理論分布和抽樣分布

1、第四章第四章 理論分布和抽樣分布理論分布和抽樣分布第一節(jié)第一節(jié) 事件、概率和隨機變量事件、概率和隨機變量 一、事件、概率和隨機變量一、事件、概率和隨機變量 事件事件：在自然界中某一事物可能會出現(xiàn)的每一種情況。：在自然界中某一事物可能會出現(xiàn)的每一種情況。概率概率（probability）：每一個事件出現(xiàn)的可能性。）：每一個事件出現(xiàn)的可能性。隨機事件隨機事件（random event）：若某特定事件只是可）：若某特定事件只是可能發(fā)生的幾種事件中的一種，這種事件就稱為隨機事能發(fā)生的幾種事件中的一種，這種事件就稱為隨機事件。件。表4.1 在相同條件下盲椿象在某棉田危害程度的調(diào)查結(jié)果調(diào)查株數(shù)(n) 5

2、25 50 100 200 500 1000 1500 2000受害株數(shù)(a) 2 12 15 33 72 177 351 525 704棉株受害 0.400 0.480 0.360 0.354 0.352概率(a/n) 0.300 0.330 0.351 0.350隨著隨著n的增加其概率在一個微小的范圍內(nèi)波動的增加其概率在一個微小的范圍內(nèi)波動,或穩(wěn)定在或穩(wěn)定在0.35%左右。統(tǒng)計學上用左右。統(tǒng)計學上用n較大時穩(wěn)定較大時穩(wěn)定的的p近似代表概率。近似代表概率。n 事件發(fā)生的概率是在大量的實驗中觀察到事件發(fā)生的概率是在大量的實驗中觀察到的，觀察次數(shù)越多，對概率的把握就越準確，的，觀察次數(shù)越多，對概

3、率的把握就越準確，越穩(wěn)定。統(tǒng)計學上將通過大量實驗而估計的概越穩(wěn)定。統(tǒng)計學上將通過大量實驗而估計的概率稱為統(tǒng)計概率。率稱為統(tǒng)計概率。以以P（A）= lim a/n表示，表示，OP（A）1。小概率原理小概率原理：若：若P（A）0.05或或0.01，則認為，則認為事件事件A在一次試驗中是不太可能發(fā)生的，稱為在一次試驗中是不太可能發(fā)生的，稱為小概率事件實際不可能發(fā)生的原理。小概率事件實際不可能發(fā)生的原理。必然事件必然事件：在同一組條件下必然會發(fā)生的事件。：在同一組條件下必然會發(fā)生的事件。不可能事件不可能事件：在同一組條件下必然不會發(fā)生的：在同一組條件下必然不會發(fā)生的事件。事件。下一張下一張 主主 頁頁

4、 退退 出出 上一張上一張 二、事件間的關(guān)系二、事件間的關(guān)系 在實際問題中，不只研究一個隨機事件，而在實際問題中，不只研究一個隨機事件，而是要研究多個隨機事件，這些隨機事件之間又是要研究多個隨機事件，這些隨機事件之間又有一定的聯(lián)系。下面說明事件間的幾種主要關(guān)有一定的聯(lián)系。下面說明事件間的幾種主要關(guān)系：系： (1)和事件：事件和事件：事件A和和B至少有一個發(fā)生所構(gòu)至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為事件成的新事件稱為事件A和和B的和事件，記為的和事件，記為A+B。如種子發(fā)芽試驗如種子發(fā)芽試驗(發(fā)芽和不發(fā)芽發(fā)芽和不發(fā)芽)。可以推廣到多?？梢酝茝V到多個事件。個事件。A1+A2+ +An=Ai下一張下一張

5、 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 (2)積事件：事件積事件：事件A和和B同時發(fā)生或相繼發(fā)生同時發(fā)生或相繼發(fā)生所構(gòu)成的新事件，稱為所構(gòu)成的新事件，稱為A和和B的積事件。記作的積事件。記作AB。也可以推廣到多個事件。也可以推廣到多個事件。 (3)互斥事件：事件互斥事件：事件A和和B 不可能同時發(fā)生，不可能同時發(fā)生，即即AB為不可能事件，記作為不可能事件，記作A B=V，稱事件，稱事件A和和B互斥或互不相容。如一袋種子種皮分為黃色互斥或互不相容。如一袋種子種皮分為黃色和白色，和白色，A為取到黃色，為取到黃色，B為取到白色，為取到白色，A和和B不可能同時發(fā)生。也可以推廣到多個事件。不可能同時發(fā)生

6、。也可以推廣到多個事件。 (4)對立事件：事件對立事件：事件A和和B不可能同時發(fā)生，不可能同時發(fā)生，但必發(fā)生其一，即但必發(fā)生其一，即A+B為必然事件為必然事件(A+B=U)，AB為不可能事件為不可能事件(A B=V)，則稱事件，則稱事件B為為A的對的對立事件，并記為立事件，并記為B為為 ，如種皮色（黃或白）。，如種皮色（黃或白）。 (5)完全事件系：若事件完全事件系：若事件A1 、A2 、An兩兩互兩兩互斥，且每次試驗結(jié)果必發(fā)生其一，則稱斥，且每次試驗結(jié)果必發(fā)生其一，則稱A1 、A2 、An為完全事件系。如僅有三類花色，黃、為完全事件系。如僅有三類花色，黃、白、紅，則取一朵花，取到黃、白、紅就

7、構(gòu)成白、紅，則取一朵花，取到黃、白、紅就構(gòu)成完全事件系。完全事件系。下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 A A (6)事件的獨立性：若事件事件的獨立性：若事件A的發(fā)生與否不影的發(fā)生與否不影響事件響事件B發(fā)生的可能性，則稱事件發(fā)生的可能性，則稱事件A和事件和事件B相相互獨立。如事件互獨立。如事件A為花的顏色為黃色，事件為花的顏色為黃色，事件B為為產(chǎn)量高，顯然如果花的顏色與產(chǎn)量無關(guān)，則事產(chǎn)量高，顯然如果花的顏色與產(chǎn)量無關(guān)，則事件件A與事件與事件B相互獨立。相互獨立。 下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 三、計算事件概率的法則三、計算事件概率的法則 (1)互斥事件的加

8、法互斥事件的加法假如互斥事件假如互斥事件A和和B的概率分別為的概率分別為P（A）和）和P（B），則事件），則事件A和和B的和事件的概率等于的和事件的概率等于事件事件A的概率和事件的概率和事件B的概率之和，即：的概率之和，即：P（A+B）=P(A)+P(B)，可推廣到多個事件。，可推廣到多個事件。如一捆花中，紅、黃和白花的概率分別為：如一捆花中，紅、黃和白花的概率分別為：0.2、0.3和和0.5，那么隨機抽取一朵為非白花的概率，那么隨機抽取一朵為非白花的概率為為0.5（=0.2+0.3)?？梢酝茝V到多個事件。可以推廣到多個事件。（2）獨立事件的乘法：）獨立事件的乘法：A和和B獨立，出現(xiàn)獨立，出現(xiàn)

9、的概率分別為：的概率分別為：P（A)和和P（B），則事件），則事件A和和B同時出現(xiàn)的概率為同時出現(xiàn)的概率為P（AB）P（A）P（B）。）?？赏茝V到可推廣到n個事件。如個事件。如:下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 有有4粒種子，其中粒種子，其中3粒為黃色，粒為黃色，1粒為白色，采用粒為白色，采用復(fù)置抽樣。求（復(fù)置抽樣。求（1）第一次抽到黃色，第二次抽）第一次抽到黃色，第二次抽到白色的概率；（到白色的概率；（2）兩次都抽到黃色的概率。）兩次都抽到黃色的概率。P（A）0.75，P（B）0.25（1）0.750.250.1875（2）0.75 0.750.5625（3）對立事件的概率

10、：若事件）對立事件的概率：若事件A的概率為的概率為P（A），那么其對立事件的概率為：），那么其對立事件的概率為：P（）（）1一一P（A）下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 A A（4）完全事件系的概率：）完全事件系的概率：“從從10個數(shù)字中個數(shù)字中隨機抽取一個數(shù)字都可以隨機抽取一個數(shù)字都可以”這樣一個事件是完這樣一個事件是完全事件系，其概率為全事件系，其概率為1。（5）非獨立事件的乘法：如果事件）非獨立事件的乘法：如果事件A和和B是非獨立的，那么事件是非獨立的，那么事件A與與B同時發(fā)生的概率為同時發(fā)生的概率為事件事件A的概率的概率P（A）乘以事件）乘以事件A發(fā)生的情況下發(fā)生的情

11、況下事件事件B的概率的概率P（BA），即：），即：P（AB）P（A）P（BA）例如例如:下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 從從0，1，2,9共共10個數(shù)字中抽一個數(shù)個數(shù)字中抽一個數(shù),是奇數(shù)的概率為是奇數(shù)的概率為:5/10=0.5能被能被3整除的數(shù)的概率為整除的數(shù)的概率為:4/10=0.4既是奇數(shù)又能被既是奇數(shù)又能被3整除的數(shù)的概率整除的數(shù)的概率為為:5/102/5=2/10=0.2四、隨機變量四、隨機變量 隨機變量是指隨機變數(shù)所取的某一個實數(shù)值。隨機變量是指隨機變數(shù)所取的某一個實數(shù)值。作一次試驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)作一次試驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用

12、一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量果都可用一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量y的的取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量y來表示。來表示。 【例】用拋硬幣試驗作例子，硬幣落地后幣【例】用拋硬幣試驗作例子，硬幣落地后幣值面向上用數(shù)值面向上用數(shù)“1”表示，另一面向上用數(shù)表示，另一面向上用數(shù)“0”表表示，把示，把0、1作為變量作為變量y的取值，則的取值，則p(y=1)=0.5,p(y=0)=0.5;下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 【例】【例】 種子發(fā)芽試驗可能結(jié)果只有兩種，即種子發(fā)芽試驗可能結(jié)果只有兩種，即“能發(fā)芽能發(fā)芽”與與“不能發(fā)芽不能發(fā)芽”。 若用變量若用變量y表

13、示試驗的兩種結(jié)果，則可令表示試驗的兩種結(jié)果，則可令y=1表表示示“能發(fā)芽能發(fā)芽”，其概率為，其概率為p，y=0表示表示“不能發(fā)芽不能發(fā)芽”，其概率為，其概率為q, p+q=1, 則則p(y=1)= p, p(y=0)= q=1-p。 【例】【例】 用變量用變量y表示水稻產(chǎn)量表示水稻產(chǎn)量 ，變，變 量量 y 所所 取的值為一個特取的值為一個特定范圍定范圍(a,b)，如大于，如大于500kg的概率為的概率為0.25，大于，大于300kg且等于且等于小于小于500kg的概率為的概率為0.65，等于小于，等于小于300kg為為0.1，y值可以是這值可以是這個范圍內(nèi)的任何實數(shù)，變個范圍內(nèi)的任何實數(shù)，變

14、量量 y 的每個取值范圍都有相應(yīng)的概率，的每個取值范圍都有相應(yīng)的概率，則試驗結(jié)果可表示為則試驗結(jié)果可表示為:p(y300)=0.10, p(300500)=0.25。 如果表示試驗結(jié)果的變量如果表示試驗結(jié)果的變量y，其可能取值可一，其可能取值可一一列出，且以各種確定的概率取這些不同的值一列出，且以各種確定的概率取這些不同的值 ， 則則 稱稱 y 為為 離離 散散 型型 隨隨 機機 變變 量量 ( discrete random variable)； 變量變量 yi y1 y2 y3 yn 概率概率 P(y=yi) p1 p2 p3 pn P(y=yi)也可用也可用f(y)表示表示, 稱概率函數(shù)

15、。稱概率函數(shù)。 下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 五、離散型隨機變量的概率分布五、離散型隨機變量的概率分布 要了解離散型隨機變量要了解離散型隨機變量y的統(tǒng)計規(guī)律，就必的統(tǒng)計規(guī)律，就必須知道它的一切可能值須知道它的一切可能值yi及取每種可能值的概及取每種可能值的概率率pi。 如果我們將離散型隨機變量如果我們將離散型隨機變量y的一切可能取的一切可能取值值yi ( i=1, 2 , )，及其對應(yīng)的概率，及其對應(yīng)的概率pi，記作，記作 P(y=yi)=pi i=1,2, (41) 則稱則稱 （41）式為）式為離散型隨機變量離散型隨機變量y的概率的概率分布或分布分布或分布。常用。常用

16、分分 布布 列列 (distribution series)來表示離散型隨機變量：來表示離散型隨機變量： 下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 y1 y2 yn .p1 p2 pn 顯然離散型隨機變量的概率分布具有顯然離散型隨機變量的概率分布具有pi0和和pi=1這兩個基本性質(zhì)。這兩個基本性質(zhì)。 下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 六、連續(xù)型隨機變量的概率分布六、連續(xù)型隨機變量的概率分布 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 (如產(chǎn)量、株高等如產(chǎn)量、株高等)的概率分布不的概率分布不能用分布列來表示，能用分布列來表示， 因為其可能取的值是不可數(shù)的。因為其可能取的值是不可數(shù)的

17、。我們改用隨機變量我們改用隨機變量y在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率P(ay1)， (df2） (4-27) t分布密度曲線如分布密度曲線如圖圖4-13 所示，其特點是：所示，其特點是： 212)1()2/(2/)1(1)(dfdftdfdfdftf)2/(dfdft下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 圖4-13 不同自由度的t分布密度曲線 1、t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。分布密度曲線。 2、t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在在t0時，分布密度函數(shù)

18、取得最大值。時，分布密度函數(shù)取得最大值。 3、與標準正態(tài)分布曲線相比，、與標準正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。越小這種趨勢越明顯。df越大，越大，t分布越趨近于標準正態(tài)分布。當分布越趨近于標準正態(tài)分布。當n 30時，時，t分布與標分布與標準正態(tài)分布的區(qū)別很?。粶收龖B(tài)分布的區(qū)別很??；n 100時，時，t分布基本與標準分布基本與標準正態(tài)分布相同；正態(tài)分布相同；n時，時，t 分布與標準正態(tài)分布完全分布與標準正態(tài)分布完全一致。一致。下一張下一張 主主 頁頁 退退 出出 上一張上一張 t分布的概率分布函數(shù)為：分布的概率分布函數(shù)為： (4-28) 因而因而t在區(qū)間（在區(qū)間（t1，+）取值的概率）取值的概率右右尾概率為尾概率為1-F