2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷

1、.2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一選擇題此題總分值36分，每題6分1設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，那么q的弧度數(shù)為 A B或 C或 D2M=x，y|x2+2y2=3，N=x，y|y=mx+b假設(shè)對(duì)于所有的mR，均有MN¹Æ，那么b的取值范圍是 A， B， C， D， 3不等式+logx3+2>0的解集為 A2，3 B2，3 C2，4 D2，4 4設(shè)點(diǎn)O在DABC的內(nèi)部，且有+2+3=，那么DABC的面積與DAOC的面積的比為 A2 B C3 D 5設(shè)三位數(shù)n=，假設(shè)以a，b，c為三條邊長可以構(gòu)成一個(gè)等腰含等邊三角形，那么這樣的三位

2、數(shù)n有 A45個(gè) B81個(gè) C165個(gè) D216個(gè)6頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，ABOB，垂足為B，OHPB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，那么當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時(shí)，OB的長為 A B C D 二填空題此題總分值54分，每題9分7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)fx=asinax+cosaxa>0在一個(gè)最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)gx= 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 ；8設(shè)函數(shù)f：RR，滿足f0=1，且對(duì)任意x，yR，都有fxy+1=fxfyfyx+2，那么fx= ；9如圖，正方體ABCDA1B1C1D

3、1中，二面角ABD1A1的度數(shù)是 ；10設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得也是一個(gè)正整數(shù)，那么k= ；11數(shù)列a0，a1，a2，an，滿足關(guān)系式3an+16+an=18，且a0=3，那么的值是 ；12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M1，2和N1，4，點(diǎn)P在x軸上挪動(dòng)，當(dāng)MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ；三解答題此題總分值60分，每題20分13一項(xiàng)“過關(guān)游戲規(guī)那么規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，假如這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于2n，那么算過關(guān)問： 某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？ 他連過前三關(guān)的概率是多少？14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定三點(diǎn)A0，B1，0，C1，0，點(diǎn)P到直線BC的間隔

4、 是該點(diǎn)到直線AB、AC間隔 的等比中項(xiàng) 求點(diǎn)P的軌跡方程； 假設(shè)直線L經(jīng)過DABC的內(nèi)心設(shè)為D，且與P點(diǎn)軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍15a，b是方程4x24tx1=0tR的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)fx=的定義域?yàn)閍，b 求gt=maxfxminfx； 證明：對(duì)于ui0，i=1，2，3，假設(shè)sinu1+sinu2+sinu3=1，那么+<二試題一此題總分值50分在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長二此題總分值50分在平面直角坐標(biāo)系XOY中，

5、y軸正半軸上的點(diǎn)列An與曲線y=x0上的點(diǎn)列Bn滿足|OAn|=|OBn|=，直線AnBn在x軸上的截距為an，點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為bn，nN* 證明an>an+1>4，nN*； 證明有n0N*，使得對(duì)n>n0，都有+<n2004三此題總分值50分對(duì)于整數(shù)n4，求出最小的整數(shù)fn，使得對(duì)于任何正整數(shù)m，集合m，m+1，m+n1的任一個(gè)fn元子集中，均至少有3個(gè)兩兩互素的元素2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一選擇題此題總分值36分，每題6分1設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，那么q的弧度數(shù)為 A B或 C或 D解：由方程有重根，故D=4cos2

6、qcotq=0， 0<q<，Þ2sin2q=1，Þq=或選B2M=x，y|x2+2y2=3，N=x，y|y=mx+b假設(shè)對(duì)于所有的mR，均有MN¹Æ，那么b的取值范圍是 A， B， C， D， 解：點(diǎn)0，b在橢圓內(nèi)或橢圓上，Þ2b23，Þb，選A3不等式+logx3+2>0的解集為 A2，3 B2，3 C2，4 D2，4 解：令log2x=t1時(shí)，>t2t1，2，Þx2，4，選C4設(shè)點(diǎn)O在DABC的內(nèi)部，且有+2+3=，那么DABC的面積與DAOC的面積的比為 A2 B C3 D 解：如圖，設(shè)DAOC

7、=S，那么DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=1.5SDOBC=0.5S，ÞDABC=3S選C5設(shè)三位數(shù)n=，假設(shè)以a，b，c為三條邊長可以構(gòu)成一個(gè)等腰含等邊三角形，那么這樣的三位數(shù)n有 A45個(gè) B81個(gè) C165個(gè) D216個(gè)解：等邊三角形共9個(gè)； 等腰但不等邊三角形：取兩個(gè)不同數(shù)碼設(shè)為a，b，有36種取法，以小數(shù)為底時(shí)總能構(gòu)成等腰三角形，而以大數(shù)為底時(shí)，b<a<2ba=9或8時(shí)，b=4，3，2，1，8種；a=7，6時(shí)，b=3，2，16種；a=5，4時(shí)，b=2，14種；a=3，2時(shí)，b=12種，共有20種不能取的值共有23620=52

8、種方法，而每取一組數(shù)，可有3種方法構(gòu)成三位數(shù)，故共有523=156個(gè)三位數(shù)即可取156+9=165種數(shù)選C6頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，ABOB，垂足為B，OHPB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，那么當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時(shí)，OB的長為 A B C D 解：ABOB，ÞPBAB，ÞAB面POB，Þ面PAB面POBOHPB，ÞOH面PAB，ÞOHHC，OHPC，又，PCOC，ÞPC面OCHÞPC是三棱錐POCH的高PC=OC=2而DOCH的面積在OH

9、=HC=時(shí)獲得最大值斜邊=2的直角三角形當(dāng)OH=時(shí)，由PO=2，知OPB=30°，OB=POtan30°=又解：連線如圖，由C為PA中點(diǎn)，故VOPBC=VBAOP，而VOPHCVOPBC=PO2=PH·PB記PO=OA=2=R，AOB=a，那么VPAOB=R3sinacosa=R3sin2a，VBPCO=R3sin2a=ÞVOPHC=´R3 令y=，y¢=0，得cos2a=，Þcosa=， OB=，選D二填空題此題總分值54分，每題9分7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)fx=asinax+cosaxa>0在一個(gè)最小正周期

10、長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)gx= 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 ；解：fx= sinax+j，周期=，取長為，寬為2的矩形，由對(duì)稱性知，面積之半即為所求故填又解：1sinax+jdx=1sintdt=8設(shè)函數(shù)f：RR，滿足f0=1，且對(duì)任意x，yR，都有fxy+1=fxfyfyx+2，那么fx= ；解：令x=y=0，得，f1=110+2，Þf1=2令y=1，得fx+1=2fx2x+2，即fx+1=2fxx又，fyx+1=fyfxfxy+2，令y=1代入，得fx+1=2fxfx1+2，即fx+1=fx+1比較、得，fx=x+19如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的

11、度數(shù)是 ；解：設(shè)AB=1，作A1MBD1，ANBD1，那么BN·BD1=AB2，ÞBN=D1M=NM=ÞA1M=AN= AA12=A1M2+MN2+NA22A1M·NAcosq，Þ12=+2´cosq，Þcosq=Þq=60°10設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得也是一個(gè)正整數(shù)，那么k= ；解：設(shè)=n，那么k2n2=，Þ2kp+2n2kp2n=p2，Þk=p+1211數(shù)列a0，a1，a2，an，滿足關(guān)系式3an+16+an=18，且a0=3，那么的值是 ；解：=+，Þ令bn=+

12、，得b0=，bn=2bn1，Þbn=´2n即=，Þ=2n+2n312在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M1，2和N1，4，點(diǎn)P在x軸上挪動(dòng)，當(dāng)MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ；解：當(dāng)MPN最大時(shí)，MNP與x軸相切于點(diǎn)P否那么MNP與x軸交于PQ，那么線段PQ上的點(diǎn)P¢使MP¢N更大于是，延長NM交x軸于K3，0，有KM·KN=KP2，ÞKP=4P1，0，7，0，但1，0處MNP的半徑小，從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=1三解答題此題總分值60分，每題20分13一項(xiàng)“過關(guān)游戲規(guī)那么規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，假如這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)

13、數(shù)的和大于2n，那么算過關(guān)問： 某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？ 他連過前三關(guān)的概率是多少？解： 設(shè)他能過n關(guān)，那么第n關(guān)擲n次，至多得6n點(diǎn)，由6n>2n，知，n4即最多能過4關(guān) 要求他第一關(guān)時(shí)擲1次的點(diǎn)數(shù)>2，第二關(guān)時(shí)擲2次的點(diǎn)數(shù)和>4，第三關(guān)時(shí)擲3次的點(diǎn)數(shù)和>8第一關(guān)過關(guān)的概率=；第二關(guān)過關(guān)的根本領(lǐng)件有62種，不能過關(guān)的根本領(lǐng)件有為不等式x+y4的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，有C個(gè) 亦可枚舉計(jì)數(shù)：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1計(jì)6種，過關(guān)的概率=1=；第三關(guān)的根本領(lǐng)件有63種，不能過關(guān)的根本領(lǐng)件為方程x+y+z8的正整數(shù)解的總數(shù)，可連寫8個(gè)1，從8個(gè)空檔中選3個(gè)

14、空檔的方法為C=56種，不能過關(guān)的概率=，能過關(guān)的概率=；連過三關(guān)的概率=´´=14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定三點(diǎn)A0，B1，0，C1，0，點(diǎn)P到直線BC的間隔 是該點(diǎn)到直線AB、AC間隔 的等比中項(xiàng) 求點(diǎn)P的軌跡方程； 假設(shè)直線L經(jīng)過DABC的內(nèi)心設(shè)為D，且與P點(diǎn)軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍解： 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，y，AB方程：+=1，Þ4x3y+4=0， BC方程：y=0， AC方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|4x3y+44x+3y4|，Þ25y2+16x23y42=0，Þ16x2+16y2+24y16=0，&

15、#222;2x2+2y2+3y2=0或25y216x2+3y42=0，Þ16x234y2+24y16=0，Þ8x217y2+12y8=0 所求軌跡為圓：2x2+2y2+3y2=0， 或雙曲線：8x217y2+12y8=0 但應(yīng)去掉點(diǎn)1，0與1，0 DABC的內(nèi)心D0，：經(jīng)過D的直線為x=0或y=kx+ a 直線x=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線沒有交點(diǎn)；b k=0時(shí)，直線y=與圓切于點(diǎn)0，與雙曲線交于±，即k=0滿足要求c k=±時(shí)，直線與圓只有1個(gè)公共點(diǎn)，與雙曲線也至多有1個(gè)公共點(diǎn)，故舍去c k¹0時(shí)，k¹時(shí)，直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)，以代

16、入得：817k2x25kx=0當(dāng)817k2=0或5k225817k2=0，即得k=±與k=± 所求k值的取值范圍為0，±，±15a，b是方程4x24tx1=0tR的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)fx= 的定義域?yàn)閍，b 求gt=maxfxminfx； 證明：對(duì)于ui0，i=1，2，3，假設(shè)sinu1+sinu2+sinu3=1，那么+<解： a+b=t，ab=故a<0，b>0當(dāng)x1，x2a，b時(shí)， f ¢x= =而當(dāng)xa，b時(shí)，x2xt<0，于是f ¢x>0，即fx在a，b上單調(diào)增 gt= = = gtanu= =，

17、 +16´3+9cos2u1+cos2u2+cos2u3= 759sin2u1+sin2u2+sin2u3而sin2u1+sin2u2+sin2u32，即9sin2u1+sin2u2+sin2u33+753= 由于等號(hào)不能同時(shí)成立，故得證二試題一此題總分值50分在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長解： BC=25，BD=20，BE=7， CE=24，CD=15 AC·BD=CE·AB，Þ AC=AB， BDAC，CE

18、AB，ÞB、E、D、C共圓，ÞACAC15=ABAB7，ÞABAB15=ABAB18， AB=25，AC=30ÞAE=18，AD=15 DE=AC=15延長AH交BC于P， 那么APBC AP·BC=AC·BD，ÞAP=24連DF，那么DFAB， AE=DE，DFABÞAF=AE=9 D、E、F、G共圓，ÞAFG=ADE=ABC，ÞDAFGDABC， =，ÞAK=二此題總分值50分在平面直角坐標(biāo)系XOY中，y軸正半軸上的點(diǎn)列An與曲線y=x0上的點(diǎn)列Bn滿足|OAn|=|OBn|=，直

19、線AnBn在x軸上的截距為an，點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為bn，nN* 證明an>an+1>4，nN*； 證明有n0N*，使得對(duì)n>n0，都有+<n2004解： 點(diǎn)An0，Bnbn，Þ由|OAn|=|OBn|，Þbn2+2bn=2，Þbn=1bn>0 0<bn<且bn遞減，Þn2bn=nn= =單調(diào)增 0<n<Þ令tn=>且tn單調(diào)減由截距式方程知，+=1，12n2bn=n2bn2 an=2+=tn2+tn=tn+2+2=4且由于tn單調(diào)減，知an單調(diào)減，即an>an+1>4成立亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 由bn遞減知an遞減，且an>0+2+´=4 即證1>20041=k222 >´>1>>+>+只要n足夠大，就有1>2004成立三此題總分值50分對(duì)于整數(shù)n4，求出最小的整數(shù)fn，使得