線性代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

1、說明： 1.本總結(jié)只是把課本的重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)了一下，我沒有看到期末 考試題，所以考著了算是僥幸，考不著也正常。 2.知識(shí)點(diǎn)會(huì)了不一定 做的對(duì)題，所以還要有相應(yīng)的練習(xí)題。 3.前后內(nèi)容要貫穿起來，融匯 貫通，建立自己的知識(shí)框架。第一章 行列式1. 行列式的定義式（兩種定義式） 行列式的性質(zhì) -對(duì)行列式 進(jìn)行行、列變換化為上下三角（求行列式的各種方法逐行相加、倒敘 相減、加行加列、 遞推等方法，所有方法是使行列式出現(xiàn)盡可能多的 0 為依據(jù)的） .2. 行列式的應(yīng)用 克拉默法則（成立的前提、 描述的內(nèi)容、 用途， 簡單的證明可從逆矩陣入手） .總結(jié)：期末第一章可能不再單獨(dú)考，但會(huì)在求特征值 /判斷正定

2、性等 內(nèi)容時(shí)順便考察行列式的求解。第二章 矩陣1. 矩陣是一個(gè)數(shù)組按一定的順序排列，和行列式（一個(gè)數(shù)）具有天壤 之別。2. 高斯消元法求線性方程組的解唯一解、無解、無窮解時(shí)階梯型 的樣子（與第三章解存在的條件以及解的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起 ）3. 求逆矩陣的方法（初等變換法， I 起到記錄所有初等變換的作用） 、 逆矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系。4. 初等矩陣和初等變換的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)會(huì)由初等變換找出與之對(duì) 應(yīng)的初等矩陣。5分塊矩陣（運(yùn)用分塊矩陣有時(shí)可以很簡單的解決一些復(fù)雜問題 ）記得結(jié)論A可逆,則A|A|(1- tA-1 ).第三章線性方程組第三章從向量組的角度入手，把線性方程組的系數(shù)矩陣的每一列看作 一

3、個(gè)列向量，從而得到一個(gè)向量組假設(shè)為1, 2, , n，右邊常則看作一個(gè)向量 ，1）若向量被向量組1, 2, , n表出唯一（即滿足關(guān)系：r（ 1, 2, , n） r（ 1, 2, , n, ） n時(shí)，因?yàn)橹挥邢蛄拷M1, 2, , n線性 無關(guān)才表出唯一），則只有唯一解；2）若不能由向量組1, 2 , , n線性表出（即滿足條件r( 1, 2,n)1r( 1 ,2,n,）時(shí)）則無解；3）若由向量組1, 2, , n表出不唯（即滿足條件r( i, 2,n)r( 1, 2 ,n, ) n時(shí)，只有i, 2,n線性相關(guān)才表出不唯）有無窮解。1。線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義、描述及判定2向量組的秩的定義及極

4、大線性無關(guān)組的求法（化為階梯型后同高度選一個(gè)）3。矩陣的秩向量組的秩相對(duì)應(yīng)。4. 齊次線性方程組非零解的條件（r（ 1, , n） n,列向量線性相關(guān)或秩） 和解得結(jié)構(gòu)（n-r（ i, , n）個(gè)線性無關(guān)的解的線性組合）。5.非齊次線性方程組的解存在的條件（r（ i,)r( i,）及解的結(jié)構(gòu)（對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解 +一個(gè)特解）第四章向量空間和線性變換 第二章高斯消元法關(guān)于如何求線性方程組的解， 多用于線性方程組解 的計(jì)算；第三章線性方程組的解從向量組的角度來討論解存在的條件 及解 的結(jié) 構(gòu)， 向量 被向 量 組 1, 2, , s 線性表 出 形式 與 （ 1, 2, , s）x 的解相互

5、對(duì)應(yīng)；第四章是從線性變換和空間的角度來 講解線性方程組的解 .1）線性變換： 線性方程組的解看做原像， 線性方 程組的右端項(xiàng)看作是線性變換的像。線性方程組有解就說明右端項(xiàng) （ ） 在線性變換的 A 的象空間里。 2）內(nèi)積結(jié)合線性子空間的角度考慮 線性方程組解的結(jié)構(gòu) （主要是齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)， 齊次線性 方程的系數(shù)組成的列向量組所張成的子空間和解空間互為正交補(bǔ)， 注：互為正交補(bǔ)的空間為維數(shù)加起來等于全空間的維數(shù)且相互正交的 子空間）。重要內(nèi)容 :坐標(biāo)變換、過渡矩陣、施密特正交化方法 .第五章特征值特征向量 矩陣的對(duì)角化特征值和特征向量承接了第四章的線性變換的定義， 一個(gè)矩陣 A 的特征向

6、量 ，則滿足條件 A （線性變換不改變向量的方向） ， 變化前后（和A ）兩個(gè)向量相差一個(gè)倍數(shù)，恰好就是特征值.Ann至 多有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 這是因?yàn)榫€性變換的像空間的維數(shù)至 多為n維的.當(dāng)A恰好有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí) A可對(duì)角化，即存在關(guān)系為 （ 1, 2, , n） 1A（ 1, 2, , n） 2 。注意并不是n 所有的矩陣都可以對(duì)角化的， 只有含 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量的矩陣 才可以對(duì)角化。 對(duì)于所有的實(shí)對(duì)稱的矩陣則都可以對(duì)角化， 并且不同 特征值的特征向量相互正交，且對(duì)角化的矩陣可以為正交矩陣。重要內(nèi)容 ：1。求特征值、特征向量 2、實(shí)對(duì)稱矩陣運(yùn)用正交陣 來對(duì)角化

7、（求正交矩陣 ） 3、特征值、特征向量的關(guān)系，例如不同 特征值的特征向量的和不再是特征向量 ,不同特征值得特征向量線性 無關(guān)，實(shí)對(duì)稱不同特征值的特征向量相互正交。第六章 二次型二次型把二次齊次多項(xiàng)式f（Xi，X2，Xn）寫為XTAX的形式，其中A 為實(shí)對(duì)稱矩陣， 則根據(jù)第五章內(nèi)容實(shí)對(duì)稱矩陣都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 得出存在正交矩陣P使得PtAP。注意相似與合同的區(qū)別，相似矩陣是B P-1AP，合同矩陣是C QtAQ （合同矩陣要保持對(duì)稱性，所以形 式上就有很大的差別）若是存在可逆陣Q使得C QtAQ，則進(jìn)行可 逆 的 線 性 代 換 y QX 即 可 把 二 次 型 化 為 f（X1,X2, ,Xn） XTQTAQX yT y ，即化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)二次型。 化為標(biāo)準(zhǔn)二次型有三種方法 :配方法、正交矩陣方法（對(duì)角元素為特 征值）、初等變換法。 慣性定