華師大八年級數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 相似三角形

1、. 暑假專題相似三角形重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 通過探究兩個(gè)三角形相似的識別方法，加強(qiáng)合情推理才能的培養(yǎng)，感受發(fā)現(xiàn)的樂趣，逐步掌握說理的根本方法。 2. 通過相似三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)，豐富與角、面積等相關(guān)的知識方法，開闊研究角、面積等問題的視野?！局R縱橫】 1. 相似三角形 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形similar triangles。 議一議： 1兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？ 2兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？兩個(gè)等腰直角三角形呢？為什么？ 3兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？兩個(gè)等邊三角形呢？為什么？ 2. 相似比 相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。 說明：相似比要注意順序：如ABCA&#

2、39;B'C'的相似比，而A'B'C'ABC的相似比，這時(shí)。 3. 相似三角形的識別 1假如一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。 2假如一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。 3假如一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似?！镜湫屠}】 例1. 如圖，123，圖中相似三角形有 對。 答：4對 例2. 如圖，：ABC、DEF，其中A50°，B60°，C70°，D40°，E60°，F(xiàn)80

3、76;，能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，使ABC所分成的每個(gè)三角形與DEF所分成的每個(gè)三角形分別對應(yīng)相似？ 假如可能，請?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；假設(shè)不能，說明理由。 解： 例3. 2004·廣東省如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延長線上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。 1求證：CDEFAE； 2當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC2CD時(shí)，求證：FBCF。 命題意圖：相似三角形的識別、特征在解題中的應(yīng)用。 解析：由ABDC得：FDCE，EAFD CDEFAE ，又E為AD中點(diǎn) DEAE，從而CDFA，結(jié)合條件，易證 BFBC，F(xiàn)BCF 解：1四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD FDC

4、E，EAFD CDEFAE 2E是AD中點(diǎn)，DEAE 由1得： CDAF 四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD ABCDAF BF2CD，又BC2CD BCBF FBCF 思路探究：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。 例4. 在梯形ABCD中，A90°，ADBC，點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動， 1是否存在一個(gè)時(shí)刻使ADPBCP； 2假設(shè)AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，那么AP的長度為多少？ 解：1存在 2假設(shè)ADPBCP，那么 設(shè) 或 或 或 AP長度為4或6 例5. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE2：3，連結(jié)A

5、E、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，那么 A. 4：10：25B. 4：9：25 C. 2：3：5D. 2：5：252001年黑龍江省中考題 思路點(diǎn)撥：運(yùn)用與面積相關(guān)知識，把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。 選A 例6. 如圖，有一批形狀大小一樣的不銹鋼片，呈直角三角形，C90°，AB5cm，BC3cm，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。 思路點(diǎn)撥：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出。 解：如圖甲，設(shè)正方形EFGH邊長為x，那么AC4 而CD×

6、;ABAC×BC，得 又CEHCAB，得 于是，解得： 如圖乙，設(shè)正方形CFGH的邊長為y cm 由GHAC，得： 即，解得： 即應(yīng)如圖乙那樣裁剪，這時(shí)正方形面積達(dá)最大，它的邊長為 例7. 如圖，直角梯形ABCD中，AB90°，設(shè)，作DEDC，DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC。 1試判斷DCE與ADE、DCE與BCE是否分別一定相似？假設(shè)相似，請加以證明。 2假如不一定相似，請指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？ 解：1DCE與ADE一定相似，DCE與BCE不一定相似，分別延長BA、CD交于F點(diǎn) 由FADFBC，得： 于是FDDC，從而可證FEDCED 得AEDDEC 所以D

7、ECAED 2作CGAD交AD延長線于G， 由AEDGDC，有，得 要使DCE與BCE相似，那么一定成立 即，得 也就是當(dāng)時(shí)，DCE與BCE一定相似?！灸M試題】答題時(shí)間：40分鐘 1. 如圖，DEBC，CD和BE相交于O，假設(shè)，那么AD：DB_。 2. 如圖，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，假設(shè)ABC的面積為S，那么ADE的面積為_。 3. 假設(shè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，那么此正方形的邊長為_。2000年武漢市中考題 4. 閱讀下面的短文，并解答以下問題： 我們把相似形的概念推廣到空間：假如兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀

8、完全一樣，就把它們叫做相似體。 如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比：，設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的外表積，那么，又設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的體積，那么。 1以下幾何體中，一定屬于相似體的是 A. 兩個(gè)球體B. 兩個(gè)圓錐體 C. 兩個(gè)圓柱體D. 兩個(gè)長方體 2請歸納出相似體的3條主要性質(zhì)： 相似體的一切對應(yīng)線段或弧長的比等于_； 相似體外表積的比等于_； 相似體體積的比等于_。2001年江蘇省泰州市中考題 5. 如圖，鐵道口的欄桿短臂長1 m，長臂長16 m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5 m時(shí)，長臂端點(diǎn)升高 A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD.

9、 10.5 m 6. 如圖，D為ABC的邊AC上的一點(diǎn)，DBCA，BCD與ABC的面積的比是2：3，那么CD的長是 A. B. C. D. 7. 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AEBE，那么有 A. AEDBEDB. AEDCBD C. AEDABDD. BADBCD2001年杭州市中考題 8. 如圖，ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，那么等于 A. 1：9：36B. 1：4：9 C. 1：8：27D. 1：8：36 9. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，ACDB，求證： 10. 如圖，ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，DE與AB

10、相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F。 1求證：ABCFCD； 2假設(shè)，求DE的長。2000年河北省中考題 11. 閱讀并解答問題。 在給定的銳角ABC中，求作一個(gè)正方形DEFG，使D、E落在BC上，F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上，作法如下： 第一步：畫一個(gè)有3個(gè)頂點(diǎn)落在ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。 第二步：連結(jié)BF'，并延長交AC于點(diǎn)F； 第三步：過F點(diǎn)作FEBC于E； 第四步：過F點(diǎn)作FGBC交AB于點(diǎn)G； 第五步：過G點(diǎn)作GDBC于點(diǎn)D。 四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG，為正方形。 問題： 1證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形；

11、2在ABC中，假如，BAC75°，求上述正方形DEFG的邊長。江蘇省揚(yáng)州市中考題 12. 如圖，在ABC中，在BC上有100個(gè)不同的點(diǎn)，過這100個(gè)點(diǎn)分別作ABC的內(nèi)接矩形，設(shè)每個(gè)內(nèi)接矩形的周長分別為，那么_。安徽省競賽題 13. 如圖，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，假設(shè)ADE、EFG、GIC的面積分別為，那么ABC的面積為_。 14. 如圖，一個(gè)邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個(gè)正方形的面積是_厘米2。第11屆“希望杯邀請賽試題 15. 如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，那么原矩形的長與寬的比為 A. 2：1B. C. D. 1：1 16. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，那么AE：ED等于 A. 2B. C. D. 【試題答案】 1. 3：1 2. 3. 或 4. 1A；2相似比；相似比的平方；相似比的立方 5. C6. C7. B8. C 9. 由ABCDCA，得 10. 1略 2過A作AMBC于M 由ABCFCD，得： 又，得 DEAM， ，得 11. 1易證明四邊形EFGD為矩形，由，而，