考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定積分

1、溫馨提示:此題庫為 Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉 Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)6導(dǎo)數(shù)、定積分x1. （2010 海南高考理科T3）曲線y二-在點(diǎn)-1,-1處的切線方程為（）(A) y =2x -1(B) y =2x -1(C y - -2x - 3( D) y-2x_2【命題立意】【思路點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程2(-1 2)22,選A.因?yàn)閥 =（；）2，所以，在點(diǎn) -1,-1處的切線斜率k二y所以，切線方程為 y1 = 2（x1），即y =2x1，故

2、選A.2. （2010 山東高考文科8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y （單位：萬元）與年產(chǎn)量 x （單位：萬件）1 3的函數(shù)關(guān)系式為y x ，81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（）3（A） 13萬件（B） 11萬件（C） 9萬件（D） 7萬件【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】 選C. y-x2 81,令/ =0得x =9或x（舍去），當(dāng)x ： 9時y' 0 ；當(dāng)x 9時y' ： 0 ,故當(dāng)x =9時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C.3. （2010 山東

3、高考理科7）由曲線y= x2 ,y= X圍成的封閉圖形面積為（）/、 1117（A）（B） -（C） -（D）124312【命題立意】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積，考查了考生的想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.23【思路點(diǎn)撥】先求出曲線y=x ,y= x的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求面積 【規(guī)范解答】選A.由題意得：曲線y= x2 ,y= x3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0） , （1,1），故所求封閉圖形的面積為1231110( x -x )dx= 1-1=,故選 A.3 41244. (2010 遼寧高考理科10)已知點(diǎn)P在曲線y= 上，：為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，

4、則:ex +1的取值范圍是()3 ：3：(A)0,)(B),)(C)(,(D)，二)4 4 22 44【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率【思路點(diǎn)撥】 先求導(dǎo)數(shù)的值域，即tan 的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求 :的范圍.【規(guī)范解答】選D.(+2+1(A) -21 n2(B) 2ln2(C) In 2(D)ln 2【命題立意】考查積分的概念和基本運(yùn)算【思路點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】1記住丄的原函數(shù)x41dx選 D . 2 x =(lnx+c)4=(l n4+c)-(l n2+c)=l n2.2【方法技巧】關(guān)鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù)6. (2010 江蘇高考

5、8)函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)當(dāng)且僅當(dāng)即“耐 J川成立。eX/0則-l<tan<z< 03又cr亡0,<a< Jt,故選D4為 ak+1,其中 N*，若 a1=16，則 a1+a3+a5的值是【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項(xiàng)等內(nèi)容【思路點(diǎn)撥】 先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(a k,a k2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由y = 0，即可求得切線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)【規(guī)范解答】由y=x2(x>0)得，y =2x ,ak當(dāng)y =0時，解

6、得x =2y - a/ 二 2ak(x aj所以函數(shù)y=x2（x>0）在點(diǎn)（ak,ad處的切線方程為:所以 ak 4 =玉，a1 a3 a5 =16 4 1=21.2【答案】217. （2010 江蘇高考T14）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S（梯形的周長）2 ,則S的最小值是 梯形的面積【命題立意】本題考查函數(shù)中的建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及等價轉(zhuǎn)化思想【思路點(diǎn)撥】可設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，然后用x分別表示梯形的周長和面積，從而將S用x表示出來，禾U用函數(shù)的觀點(diǎn)解決【規(guī)范解答】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為2則：s=（3 _x）二_41 （

7、x+1） £（1_x）矗2 2方法一：利用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值2S(x)迅罟，S (x)(2x-6) (1-x2) -(3-x)2 (-2x)(1-x2)21S(x)二 0,0 : x ： 1,x 二31 1x （0,時，S（x）：0,遞減；當(dāng) x ,1）時，S （x）0,遞增;331 32 J3故當(dāng)x 時，S取最小值是33方法二：利用函數(shù)的方法求最小值21 1 14t24令 3-x =t,t (2,3), -(一，)，則：S-t3 273-t+6t-8 胎_8 十62 I t2 t131故當(dāng)廠廠匕時，S取最小值是32、33【答案】32、3【方法技巧】 函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一

8、，高考不但在填空題中考查，還會在應(yīng)用題、函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的綜合解答題中考查高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結(jié)合法、 導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法8. (2010 陜西高考理科T1 3)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M (x,y ),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為.【命題立意】 本題考查積分、幾何概型概率的簡單運(yùn)算，屬送分題【思路點(diǎn)撥】 由積分求出陰影部分的面積即可求解123 1【規(guī)范解答】 陰影部分的面積為 S陰影=f03x2dx =1.所以點(diǎn)M取自陰影部分的概率為P S影11S長方形3江1 31【答案】丄39. (2010 海南高考理科T13)設(shè)y=f(x)為區(qū)間0,1上的

9、連續(xù)函數(shù)，且恒有Ow f(x)< 1,可以用隨機(jī)1模擬方法近似計(jì)算積分o f (x)dx ,先產(chǎn)生兩組(每組 N個)區(qū)間0,1上的均勻隨機(jī)數(shù) n，x2, ,xN和yi,y2, ,yN,由此得到N個點(diǎn)(Xj,yJ(i=1,2, , ,N),再數(shù)出其中滿足yifXi(i=1,2, , ,N)的點(diǎn)數(shù)1N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分f (x)dx的近似值為 .【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計(jì)算公式【思路點(diǎn)撥】由隨機(jī)模擬想到幾何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進(jìn)行求解【規(guī)范解答】 由題意可知，x, y所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個邊長為1的正方形，而滿足 yi w f (xi)

10、的點(diǎn)1(Xi,yj落在y=f(x)、y=0以及x =1、x = 0圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計(jì)算公式可知f(x)dx的近似值為叫.【答案】NiNk 210. ( 2010 北京高考理科T1 8)已知函數(shù) f ( X)=ln(1+ x)- x+ x ( k > 0).2(i)當(dāng)k=2時，求曲線y = f ( x)在點(diǎn)(1 , f (i)處的切線方程；求f ( x)的單調(diào)區(qū)間.【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間.解決本題時一個易錯點(diǎn)是忽視定義域.【思路點(diǎn)撥】(1)求出f'(1)，再代入點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；(2)由k討論f'(X)的正負(fù)，

11、從而確定單調(diào)區(qū)間.2 1【規(guī)范解答】(1 )當(dāng) k=2 時，f(x)=l n(x)-xx2，f '(x)1 2x1 + x3由于 f(1)=l n2，f'(1) = 3，2所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為3y-In2(x-1)2 ，即 3x-2y 2ln 2-3=0.(2)f'(xr丄_1kx = x(kx k)，x.(_1,；). 1+x1+x當(dāng) k =0時，f'(x).1+x所以，在區(qū)間(-1,0)上，f'(x)0 ；在區(qū)間(0,七)上，f'(x)：0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1-k

12、x2=0，kx(x4)當(dāng) 0”1 時，由 f'(x)="，得 “°,1-k1-k所以，在區(qū)間(-1,0)和(，V)上，f'(x)0 ；在區(qū)間(0,) 上, f'(x)：o,kk1 _ k1-k故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和(，：)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).kk當(dāng)k =1時,f'(x)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1, v).kx1'）1 _k當(dāng) k 1 時，f '（x）k 0，得人=一 一 （_1,O） , x2 = 0.1 +xk1_k1_k所以在區(qū)間（-1,）和（0, ：）上，f'（x） 0 ；在區(qū)間（，

13、0）上，f'（x）：0kk1_k1_ k故f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,）和（0,7），單調(diào)遞減區(qū)間是（,0）kk【方法技巧】（1） y = f（x）過（x°, f（X。） 的切線方程為 y -f （x0）= f '（x0）（x -x0）.（2） 求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論f '（x）的正負(fù).11. （2010 安徽高考文科20）設(shè)函數(shù) f x 二 si nx-cosx，x 一 0 ： x ： 2 二，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間與極值.【命題立意】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查考生運(yùn)算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)

14、化能力【思路點(diǎn)撥】 對函數(shù)f （x）求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)f（X）的符號情況，從而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值【規(guī)范解解】由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2兀，知f "(x) =1 + J2Sin (x+上)4或直二令- 0,從 nEin（jc+） 、得H二福4 2當(dāng)諛化時，心 f（Q變化情況如下表Ix（0衛(wèi)）31（3兀）兀一f1 , 2丿3兀2(3)1 2兀12 ,丿f (x)+0-0+f(x)z極大值Z極小值Z因此,由上表知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0）與（，）,單調(diào)遞減區(qū)間是3兀3兀極小值為f（ ）=，極大值為f（二）=二* 2.2 2【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)

15、研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決函數(shù)單調(diào)性、極值問題的常用方法,簡單易行，具體操作流程如下:(2) 求方程f'(x)=O的全部實(shí)根；(3) 列表，檢查f'(x)在方程f'(x) =0的根左、右的值的符號；(4) 判斷單調(diào)區(qū)間和極值.12. (2010 北京高考文科T1 8)設(shè)函數(shù) f(x)x3 bx2 cx d(a(a0)0)，且方程 f(x)_9x=03的兩個根分別為1 , 4.(1)當(dāng)a=3且曲線y = f (x)過原點(diǎn)時，求f (x)的解析式；(2)若f (x)在無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.【命題立意】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識【思路點(diǎn)撥】 由f

16、'(x) -9x =0的兩個根及y二f (x)過原點(diǎn)，可解出b,c,d ；(2) f '(x)是開口向上的二次函數(shù)，f (x)無極值點(diǎn)，則f'(x)_0恒成立.【規(guī)范解答】 由 f (x) =a x3 - bx2 cx d 得 f (x)二 ax2 2bx c3 J因?yàn)閒 (x)-9x二ax2 2bx c-9x =0的兩個根分別為1,4，所以，(*)2*+c-6=O,(°當(dāng)a =3時，(*)式為(8&+忙十12 = 0,解得 b - -3,c = 12 ,又因?yàn)榍€y=f(x)過原點(diǎn)，所以d =0,故 f (x)二 x3 -3x2 12x.(2)由于

17、a>0,所以 f (x ax3 bx2 cx d 在(-+)內(nèi)無極值點(diǎn)等價于 f (x) = ax2 2bx c_ 03在(-m, +s)內(nèi)恒成立.由(*)式得 2b =9 -5a, c = 4a .又丄=(2b)2 -4ac = 9(a T)(a-9)_La 0ii解得a 1,913=9(a -1)(a-9)蘭 0即a的取值范圍為1,9 1【方法技巧】(1 )當(dāng)f'(X)在X0的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)時，Xo為極大值點(diǎn)；當(dāng)f '(X)在Xo的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正時，Xo為極小值點(diǎn).(2)二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決.y = ax2+bx + c ,耳、恒大于

18、0，則>0(a#0)A <02 a ： 0y =aX bX c (a0)恒小于 0，貝V(a=0)占 £ 013. (2010 安徽高考理科17)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f xi； = eX-2x 2a,xR .(1) 求f x的單調(diào)區(qū)間與極值；求證：當(dāng) a In 2 -1 且 x 0 時，ex x2-2ax 1.【命題立意】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明不等式，考查考生運(yùn)算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力【思路點(diǎn)撥】(1)先分析f (x)的導(dǎo)數(shù)f(x)的符號情況，從而確定 f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；x2(2)設(shè)g(x)二e

19、-x ，2ax-1，把問題轉(zhuǎn)化為：求證：當(dāng)a I n2-1且x 0時，g(x) 0 .【規(guī)范解答】(1) f (x) = e2x 2a , . f (x) =ex -2令 f (x) =0，得 x =1 n2 ,X(-°°,ln 2 )In 2(1 n2,Ff (x)0+f(x)z極小值Z-f (x)在-：,l n2上單調(diào)遞減，在 In 2：上單調(diào)遞增；當(dāng)x=l n2時，f(x)取得極小值為22I n2 + 2a.(2)設(shè) g(x)二 exx2 2ax1 , - g (x)二 ex2x 2a 二 f (x)由( 1 )問可知,g (x) _ 2 - 2In 2 2a 恒成立

20、，當(dāng)a I n2-1時，則g(x) 0恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng) x 0 時，g(x) g(0)=0.即當(dāng) a . ln 2 _1 且 x . 0 時，ex x22ax 1.【方法技巧】1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)單調(diào)性問題的常用方法，簡單易行;2、證明不等式問題，如證£(x) . f2(x)，通常令g(x) = fi(x)_ f2(x)，轉(zhuǎn)化為證明：g(x) 0.314. ( 2010 天津高考文科20)已知函數(shù)f (x) =ax3X2 T(xR)，其中a>0.2(1) 若a=1，求曲線y=f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程；(2) 若在區(qū)

21、間 -丄，1上，f (x) >0恒成立，求a的取值范圍II 2 2【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值.【規(guī)范解答】(1 )當(dāng) a=1 時，f (x) =x3-3x2 1 f (2) =3; f' (x)= 3x2-3x, f ' (2)=6. 2所以曲線y=f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程為 y-3=6 ( x-2 )，即y=6x-9.2 1(2) f' (x)= 3ax - 3x = 3x(ax -1).令

22、 f' (x)=0，解得 x=0 或 x= a以下分兩種情況討論：1 1(1) 若0 ：a乞2,貝V，當(dāng)x變化時，f' (x) , f (x)的變化情況如下表:a 2x(1 ).,0I 2丿0(1)10，-1 2丿f ' (x)+0-f(x)Z極大值Z0,0.15 ax,1-IL 2 2if(2)°°,f (x) >0等價于2 即 81|5 + aW)°,解不等式組得-5<a<5.因此0 ： a乞2 .1 1(2) 若a>2,則0.當(dāng)x變化時，f' (x),f (x)的變化情況如下表:a 2x2町01 a0

23、1 )1 2 2丿f ' (x)+0-0+f(x)Z極大值Z極小值Z1 f(-3)>°, ,f (x) >0等價于 2 即 f(1)>0, .a口>0,811- 2>0. .2a解不等式組得 :a ： 5或a 2 .因此2<a<5.2 2綜合(1 )和(2),可知a的取值范圍為0<a<5.1 a15. (2010 山東高考文科21)已知函數(shù)f (x) = In x - ax1(a三R).x(1) 當(dāng)a二1時，求曲線y = f(x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程；1(2) 當(dāng)a時，討論f (x)的單調(diào)性.【命題立意】 本

24、題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力 思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線y二f(x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線的斜率;.考查分類討論(2)直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，同時應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇【規(guī)范解答】(1)當(dāng) a - -1 時，f(x) =1 n x x 2 -1,(0,；x),所以 X；=x 尸x因此，2 =1,即曲線y = f(x)在點(diǎn)(2 , f(2)處的切線斜率為1.又 f (2) =ln 22,所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(2 ,f(2)處的切線方程為y -(1 n 2 2) =x - 2,即

25、 xy In 2 =0.(2)因?yàn)?f (x) = In x -ax2.1 -a. 1. a T ax - x 1 - a1,所以 f'(x) a xxxx22 -g(x) =ax _x _a, x (0,：),(1) 當(dāng) a =0時，g(x) =-x 1,x三0, ：,所以當(dāng)(0,1時，g x >0,此時x : 0，函數(shù)f x單調(diào)遞減;當(dāng)x三1, 時，g x <0,此時x 0，函數(shù)f x單調(diào)遞增(2)當(dāng) a = 0 時，由 f x;=0 ,2 1即 ax -x 1 -a = 0，解得為=1,X21.a1 當(dāng)a時，=x2 , g x _0恒成立，此時 f x _0， 函數(shù)f

26、(x)在(0，+s)上單調(diào)遞減11 當(dāng) 0 ：a 時，110，2 ax"0,1時，g X，0,此時x : 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減，x 1,1-1時，g x <0,此時x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增，I a丿x 1 -1, ： i時，g x i 0，此時x : 0，函數(shù)f x單調(diào)遞減, .a1當(dāng)a ：0時，由于1 ：0,axrO,1時，g x 0,此時x : 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減，x三1, v 時，g x <0,此時x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)a乞0時，函數(shù)f x在0,1上單調(diào)遞減；函數(shù)f x在1, :上單調(diào)遞增,1當(dāng)a 時,函數(shù)f x在0,亠上單調(diào)遞減，11,-1

27、.a上單調(diào)遞增;當(dāng)0 ：a 時，函數(shù)f x在0,1上單調(diào)遞減；函數(shù)函數(shù)f (x 在 '1 -1，咼上單調(diào)遞減 la'丿【方法技巧】1、分類討論的原因(1) 某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；(2) 數(shù)的運(yùn)算：如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)等；(3) 含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變；(4) 在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能2、分類討論的原則(1) 要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；(2) 對討論對象分類時

28、要不重復(fù)、不遺漏；(3) 當(dāng)討論的對象不止一種時，應(yīng)分層次進(jìn)行3、分類討論的一般步驟(1) 明確討論對象，確定對象的范圍；(2) 確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；(3) 逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；(4) 歸納總結(jié)，得出結(jié)論.16. (2010 陜西高考文科21)已知函數(shù) f(x) =-j''X,g(x) =al nx,a R.(1) 若曲線y二f (x)與曲線y =g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；(2) 設(shè)函數(shù)h(x) = f (x) - g(x),當(dāng)h(x)存在最小值時，求其最小值- (a)的解析式；(3) 對(2)中的:(a

29、)，證明：當(dāng) a，(0,=)時，(a)叮.【命題立意】 本題將導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機(jī)地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力【思路點(diǎn)撥】 曲線y = f (x)與y =g(x)在交點(diǎn)處有相同的切線 =交點(diǎn)坐標(biāo)=a的值及該切線的方程；=h(x)=利用導(dǎo)數(shù)法求h(x)的最小值' (a)的解析式=利用單調(diào)性證明(3).【規(guī)范解答】(1)f(x)=2g(x)Txm1a e, x2 x 二 a In x,由已知得：1 a 解得|!=2 x x'-兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為

30、e,e ),切線的斜率為k = f "(e2)=丄2e所以切線的方程為 y e(xe2),即x2eye2 =0.2e(2)由已知條件知 h(x)h$X_alnx,(x . 0).1h(x)=2.xx -2a2x當(dāng)a>0時，令h(x) =0,解得x =4a2,所以當(dāng) 0 < x< 4 a2 時，h(x)：0, h(x)在(0，4a2 )上遞減；2 2當(dāng) x>4a 時，h(x) 0， h(x)在(4a ,=)上遞增.所以x=4a2是h(x)在(0, + R )上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)2 2.最小值： (a)二 h(4a )=2a-a

31、ln(4a )=2a(1-ln(2a).當(dāng)aw 0時，h (x 2a 0,h(x)在(0, +s)遞增，無最 小值.2x故- "=呦 2X1 ln(2j ) >0(3)由(2)知(a) =-2ln 2a,(a 0).1 由(a)二-2ln(2a)0,得0 : a ;21 由 (a)二-2ln(2a) <0,得a211所以(a)在(0,丄)上是增函數(shù)，在(丄，=)上是減函數(shù)，2 21所以(a)的最大值為(2),又(2)=2 2(1Tn(2 弓)=1.所以當(dāng) a (0,=)時，：(a) <1.17. (2010 陜西高考理科2 1)已知函數(shù)f (x)=.匸,g(x)二a

32、lnx,aR.(1) 若曲線y二f (x)與曲線y =g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程;(2) 設(shè)函數(shù)h(x) = f (x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小值時，求其最小值:(a)的解析式；(3) 對(2)中的- (a)和任意的a 0,b0，證明：申蘭 ®(a)+A(b)二申(迪)22'a+b 八【命題立意】 本題將導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機(jī)地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力【思路點(diǎn)撥】 曲線y = f (x)與y = g(

33、x)在交點(diǎn)處有相同的切線 =交點(diǎn)坐標(biāo)二.a的值及該切線的方程; 由h(x)=利用導(dǎo)數(shù)法求h(x)的最小值- (a)的解析式=利用基本不等式證明(3).1a【規(guī)范解答】(1) f (x)：-，g(x) (x 0),2jxx由已知得：1 a.兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e,e)，切線的斜率為k = f "(e2)=2e所以切線的方程為 y-e二2e1一(x_e2),即x_2ey e2 = 0.(2)由已知條件知 h(x)=、x_al nx,(x 0).1 a x - 2ah(x)dx x 2x當(dāng)a>0時，令h (x) = 0 ,解得X = 4a2,所以當(dāng) 0 < x< 4 a

34、2 時，h(x)：0, h(x)在(0，4a2 )上遞減；當(dāng) x>4a2時，h (x)0， h(x)在(4a2,二)上遞增.所以x=4a2是h(x)在(0, + s )上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn).最小值(a)二 h(4a2) =2a-aln(4a2) =2a(1-1 n(2a).當(dāng)aw 0時，h (x) = x 2a . 0, h(x)在(0, +s)遞增，無最小值.2x(3)由(2)知(a)二-2ln 2a,(a 0).對任意的a 0, b 0,:()=-2 In (a b) _ -21 n(2 麗=- ln(4 ab),：(a)(b)2-2In(2a)

35、-2In(2 b)2二- In(4ab),(竿)_2In(笨)_ -2In( n(4ab),a ba b2、ab綜上可得：護(hù)(a+b)/F(a)+即(b) v(2ab)2 '2'a b【方法技巧】不等式的證明方法1證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟， 技巧和語言特點(diǎn).2 在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反

36、之亦可從明 顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析法綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的.18. (2010 湖南高考理科 T 4)已知函數(shù)f(x)=x2 bx c(b,c R),對任意的X R，恒有f'(x)乞f (x).(1)證明：當(dāng) X _0 時，f (xi (x c)2 ；(2)若對滿足題設(shè)條件的任意b, C,不等式f(c) - f (b)豈M (c2 -b2)恒成立，求M的最小值【命題立意】以二次函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)，不等式的證明，消元等知識.考查了等價轉(zhuǎn)化的思想.【思

37、路點(diǎn)撥】(1)在對任意的xR，恒有f'(x)乞f(x)下可以得到b,c的關(guān)系，目標(biāo)是證明當(dāng)x_0時,2f(X)乞(X c),其實(shí)是尋找條件和目標(biāo)的關(guān)系，連接的紐帶是b和c的關(guān)系( 2)恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，而且是二元函數(shù)的最值的求法，沒有等式的條件下常常用整體消元【規(guī)范解答】(1)易知f' (x)=2x+b.由題設(shè)，對任意的b2R,2x x2 bx c,即x2 (b - 2)x c - b 丄 0恒成立，所以(b-2) 2-4(c-b) < 0,從而 c> 一 1.4于是 c > 1,且 c > |b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.故

38、當(dāng) x > 0 時，有(x+c) -f(x)=(2c-b)x+c(c-1)> 0.即當(dāng) x > 0 時，f(x)乞(X c)2.由(1)知,c> |b| 時，有f(c) - f(b)c2 -b2c2b2 beb2c2 - b2c 2bb c令tf,則_仁1,=2一丄.cb+c 1 +t而函數(shù)g(t) =2 一丄(一1 ：t :：: 1)的值域是(-：1 t2因此，當(dāng)c |b|時，M的取值集合為3,：)22 2當(dāng) c=|b| 時，由(1)知,b=± 2,c=2.此時 f(c)-f(b)=-8 或 0, c -b =0,3從而f(c)-f(b) w 0, M無最小

39、值.綜上所述，M的最小值為上.2【方法技巧】求最值是高考中重點(diǎn)也是難點(diǎn).解題的思路是，首先看變量的個數(shù)，如果是三個變量常有三條路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為二元再轉(zhuǎn)化為一元，三是有時利 用幾何背景解題.如果是兩個變量常常有三條路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元轉(zhuǎn)化 為一元函數(shù)，三是如果條件是不等式，常常也可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃.如果是一個變量，常用方法：基本函數(shù)模型，單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法.19. ( 2010 遼寧高考文科21) 已知函數(shù)f(x)=(a+1)Inx+ax 2+1.(1) 討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2) 設(shè) aw -2，證明：對任意 X1,

40、X2 (0,+ g)，|f(X1)-f(X2)| > 4|x仁 X2|.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運(yùn)算推理能力.【思路點(diǎn)撥】(1)求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，(2)轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x, 通過g(x)的單調(diào)性證明.【規(guī)范解答】(D/OW定義城為 CO, +m) , f = 2aJC=1lalXJCX當(dāng)于3g故/g在(m+皿)上單調(diào)遞增；a<-rt，fCOvOL故/(©在(0,+oo)上單調(diào)遞減；貝J當(dāng)工割加)上單調(diào)遞減。今)上單調(diào)遞増，(-2)不妨設(shè)耳二丐

41、由于口蘭-X所以在(0, +m)上單調(diào)遞減。 所幀對-/(七申4|耳-七|等價幵©-/(對"-4七 即：/C對十4七二/00 + 4耳FffCQ =/W十4寫則* 亠 2ax +4jc+a+lg =,于是畑蘭m仝如XX從而飜菲(0, + ®)上單調(diào)遞減，所如®即 /W » 4耳卜4冷所以對任意五巧七(0,4«)fg -只巧)亡4|耳一兀| *【方法技巧】1.討論函數(shù)的單調(diào)性要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏2、直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題.20. (2010 遼寧高考理科21)已知函數(shù)f(

42、x)=(a+1)l nx + ax2+1(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；I jHfxi) jfCis) I >： 41 J； jcj |(2) 設(shè)a ： -1.如果對任意x1, x2 (0, ：),，求a的取值范圍.【命題立意】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以 及運(yùn)算能力【思路點(diǎn)撥】(1)求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，(2)轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,分離參數(shù)，求a的范圍.【規(guī)范解答】/U)的定義域?yàn)?0, +m) , /U) = + 2or =XX當(dāng)也土0B九十功0故£3在CO-*&

43、#174;)上單調(diào)增加； 當(dāng)應(yīng)蘭一1時，產(chǎn)3 <8故只涎 (a+oo)上單調(diào)減少；當(dāng)舒3" 解得"孚)時皿laXE單調(diào)減少。嚴(yán))時，尸(©<。放/(”在(aJUU 當(dāng)加)上令上單調(diào)增加，在工)不妨i殳孔之心而口c-1,由(I)夕嘰©£ 1 0. +«>.)上單調(diào)減少*從而%八圧(a知加兀o -忑)陰41兀一對等價于5?"牝 0+«0*/<巧)*4巧 Z/(J0*4* -1令g<© =只” *4斗則賽'g = +込十4x式等價于宕(對在° * ao)上單調(diào)減少

44、，即從而必”二M故甜取值范圍為08廠2 【方法技巧】1、 討論函數(shù)的單調(diào)性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏.2、 求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0等.3、 直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題21. (2010 天津高考理科T 2 1)已知函數(shù)f (x) =xe(x R)(1) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 已知函數(shù) y=g(x)的圖象與函數(shù) y = f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對稱，證明當(dāng) x 1時, f(x) = g(x).(3) 如果 x,式x2，且 f (x,) = f (x2)，證

45、明 +x2 >2【命題立意】 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題.【規(guī)范解答】(1) f' (x)=(1-x)ef，令 f'(x)=0,解得 x=1,當(dāng)x變化時，f ' (x) , f(x)的變化情況如下表x(-00,1)1(1,Tf'(X)+0-f(x)z極大值z所以f(x)在(_：,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,：)內(nèi)是減函數(shù)1函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=-e(2) 由題意可知 g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2

46、-x)ex°令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x)二 xe(x -2)ex°于是 F'(x) -(x -1)2 -1)e»當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而e2x-2 -1 0,又e0,所以F' (x)>0,從而函數(shù)F (x)在1,+)是增函數(shù).又 F(1)= e-1 -e-1 =0,所以 x>1 時，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).(3) 若(X -1)爲(wèi) 一1=©,曲(1) 及fx 11) =fx 2,則xx =»2 =1.與 護(hù)屜矛盾。若<(冶1)1)(冷

47、1今90由由(J及及財(cái)i)f(xf(x),2得得x 2與與x蒐矛盾盾。根據(jù)得(x T)(x2 T) ： 0,不妨設(shè)為1,x21.由(2)可知，f(x 2) >g(x2),又 g(x2) =f(2-x 2)，所以 f(x 2)>f(2-x 2),從而 f(x 1)>f(2-x 2).因?yàn)?x21 ,所以2 -x2 1, 又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8, 1)內(nèi)是增函數(shù)，所以x1>x2,即x1+x2>2.22. (2010 江蘇高考T 20 )設(shè)f (x)是定義在區(qū)間(1：)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f '(x).如果存在實(shí)數(shù)a 和函數(shù)h(x)，其中h(x)

48、對任意的x (1,：)都有h(x) >0,使得f'(x) =h(x)(x已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定為必 (1,：),為：X2,設(shè)m為實(shí)數(shù)， - ax 1)，則稱函數(shù)f (x) 具有性質(zhì)P(a).b +2(1)設(shè)函數(shù)f (x) =|nx (x -1)，其中b為實(shí)數(shù).x+1(1) 求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b) ； (ii) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.:=mxi (1 m)X2，: = (1 - m)ximx2，且用 > 1, :. 1 ,若I gCO - g( )1<1 g(xj - g(x2)|，求 m 的取值范圍.【命題立意】 本題主要考查函數(shù)的概

49、念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討 論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力【思路點(diǎn)撥】(1)求出f'(x)，并將其表示為f'(x)二h(x)(x2 - ax 1)的形式，注意h(x) 0.利用(1)的結(jié)論求解.【規(guī)范解答】(1) (i) f'(x)121 2(x2 -bx 1)，x (x+1)2x(x+1)2 x 1 時,h(x)=1x(x 1)2函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b).bb2(ii)(方法一)設(shè) 申(x) =x2bx+1 =(x-？)2+1 - 4，申(x)與 f '(x)的符號相同b2當(dāng) 1 o-2 ：b ：2 時，(

50、x) 0 , f'(x) 0，故此時 f(x)在區(qū)間(1：)上遞增;4當(dāng)b =2時，對于x 1，有f'(x) - 0 ,所以此時f (x)在區(qū)間(1, ：)上遞增;當(dāng)b ： -2時，:(x)圖像開口向上，對稱軸KX = 一1，而(0) =1，所以當(dāng)2x>1時*(x)#(Cx)=0, ff '似)淪0，所以此時f (x)在區(qū)間(1,：)上遞增;當(dāng)b 2時，(x)圖像開口向上，對稱軸Kx = §1 ,方程'(X)= 0的兩根為:b - b2 - 42而2 22b ；b2 -4(0,1)b + Jb2 4b + Jb2 4當(dāng)x (1,)時，(x)0 ,

51、 f '(x)0，故此時f (x)在區(qū)間(1,)上遞減；同理得:f (x)在區(qū)間一廠，；)上遞增綜上所述，當(dāng)b乞2時,f (x)在區(qū)間(1,：)上遞增;當(dāng)b 2時,f (x)在(孑+曲4)上遞減；f (x)在廠+陽-4,耘)上遞增.(方法二)當(dāng) b 2時，對于 x 1 , ：(x) =x2 _bx 1 _x2 _2x 1 =(x _1)2 . 0所以f'(x) .0,故此時f(x)在區(qū)間(1,匸：)上遞增；當(dāng)b 2時，(x)圖像開口向上，對稱軸x=b1，方程(x)=0的兩根為：4,- 4，2而 b；b2_4 .1,bb2-4b 嚴(yán)(0,1)，當(dāng) x (1,-b 4)時,2b .

52、，. : b24(x) <0，f'(x) <0，故此時f(x)在區(qū)間(1,b ' 2)上遞減；同理得:f (x)在區(qū)間綜上所述，當(dāng)b乞2時,f (x)在區(qū)間(1,：)上遞增;當(dāng)b 2時,f (x)在仆b_4)上遞減；f (x)在b +'b -4 ,嗎上遞增.(方法一)由題意，得：g'(x)二 h(x)(x2-2x 1) = h(x)(x-1)2又h(x)對任意的x (1,二)都有h(x) >0,所以對任意的x (1, ：)都有g(shù) (x)0，g(x)在(1,：)上遞增.又-為- (2m 1)( x2).1當(dāng) m , m = 1 時，：；一 I ，

53、且二= (m - 1)x(1m)x2, ：x2 二(1m) (m1)x2， 2-* (oj-而田-=- 1)“可-花尸 <0,u 戸或& <a若：為：X2 ：，則g(：) ： g(x) ： gX) ： g( J , 七(疔)藝U0卜 1 蘭(耳)藝(，(不合題意)艮卩解得J7) < 1 1那匚h當(dāng)m = L時肚三0. gg®-gK肌呂)一班心)，符合題意.工二3、且肚一可=用(旺一召),0壬=一用忑一兀y)*同理有仆0 5 5,目卩卩解得崩珂 + (1 - ffliJXj <22綜合以上討論，得所求 m的取值范圍是(0, 1).(方法二)由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x) =h(x)(x2 - 2x 1)，其中函數(shù)h(x) 0對于任意的x(1,=)都成立.所以，當(dāng)x .1時，g'(x)二h(x)(x-1)2 0，從而g(x)在區(qū)間(1：)上單調(diào)遞增 當(dāng) m (0,1)時，有：=mN (1 -m)x2 mxi (1 -m)% = x，：=mxi(1 -m)x2:mx2(1-m)x2=x2，得二 e(x1,x2)，同理可得：(x1, x2)，所以由