雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)低通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。2、掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)高通和帶通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。3、進(jìn)一步了解數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率響應(yīng)特性。二、實(shí)驗(yàn)原理與計(jì)算方法1、雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR低通數(shù)字濾波器的基本原理和算法雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，采用了二次映射的方法，就是先將整個(gè)s平面壓縮到si平面的一個(gè)jtjt的橫形條帶范圍內(nèi)，然后再將這個(gè)條帶映射到z平面上，就能建立s平面到z平面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于低通數(shù)字濾波器，映射關(guān)系為121z21zs1T1z1T1z其中T為抽樣周期。用雙線性變換法設(shè)計(jì)低通IIR數(shù)

2、字濾波器的基本步驟，首先根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定相應(yīng)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s),再應(yīng)用(1)式得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)H(z)Ha(s)sN上(2)T1z通常可以給定的參數(shù)為：低通數(shù)字濾波器通帶邊界頻率1P2fp、阻帶邊界頻率1pp字角頻率的關(guān)系為線性關(guān)系1s2fs和對(duì)應(yīng)的通帶衰減函數(shù)p、阻帶衰減函數(shù)sos1平面中的模寸角頻率1與數(shù)1T,在計(jì)算模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)s和傳遞函數(shù)Ha(s)之前，應(yīng)作預(yù)畸變處理21T22fTtan-tanT2T2模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)si和傳遞函數(shù)Ha(s)的計(jì)算方法與沖激響應(yīng)不變法相同,可以采用Butterworth逼近或Chebyshev逼近。2、雙線

3、性變換法設(shè)計(jì)IIR高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的基本原理和算法由于雙線性變換法獲得的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性中不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，因此可以適用于高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)通常要借助于模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)，由原型低通濾波器到其他形式(高通、帶通、帶阻)IIR數(shù)字濾波器的頻帶變換有模擬頻帶變換法和數(shù)字頻帶變換法。(1)模擬頻帶變換法首先將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)要求，根據(jù)這種要求用某種逼近設(shè)計(jì)出原型的低通模擬濾波器(LPAF),計(jì)算出模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)S和傳遞函數(shù)Ha(s),再按照雙線性變換的變換關(guān)系，將模擬濾波器的傳遞函

4、數(shù)Ha轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)。表8-1中列出了將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求直接轉(zhuǎn)換為對(duì)一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)要求的頻率預(yù)畸變校正關(guān)系和轉(zhuǎn)換公式。表8-1雙線性變換和頻率預(yù)校正的計(jì)算公式變換類(lèi)型變換關(guān)系頻率預(yù)校正備注低通變換1zs1z2+tanT22fT其中，T為抽樣周期，f為模擬頻率中心頻率sin(12)sin1sin2其中，1,2分別為數(shù)字帶通濾波器通帶的上下邊界角頻率，或數(shù)字帶阻濾波器阻帶的上下邊界角頻率。高通變換1zs1z2t_pp-tanpT2pT1s2stan2帶通變換dc212zcos0zs221zcos0cos2psin2cosocossssins

5、帶阻變換1z2s212zcos0zsin2cos0cos2sinsQscos0coss例：數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)首先將給定的數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)根據(jù)公式轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，利用cheb1ord(Wp,Ws,ap,as,'s')函數(shù)求出chebyshev模擬低通濾波器的階數(shù)N,再利用cheb1ap(N,ap)函數(shù)求出模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha的零極點(diǎn)，zp2tf(z,p,k)函數(shù)將零極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)；然后利用lp2hp由模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，bilinear函數(shù)則用于實(shí)現(xiàn)雙線性變換法由模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)計(jì)算數(shù)字?jǐn)?shù)字

6、帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)。(2)數(shù)字頻帶變換法首先將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)要求，用雙線性變換法將原型的低通模擬濾波器(LPAF映射為低通數(shù)字濾波器，再將數(shù)字低通濾波器根據(jù)相應(yīng)的變換公式經(jīng)頻帶變換到各型數(shù)字濾波器。例：數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)bhp,ahp=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)用來(lái)實(shí)現(xiàn)從數(shù)字低通濾波器得到數(shù)字高通濾波器的有理函數(shù)。%數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)>>wp=*pi;ws=*pi;Rp=1;As=15;%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)>>T=1;Fs=1/T;Wp=(2/T)*tan(wp/2

7、);=(2/T)*tan(ws/2);> >cs,cd=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As);%Chebyshev模擬濾波器> >blp,alp=bilinear(cs,cd,Fs)%雙線性變換> >wphp=*pi;%數(shù)字高通濾波器截止頻率%低通高通頻帶變換> >alpha=-(cos(wplp+wphp)/2)/(cos(wplp+wphp)/2)>>Nz=-alpha,1;Dz=1,alpha;> >bhp,ahp=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)%數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)(3)IIR數(shù)字濾波

8、器的設(shè)計(jì)可利用MATLAB提供的函數(shù)直接設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。函數(shù)buttord和cheb1ord用來(lái)根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)求出濾波器的階數(shù)N和邊界頻率wn，butter和cheby1則根據(jù)階數(shù)和邊界頻率設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。輸入的參數(shù)不同則所設(shè)計(jì)的濾波器類(lèi)型不同。N,wn=buttord(wp,ws,Rp,As);N,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,As);b,a=butter(N,wn);b,a=cheby1(N,Rp,wp);三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1) ChebyshevIIR數(shù)字帶通濾波器滿足如下技術(shù)指標(biāo)低阻帶邊界頻率fsi10CHz,高阻帶邊界頻率fsi60CHz,阻帶衰減函數(shù)s18d

9、B低通帶邊界頻率fp1200Hz，高通帶邊界頻率fp2400Hz，通帶波動(dòng)2dB抽樣頻率f2CCCHz,記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N，畫(huà)出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線。A.實(shí)驗(yàn)代碼：fs1=1CC;fs2=6CC;fp1=200;fp2=400;fsa=2000;As=18;Rp=2;%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指T=1./fsaw1=2.*pi.*(fp1./fsa)%Chebyshev擬濾波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa)wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)cosw0=(sin(w1+w2)./(s

10、in(w2)+sin(w1)w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2)%返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率%得系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)%由零極點(diǎn)得系數(shù)%模擬低通到模擬帶通%雙線性變換將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶N,omgn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')z,p,k=cheb1ap(N,Rp)blp,alp=zp2tf(z,p,k);bhp,ahp=lp2bp(blp,alp,w0,bw)bdf,adf=bilinear(bhp,ahp,1)通濾波器BPA

11、,wa=freqs(bhp,alp,fsa);BPD,wd=freqz(bdf,adf,fsa);subplot(2,2,1);plot(abs(BPA);title('模擬帶通濾波器幅頻特性)subplot(2,2,2);plot(angle(BPA);title('模擬帶通濾波器相頻特性)subplot(2,2,3);plot(abs(BPD);title('數(shù)字帶通濾波器幅頻特性)subplot(2,2,4);plot(angle(BPD);title('數(shù)字帶通濾波器相頻特性)實(shí)驗(yàn)截圖：(2)ChebyshevIIR數(shù)字帶阻濾波器滿足如下技術(shù)指標(biāo)低阻帶邊

12、界頻率fsi1000Hz,高阻帶邊界頻率fsi200Hz,阻帶衰減函數(shù)s20dB低通帶邊界頻率fp1500Hz,高通帶邊界頻率fp23000Hz,通帶波動(dòng)3dB抽樣頻率f10kHz，記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N,畫(huà)出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線。實(shí)驗(yàn)代碼：fs1=1000;fs2=2000;fp1=500;fp2=3000;fsa=10000;As=18;Rp=2;%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev 模擬濾波器T=1./fsaw2=2.*pi.*(fp2./fsa)wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*T

13、ws2=2.*pi.*(fs2./fsa)cosw0=(sin(w1+w2)./(sin(w2)+sin(w1)w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2)%返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率n%得系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)%由零極點(diǎn)得系數(shù)%模擬低通到模擬帶通N,omgn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')z,p,k=cheb1ap(N,Rp)blp,alp=zp2tf(z,p,k)bhp,ahp=lp2bs(blp,alp,w0,bw)bdf,adf=bilinear(bhp,ahp,1)%雙線性變換將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器BPA,wa=freqs(bhp,alp,fsa)BPD,wd=freqz(bdf,adf,fsa)subplot(2,2,1);plot(abs(BP