k52006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：14.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算

1、知識就是力量本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考第十四章 導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標位定位要求：（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.（2）熟記基本求導(dǎo)公式C，xm（m為有理數(shù)），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的導(dǎo)數(shù)，掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（3）了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值.復(fù)習(xí)方略

2、指南深入理解和正確運用極限的概念、法則是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),能對簡單的初等函數(shù)進行求導(dǎo)是本章學(xué)習(xí)的重點,能把實際問題轉(zhuǎn)化為求解最大（小）值的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識去解決它是提高分析問題、解決問題能力,學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.1.熟練記憶基本求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則,是正確進行導(dǎo)數(shù)運算的基礎(chǔ).2.掌握導(dǎo)數(shù)運算在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極大（?。┲抵械膽?yīng)用,尤其要重視導(dǎo)數(shù)運算在解決實際問題中的最值問題時所起的作用.14.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運算知識梳理1.導(dǎo)數(shù)的概念：（1）如果當x0時，有極限，我們就說函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x0），即f（x0）= =.

3、（2）如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就說f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo).這時對于開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一個確定的值x0,都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f（x0）,這樣就在開區(qū)間（a,b）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新函數(shù)叫做f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f（x）,即f（x）= ，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0,f（x0）處的切線的斜率.3.幾種常見的導(dǎo)數(shù)：C=0（C為常數(shù)）;（xn）=nxn1;（sinx）=cosx;（cosx）=sinx;（ex）=ex; （ax）=axlna;（lnx）

4、=;（logax）=logae.4.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：設(shè)u、v是可導(dǎo)函數(shù)，則（u±v）=u±v;（uv）=uv+uv;（）= （v0）.特別提示f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f（x0）的實質(zhì)是“增量之比的極限”，但在計算中取它的應(yīng)用含義：f（x0）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）當x=x0時的函數(shù)值.點擊雙基1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點（1,2）及鄰近一點（1+x,2+y）,則為A.x+2 B.x2C.x+2 D.2+x解析: =x+2.答案:C2.設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo),則A.與x0,h都有關(guān)B.僅與x0有關(guān)而與h無關(guān)C.僅與h有關(guān)而與x0無關(guān)D.與x0、h均

5、無關(guān)答案:B3.設(shè)f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,則a的值等于A.B. C. D.解析:f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=.答案:D4.函數(shù)y=x2的曲線上點A處的切線與直線3xy+1=0的夾角為45°,則點A的坐標為_.解析:設(shè)點A的坐標為（x0,y0）,則y|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直線3xy+1=0的斜率k2=3.tan45°=1=|.解得x0=或x0=1.y0=或y0=1,即A點坐標為（，）或（1，1）.答案:（，）或（1，1）典例剖析【例1】 若f（x0）=2,求.剖析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義.解:f（x0）= （這時x=k

6、）.=·=·=f（x0）=1.評述:注意f（x0）= 中x的形式的變化,在上述變化中可以看到x=k,k0k0,f（x0）= ,還可以寫成f（x0）= 或 f（x0）=f（x0+）f（x0）等.【例2】 若f（x）在R上可導(dǎo)，（1）求f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）為奇函數(shù).剖析:（1）需求f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)；（2）求f（x），然后判斷其奇偶性.（1）解:設(shè)f（x）=g（x）,則g（a）= =f（a）.f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù).（2）證明:f

7、（x）= =f（x）.f（x）為奇函數(shù).評述:用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時，要注意y中自變量的變化量應(yīng)與x一致.深化拓展（2）中若f（x）為奇函數(shù)，f（x）的奇偶性如何？【例3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=x2sinx;（2）y=ln（x）;（）y=;（）y=.解:（1）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx.（2）y=·（x）=（1）=.（）y=.（4）y=.思考討論函數(shù)f（x）在點x0處是否可導(dǎo)與是否連續(xù)有什么關(guān)系？闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2004年全國,文3）曲線y=x33x2+1在點（1，1）處的切線方程為A.y=3x4 B.y=3x+2C.y=4x+3 D.

8、y=4x5解析:y=3x26x,y|x=1=3.在（1,1）處的切線方程為y+1=3（x1）.答案:B2.（2004年全國,文4）函數(shù)y=（x+1）2（x1）在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于A.1 B.2 C.3 D.4解析:y|x=1=（x2+2x+1）（x1）|x=1=x3+x2x1|xx=1=（3x2+2x1）| x=1=4.答案:D3.（2004年湖北,文3）已知函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f（x）的解析式可能為A.f（x）=（x1）2+3（x1）B.f（x）=2（x1）C.f（x）=2（x1）2D.f（x）=x1答案:A4.（2004年重慶,理14）曲線y=2x2與y=x32在交點處的切

9、線夾角是_.（以弧度數(shù)作答）解析:由得x3+2x216=0,（x2）（x2+4x+8）=0,x=2.兩曲線只有一個交點.y=（2x2）=x,y|x=2=2.又y=（2）=x2,當x=2時,y=3.兩曲線在交點處的切線斜率分別為2、3,|=1.夾角為.答案: 5.設(shè)f（x）在x=1處連續(xù)，且f（1）=0,=2,求f（1）.解:f（1）=0, =2,f（1）= = =2.6.設(shè)函數(shù)y=axbx2cxd的圖象與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12xy=0.若函數(shù)在x=2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式.解:y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸的交點為P，P的坐標為P（0,d）.又曲線在

10、點P處的切線方程為y=12x，P點坐標適合方程，從而d=.又切線斜率k=12，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)yx=0=12,而y=ax22bxc，yx=0=，從而 c=12.又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以yx=2=0,f（2）=0,即12ab12=0,ab20=0.解得a=2，b=9.所求函數(shù)解析式為y=2x39x212x.培養(yǎng)能力7.已知函數(shù)f（x）=ex（cosx+sinx）,將滿足f（x）=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列xn.求證：數(shù)列f（xn）為等比數(shù)列.證明:f（x）=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx,由f（x）=0,即2exsinx=0,解得x=n,nZ

11、.從而xn=n（n=1,2,3）,f（xn）=（1）nen.所以=e.所以數(shù)列f（xn）是公比q=e的等比數(shù)列.8.已知函數(shù)f（x）=ln（ex+a）（a0）.（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f1（x）及f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）;（2）假設(shè)對任意xln（3a）,ln（4a），不等式|mf1（x）|+ln（f（x）0成立，求實數(shù)m的取值范圍.解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），得x=ln（eya），所以y=f1（x）=ln（e xa）（xlna）.f（x）=ln（ex+a）=.（2）由|mf1（x）|+ln（f（x）0,得ln（exa）ln（ex+a）+xmln（exa）+ln（ex+

12、a）x.設(shè)（x）=ln（exa）ln（ex+a）+x, （x）=ln（exa）+ln（ex+a）x,于是原不等式對于xln（3n）,ln（4a）恒成立.等價于（x）m（x）. （*）由（x）=+1,（x）= +1,注意到0exaexex+a.故有（x）0, （x）0,從而（x）、（x）均在ln（3a）,ln（4a）上單調(diào)遞增,因此不等式（*）成立當且僅當（ln（4a）m（ln（3a）,即ln（a）mln（a）.探究創(chuàng)新9.利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）Sn=1+2x+3x2+nxn1（x0,nN *）.（2）Sn=C+2C+3C+nC （nN *）.解:（1）當x=1時，Sn=1+2+3+n= （n+1

13、）,當x1時，x+x2+x3+xn=,兩邊對x求導(dǎo)，得Sn=1+2x+3x2+nxn1=()=.（2）（1+x）n=1+Cx+C x2+C xn,兩邊對x求導(dǎo)，得n（1+x）n1=C+2Cx+3Cx2+nC x n1.令x=1,得n·2n1=C +2C+3C+nC,即Sn=C+2C +3C +nC=n·2n1.思悟小結(jié)1.求函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種方法：（1）導(dǎo)數(shù)的定義，即求的值.（2）利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值,即先求函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)f（x）,再將x0（x0（a,b）代入導(dǎo)函數(shù)f（x）,得函數(shù)值f（x0）.2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：（1）分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量.（2）運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意分清每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)數(shù).（3）根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù).3.本單元重點體