151 二項式定理

1、1.5二項式定理1.5.1二項式定理1掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題(重點)2利用二項展開式求特定項或項的系數(shù)(難點)3二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系(易混點)基礎(chǔ)·初探教材整理二項式定理閱讀教材P30P31“例1”以上部分，完成下列問題1二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)這個公式叫做二項式定理2二項展開式的通項和二項式系數(shù)(1)(ab)n展開式共有n1項，其中Canrbr叫做二項展開式的第r1項(也稱通項)，用Tr1表示，即Tr1Canrbr.(2)C(r0,1,2，n)叫做第r1項的二項式系數(shù)1判斷(正確

2、的打“”，錯誤的打“×”)(1)(ab)n展開式中共有n項()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響()(3)Cankbk是(ab)n展開式中的第k項()(4)(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同()【解析】(1)×因為(ab)n展開式中共有n1項(2)×因為二項式的第k1項Cankbk和(ba)n的展開式的第k1項Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的(3)×因為Cankbk是(ab)n展開式中的第k1項(4)因為(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)都是C.【答案】(1)×(2)×(3

3、)×(4)2(12x)5的展開式的第3項的系數(shù)為_，第3項的二項式系數(shù)為_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440022】【解析】(12x)5的展開式的第3項的系數(shù)為C2240，第3項的二項式系數(shù)為C10.【答案】4010質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型二項式定理的正用、逆用(1)用二項式定理展開5；(2)化簡：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.【精彩點撥】(1)二項式的指數(shù)為5，且為兩項的和，可直接按二項式定理展開；(2)可先把x1看成一個整體，分析結(jié)

4、構(gòu)形式，逆用二項式定理求解【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4·C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.1展開二項式可以按照二項式定理進(jìn)行展開時注意二項式定理的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確理解二項式的特點是展開二項式的前提條件2對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便3對于化簡多個式子的和時，可以考慮二項式定理的逆用對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點，項數(shù)，各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù)再練一題1(1)求4的展開式；(2)化簡：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3

5、·C(3)2·2C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題(1)求二項式6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；(2)求9的展開式中x3的系數(shù)【精彩點撥】利用二項式定理求展開式中的某一項，可以通過二項展開式的通項公式進(jìn)行求解【自主解答】(1)由已知得二項展開式的通項為Tr1C(2)6r·r(1)rC·26r·x3r，T612·x.第6項的二項式系數(shù)為C6，第6項的系數(shù)為C·(1)·

6、212.(2)Tr1Cx9r·r(1)r·C·x92r，92r3，r3，即展開式中第四項含x3，其系數(shù)為(1)3·C84.1二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(k0,1,2，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念2第k1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開式中，第四項是T4C173(2x)3，其二項式系數(shù)是C35，而第四項的系數(shù)是C23280.再練一題2(12x)n的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項【解】T

7、6C(2x)5，T7C(2x)6，依題意有C25C26n8.(12x)n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5C(2x)41 120x4.設(shè)第k1項系數(shù)最大，則有5k6.k5或k6(k0,1,2，8)系數(shù)最大的項為T61 792x5，T71 792x6.探究共研型求展開式中的特定項探究1如何求4展開式中的常數(shù)項【提示】利用二項展開式的通項Cx4r·Cx42r求解，令42r0，則r2，所以4展開式中的常數(shù)項為C6.探究2(ab)(cd)展開式中的每一項是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展開式中的各項都是由ab中的每一項分別乘以cd中的每一項而得到探究3如何求(2x1)3展開式中含x的

8、項？【提示】(2x1)3展開式中含x的項是由x中的x與分別與(2x1)3展開式中常數(shù)項C1及x2項C22x212x2分別相乘再把積相加得x·C·C(2x)2x12x13x.即(2x1)3展開式中含x的項為13x.已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項【精彩點撥】【自主解答】通項公式為：Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6項為常數(shù)項，r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意得，令k(kZ)，則102r3k，即r5k.rZ，k應(yīng)為偶數(shù)，k2,0，2即r2,

9、5,8，所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.1求二項展開式的特定項的常見題型(1)求第k項，TkCank1bk1；(2)求含xk的項(或xpyq的項)；(3)求常數(shù)項；(4)求有理項2求二項展開式的特定項的常用方法(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致再練一題3

10、(1)在(1x3)(1x)10的展開式中，x5的系數(shù)是_(2)若6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440023】【解析】(1)x5應(yīng)是(1x)10中含x5項、含x2項分別與1，x3相乘的結(jié)果，其系數(shù)為CC(1)207.(2)6的展開式的通項是Tk1Cx6k·()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即當(dāng)k2時，Tk1為常數(shù)項，即常數(shù)項是Ca，根據(jù)已知得Ca60，解得a4.【答案】(1)207(2)4構(gòu)建·體系1(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_【解析】x2y7x·(xy7)，其系數(shù)為C，x2y7y·(x2y6)

11、，其系數(shù)為C，x2y7的系數(shù)為CC82820.【答案】202(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.【解析】由二項式展開式得，原式(x1)15x5.【答案】x53在6的展開式中，中間項是_【解析】由n6知中間一項是第4項，因T4C(2x2)3·3C·(1)3·23·x3，所以T4160x3.【答案】160x34在9的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是_，第4項的系數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440024】【解析】Tk1C·(x2)9k·kk·C·x183k，當(dāng)k3時，T43·C·x9x9，所以第