拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

1、4.11 4.11 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點：重點：從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換 難點：難點：判斷函數(shù)傅氏變換的存在判斷函數(shù)傅氏變換的存在引言引言從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換 演演變變?yōu)闉槔鲜献冏儞Q換作作傅傅氏氏變變換換對對其其乘乘以以一一個個衰衰減減因因子子可可積積條條件件不不滿滿足足絕絕對對是是針針對對時時我我們們在在引引出出拉拉氏氏變變換換 , , , tetf )()()(jstsFtuetfFtfL 由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系右右半半平

2、平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng) , 00s 左左半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng)s,00 收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當(dāng)當(dāng),00 一、引言一、引言傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯(lián)系傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯(lián)系 tjs 雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換 tjs 傅氏變換傅氏變換 tjs0 單邊拉氏變換單邊拉氏變換0)(0 tft當(dāng)當(dāng)0 )( jsetutfFtfLt 1.1.O j 平平面面右右半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng) , 00s )0()()( tuetft ssF1 : 其其拉拉氏氏變變換換。求求不不存存在在，不不能能由由)()()( FsFF : 收斂域收

3、斂域Ot tuet 2.2.0 j Ot tuet 平平面面左左半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng)s,00 )0()( tuetft衰減函數(shù)，傅氏變換是衰減函數(shù)，傅氏變換是存在存在: : 1ssF 1)( jjF :收收斂斂域域 jssFjF )( 3.3.收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當(dāng)當(dāng),00 。異函數(shù)項異函數(shù)項因為傅氏變換中包括奇因為傅氏變換中包括奇關(guān)系關(guān)系之間不再是簡單的置換之間不再是簡單的置換與與是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1ssF jjF1)()( 例如：例如：NnnnajsKsFsF1)()( 若收斂坐標(biāo)若收斂坐標(biāo)0 0=0=0，F(xiàn)(sF(s) )

4、的收斂域為的收斂域為ReRes s0 0，F(xiàn)(sF(s) )的收斂域不包含的收斂域不包含jj軸，故軸，故F(sF(s) )在在jj軸上不收斂。若令軸上不收斂。若令s=js=j，則則F(sF(s) )不等于不等于F(jF(j) )。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為為m m個一階極點個一階極點jji i(i(i=1, 2, =1, 2, , m), m)。將。將F(sF(s) )展開為部分分式，展開為部分分式，表示為表示為 式中，式中，F(xiàn) Fa a(s(s) )表示左半平面極點對應(yīng)的分式。令表示左半平面極點對應(yīng)的分式。令F Fa a(s(s) )的原函數(shù)的原

5、函數(shù)為為f fa a(t(t) )，則，則F(sF(s) )的原函數(shù)為的原函數(shù)為 )()()()()()(11tftfatueKtfsFLtfMNntjnanNntjnMtueKtfn1)()( 的傅里葉變換為的傅里葉變換為)(tf)()()()(tfFtfFtfFjFMajsaasFtfF)()(由于由于 是是 的原函數(shù)，并且的原函數(shù)，并且 的極點在左半面，故的極點在左半面，故)(tfa)(sFa)(sFa其中其中根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于(t)的傅里的傅里葉變換為葉變換為， 因此得因此得 j1)()()()(1nNnnjsKsF

6、jFNnnnnMjjktfF11)()(NnnnNnnnjsaNnnnnjsaKjjKsFjjKsFjF111)()(1)()()(例例 : :已知已知f(tf(t)=e)=e-2t-2tcos tcos t(t(t) )的單邊拉氏變換為的單邊拉氏變換為 1)2(2)(2sssF求求 傅里葉變換傅里葉變換)(tf).(jF解解 F F（S S）的收斂坐標(biāo)）的收斂坐標(biāo) ，即，即 。因此。因此00201)2(2)(2jjjF另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于21)(2jteFt所以有所以有1)2(22) 1(12) 1(121cos)()(22jjjj

7、tteFjFt思考題思考題 根據(jù)函數(shù)拉氏變換，如何判斷它的傅氏變根據(jù)函數(shù)拉氏變換，如何判斷它的傅氏變 換是否存在？換是否存在？ 本章小結(jié)本章小結(jié)例例1 1 即單位階躍信號的初始值為即單位階躍信號的初始值為1?)0(,1)(:fssF求已知1)(lim)(lim)0(0 ssFtffst例例2 2?)0(,12)( fsssF求求 21212 ssssF sssksssFfss2122lim)(lim)0(2112lim12lim sssss2)0( f 項項中有中有ttf 2初值定理證明初值定理證明 ttfLfssFd)(d0)(tettfstdd)(d0 tettftettfststdd)(

8、ddd)(d000 tettffssFstdd)(d0)(0 0dlimd)(ddd)(dlim00 tettftettfstssts由原函數(shù)微分定理可知由原函數(shù)微分定理可知 tettfffstdd)(d000 時移特性例題時移特性例題 22211111ssssssF 。求求已知已知)(,4cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsFsess 112【例【例1】 sFttutf求求,1 已知已知【例【例2 2】 tttttfsincos4sinsin24coscos2 已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程

9、。描述此系統(tǒng)的微分方程。 313111 ssssH 31 ssEsRsH sEsRssR 3)()(3d)(dtetrttr sE sR s13(1)在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換 )(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs 24222)( ssssEsRsH則則)(4)(2)(2tuettht )()()(tethtrzs (2)()()( sEsHsRZS 或或)1(1222)( ssssssRZS1226)1)(2()12(2 sssss)(6)(2)(2tuetuetrttZS 。和零狀態(tài)響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

10、，求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，激勵為，激勵為已知系統(tǒng)已知系統(tǒng))( )()()1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(d2222trthtuetettettetrttrttrzst 例例 題題 211 sssG sG sF sY sX k當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù)k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？ skYsFsX 加法器輸出端的信號加法器輸出端的信號 sXsGsY 輸出信號輸出信號如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) sYskGsFsG sFsYsH 的的極極點點sHkp 49212, 1則反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為則反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 04921049

11、OR 049kkk時時系系統(tǒng)統(tǒng)是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的。即即可可得得2, 2 kk為使極點均在為使極點均在s左半平面，必須左半平面，必須 skGsG 1kss 212本章小結(jié)本章小結(jié) 1. 1.拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應(yīng)用變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應(yīng)用中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進(jìn)行的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進(jìn)行傅里葉的分析開始的。傅里葉的分析開始的。2.2.拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的關(guān)系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中關(guān)系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。就變換的性質(zhì)而言，大部分與傅氏變換是的應(yīng)用。就變換的性質(zhì)而言，大部分與傅氏變換是相似的（或本質(zhì)上是相一致的）但也有不同的新特相似的（或本質(zhì)上是相一致的）但也有不同的新特點，如初、終值定理。點，如初、終值