微積分及其應(yīng)用第二章習(xí)題解答

1、練習(xí)2.11 對于任意正數(shù)，分析當(dāng)n（或x）滿足什么條件時下列不等成立.（1）；（2）.解：（1）因若要，即只需就能滿足條件。（2）若要只需.2設(shè)，求，.解 不存在。 不存在. 3指出下列函數(shù)在什么極限變量過程中是無窮小，在什么極限變量過程中是無窮大.（1）；（2）；（3）解：（1）易見故或時，函數(shù)為無窮小. 故時，函數(shù)為無窮大.（2）易見故，時函數(shù)為無窮小.（3）故時函數(shù)為無窮小.4說明當(dāng)時不是無窮大.解 不是無窮大.易見令但是習(xí)題2.21計算下列函數(shù)在點(diǎn)處的左右極限與極限.解 由于 故 不存在.2計算下列極限.（1）； （2）；解 （1）由于對任意有故 又由于 故有（2）易見且 故3證明的

2、極限存在，并求.證明 先證明數(shù)列有界.用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時， 假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即則當(dāng)n=k+1時，即證數(shù)列有界. 下證數(shù)列單調(diào).用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時，由于則假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即則當(dāng)n=k+1時，即證對所有的n數(shù)列都是單調(diào)的， 由單調(diào)有界數(shù)列必收斂，可知存在，不妨設(shè)為A.對兩端求極限，可得即解方程得或（舍去），故習(xí)題2.31計算下列極限.（1）；（2）；（3）；（4）.解 （1）由于 故 （2） 由于 故 （3）由于 故 2計算下列極限.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9），其中；（10）.解 （1）由于是個有界量，故（2）由于（3

3、）（4） （5）（6）只需計算且由等價無窮小代換知當(dāng)則 故 （7） （8）令則且故(9)由于故 （10） 3計算下列極限.（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；(7) .解 （1）當(dāng)利用無窮小代換可知（2）當(dāng)故 極限不存在.（3）當(dāng)且則 （4） （5）當(dāng)則（6）當(dāng)則（7）當(dāng)則4根據(jù)極限等式確定其中參數(shù).（1），求A，k；（2），求a，b；（3）若，求a；（4）若，求a，b；（5），求a，b；（6），求a，b；（7），求a，b.解 （1） 則即再代入上式可得（2）由于所以即（3）由于 故 即 (4) 由于所以即故 （5）由于解得代入原式得 解得（6）由于.5 根據(jù)等價無窮小關(guān)系確定參

4、數(shù).（1）當(dāng)時，求a.（2）當(dāng)時，求k.（3）當(dāng)時，求.（4）當(dāng)時，求k.解 （1）由于時，故(2) 當(dāng) (3) 當(dāng)時, 故(4) 當(dāng)時,故 習(xí)題2.41利用函數(shù)連續(xù)性確定參數(shù).（1）在處連續(xù)，求A.（2）已知函數(shù)連續(xù)，求參數(shù)k.（3）在上連續(xù)，求a.（4）已知函數(shù)連續(xù)，求參數(shù)a,b.解 (1) 要使在處連續(xù)，則又由于從而(2) 由于是個分段函數(shù)，要使連續(xù)，只需證明在處連續(xù)，即又由于故 (3) 由于是個分段函數(shù)，要使連續(xù)，只需證明在處連續(xù)，即又由于故 (4) 由于是個分段函數(shù)，要使連續(xù)，只需證明在處連續(xù)，即又由于故 2尋找下列函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，并修改或補(bǔ)充間斷點(diǎn)處函數(shù)值使其連續(xù).（1）； （2

5、）；（3）；（4）.解 (1) 易見僅在處無定義，故為函數(shù)的間斷點(diǎn)，且 則為可去間斷點(diǎn)，故只需令，則在處連續(xù).(2) 由于且由于在處極限不存在，故不是可去間斷點(diǎn)；由于在處故是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，可令即可使函數(shù)在處連續(xù),由于在處極限不存在，故不是可去間斷點(diǎn).(3)由于，函數(shù)僅在處沒有定義，且故只需令即可使函數(shù)在處連續(xù).(4) 由于，函數(shù)僅在處沒有定義，且故只需令即可使函數(shù)在處連續(xù).3計算下列極限： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）；（7）；解 (1) (2) 令則 則(3) (4) (5) (6) (7) 4 證明方程有非零根.證明，令易見在區(qū)間上連續(xù)，且則由根值存在定理可知存在

6、使得即證方程有非零根5 證明方程至少有一個正根.證明 令易見在區(qū)間上連續(xù)，且則由根值存在定理可知存在使得即證方程至少有一個正根.復(fù)習(xí)題二12已知，證明.證明：由于，即對任給的當(dāng)時，有則對上面給定的當(dāng)時，有即證.3設(shè)， 在極限過程下，當(dāng)a,b為何值時為無窮??？a,b為何值時為無窮大？ 解 由于要使 當(dāng)且僅當(dāng)要使 當(dāng)且僅當(dāng)？4* 設(shè)，計算.5設(shè)，計算.解 由于，從而則且由夾逼準(zhǔn)則可得6計算下列極限：（1）；（2）；(3)* ；(4)* ；（5）；（6）；（7）；（8）；(9)* ；（10）.解 (1) 由于對任意的都有,即時為有界量，(2) 由于對任意的都有為有界量，故(3) 由于對任意的都有為有

7、界量,則從而(4) (5) (6) 由于且當(dāng)為有界量，則從而太難（7）由于極限是個型，由羅必塔法則可得（8） (9)* （10）由于極限是個型，由羅必塔法則可得7已知，求.解 由題意可得 從而可得8已知，求c.解 由于則9設(shè)，求.解 由可得當(dāng)時則10討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若函數(shù)有間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)類型.（1）；（2）.解 （1）當(dāng)時當(dāng)時即 易見故是跳躍間斷點(diǎn)，且故函數(shù)在時連續(xù).解 （2）當(dāng)時，當(dāng)時，即 易見為函數(shù)的分段點(diǎn)，但則函數(shù)在時連續(xù)，故函數(shù)是個連續(xù)函數(shù).11* 設(shè)在上連續(xù)，且.試證至少存在一點(diǎn)，使證明 令易見在上連續(xù)，并且則由連續(xù)函數(shù)的介值定理可得至少存在一點(diǎn)，使即12* 證明三次方程至少有一個實(shí)根.13證明方程至少有一個小于1的正根. 證明 令 易見在上連續(xù)，并且從而由連續(xù)函數(shù)