)學歸納法由條件2及x1=知不等式當n=1時成立假設(shè)不等式當n=kk1時成立當n=k+1時，因為由條件及歸納假設(shè)知再由歸納假設(shè)知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn2對于所有的正整數(shù)n成立歸納法的第二步也可這樣證：所以不等式xn2n=1,2,成立再證明由條件及xn2n=1,2,知因此不等式也成立也可這樣證：對所有正整數(shù)n有還可這樣證：對所有正整數(shù)n有所以2證一：用數(shù)學歸納法由條件x1=3知不等式當n=1時成立假設(shè)不等式當n=kk1時成立當n=k+1時，由條件及知再由及歸納假設(shè)知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對所有的正整數(shù)n成立證二：用數(shù)學歸納法證不等式當n=k+1時成立用以下證法：由條件知再由及歸納假設(shè)可得3證：先證明假設(shè)這是因為然后用反證法假設(shè)當時，有那么由第1小題知因此，由上面證明的結(jié)論及x1=可得即，這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立九附加題，此題總分值10分，不計入總分如圖，圓心為O、半徑為1的圓與直線L相切于點A，一動點P自切點A沿直線L向右挪動時，取弧AC的長為，直線PC