立體幾何中的常見(jiàn)題型及基本思路

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載立體幾何中的常見(jiàn)題型及基本思路解決一切空間幾何問(wèn)題的核心目標(biāo)是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。1. 線線平行 （是線面平行和面面平行的基礎(chǔ) ）的證明思路：（1）找到或者構(gòu)建含兩線的平行四邊形（2）看兩直線是否構(gòu)成一個(gè)三角形的中位線或者等分線的關(guān)系（3）垂直于同一平面的兩直線平行。即：若a, b則 a / b .（4）平行于同一直線的兩直線平行。即：若a / b,b / c則 a / c（ 5）線面平行性質(zhì)得到線線平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和已知平面相交， 那么這條直線和交線平行。 即：若 a /, a, 且b,則 a / b .（6）面面平行性質(zhì)得到線線平行

2、：兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行。即：若/且a,b,則 a / b（7）如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行。即若a /, a /,且b,則 a / b 。2.線面平行的證明思路：（ 1）定義：若一條直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行（不常用）。（ 2）判定定理：在平面內(nèi)找到一條和已知直線（在平面外）平行的直線。即：若 a,b, 且 a / b,則 a /（3）由面面平行得到的線面平行：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即：若/且 a,則 a /。例見(jiàn) T9 山東 12 年高考學(xué)習(xí)必備歡迎下載（4）如果一個(gè)平面和平面外的

3、一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若, a, a,則 a /。（ 5）如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面 ( 或在這個(gè)平面內(nèi) ) ，即若 ab, a,b ( 或 b )（ 6）兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若 ,a ，a ，a，則 .（ 7）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若 a,b ，b a，則 b.（ 8）在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若A ，B ，A 、B在同側(cè)，且 A、B 到等距，則 AB .3.

4、面面平行的證明思路 ：（1）定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn).（不常用）（ 2）判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若 a,b ，ab=P,a,b,則 .（ 3）垂直于同一直線的兩平面平行 .即若 a,a,則.（ 4）平行于同一平面的兩平面平行 .即若 ,則.（ 5）一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若 a,b ,c,d ,ab=P,ac,bd,則 .4.線線垂直（是線面垂直和面面垂直的基礎(chǔ)）的證明思路：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）勾股定理（ 2）等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（ 3

5、) 矩形（正方形）臨邊，菱形（正方形）對(duì)角線相互垂直（4)線面垂直性質(zhì)（ a, bab ）（ 5）定義：若兩直線成 90°角，則這兩直線互相垂直 .（ 6）一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若 bc,ab,則 ac（ 7）三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 .（ 8）如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直 .即若 a ,b,則 ab.（ 9）三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若 ,， ,且=a,=b,=c，則 ab,bc,ca.例見(jiàn) T8 陜西 12 年文， T14 安徽 1

6、2 年文5.線面垂直的證明思路：（1）判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。即：若m，n，m n=A ，l m,ln,則 l （2)找一個(gè)面或者線的平行面或者線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化：, a或 a b, ab（3）面面垂直性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。即：學(xué)習(xí)必備歡迎下載,b, a, aba（ 4）定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直 .（不常用）（ 5）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面 .即若 la,a,則 l.（ 6）一條直線垂直于兩個(gè)

7、平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若 ,l，則 l .（ 7）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若 ,且 a=,則 a.6.面面垂直的證明思路：（ 1）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即： a, a（ 2）定義法（二面角是直角）：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即：a90（ 3）一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。即：若，則 例見(jiàn) T6 天津 12 年文科7.求角：一作二證三計(jì)算（ 1）線線角（異面直線所成角）轉(zhuǎn)化成相交直線，并且交點(diǎn)往往取其中一條直線的端點(diǎn)或中點(diǎn)（ 2）線面角射影轉(zhuǎn)換法：做垂線、找射影，求夾角學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 3）二面角定義法：在兩平面內(nèi)分別做交線的垂線，解三角形、三垂線法垂面法8.求體積：例見(jiàn)T8 陜西 12 文， T10 湖南 12 文， T11 廣東 12 文9.折疊：例見(jiàn) T13 北京 12 文10.最值 :例見(jiàn)福建 12 文11.交點(diǎn)與交線問(wèn)題 :1）線面交點(diǎn)：求直線a 與平面的交點(diǎn)，可通過(guò)直線a 做一個(gè)平面，且與的交線記為b,則a 與b 的交點(diǎn)即為直線a 與平面的交點(diǎn)2）面面交線：在兩個(gè)平面內(nèi)找到兩個(gè)公共點(diǎn)，連線即為交線若在