1談?wù)動嬎銠C怎樣解幾何題

1、 談?wù)動嬎銠C怎樣解幾何題 張景中 彭翕成 武漢 華中師范大學(xué)教育信息技術(shù)工程研究中心 430079 近幾年，我們在向中學(xué)老師介紹信息技術(shù)的時候，不少老師對計算機自動解幾何題表示出強烈的興趣，想了解得更多一些。關(guān)于這個問題，筆者曾寫過一本科普讀物（文1），但考慮到該書已經(jīng)脫銷，讀者難以買到；再加上近幾年智能教育軟件又有了新進展，所以很有必要再來談?wù)勥@個問題。認真起來，所謂計算機解幾何題這個說法，其實是有問題的。人是萬物之靈，計算機是人造出來的。計算機并不會解題，是人設(shè)計了一套一套用計算機解題的辦法。計算機只不過是工具，所以應(yīng)當(dāng)是人怎樣用計算機解幾何題。至于自動推理，其實也并不能自動，也是人出了主

2、意推動計算機進行推理，就像自行車不會自己跑路，自來水不會自己到來一樣。不過大家仍然說自行車、自來水，這樣通俗生動。反正心里明白，自行車要人蹬，自來水是水塔水泵壓過來的。1 計算機的基本功能我們?nèi)粝脒\用計算機解題，首先就必須了解計算機的一些基本功能。計算機可供解題使用的基本功能大體上有4類：變量賦值，基本運算，條件選擇，循環(huán)操作。第一，要記得住東西。如果記不住題目，或者是記不住解題的有關(guān)知識和方法，還解什么題呢？光記住還不夠，還要能表達出來。解了題悶在肚里表達不出來，不是白白辛苦一場了嗎？能記住我們要它記住的信息，又能表達出來，這種功能主要通過變量賦值來實現(xiàn)。第二，要會做基本的運算。計算機作計算

3、肯定是不成問題的，否則怎么叫計算機呢？不過我們這里所講的計算，除了包含一般所說的數(shù)值計算，還包括符號計算功能。因為數(shù)值運算通常容易出現(xiàn)誤差，多步推導(dǎo)之后，誤差被積累，可能導(dǎo)致結(jié)果謬以千里。第三，求解問題時，常常要根據(jù)不同的情形使用不同的公式和方法。簡單到如計算一封信的郵費，還分平信、掛號、本地、外地以及是否超重。幾何問題的條件更是千差萬別。計算機可以根據(jù)條件安排，自動區(qū)別不同的情形，執(zhí)行不同的運算，這叫做條件選擇的功能。第四，計算機的另一長處就是不怕枯燥麻煩。一個運算或一套操作，讓它重復(fù)多少次它也不會罷工或埋怨。幾何問題有時要多次檢驗，有時要反復(fù)探索，有時又要作大量演算。只要你一聲令下，它就老

4、老實實干起來，直到完成預(yù)定次數(shù)或達到某個目標。這叫做循環(huán)操作功能。 那么，又如何調(diào)用計算機的這些基本功能來解題呢？鳥有鳥言，獸有獸語。計算機也有它與人交流的語言，就是程序設(shè)計語言。程序設(shè)計語言種類很多，各有特色。常用的如廣泛流行的BASIC語言，適于專業(yè)軟件開發(fā)的C語言，利于網(wǎng)上交流的JAVA語言，長于人工智能程序的LISP語言等等。語言千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，核心語句就是4類：賦值語句、基本運算語句、條件語句和循環(huán)語句，作用無非是用來指揮計算機執(zhí)行4類基本功能。要想充分利用好計算機，首先得懂它的語言。而不管是什么程序設(shè)計語言，熟練運用就好。這里就不多說了。2 幾何解題花樣多幾何題有計算題、

5、證明題，還有作圖題。他們各有特點，又是相通的。兩千年來，人們積累了豐富的解幾何題的經(jīng)驗、技巧和方法。這些有待教給計算機的解題本領(lǐng)，大體可以分為4類：檢驗、搜索、歸約和轉(zhuǎn)換。計算和作圖都要有個道理。講清楚道理就是證明。古希臘人研究幾何最講究證明。中國古代的幾何學(xué)則講究計算，把畫圖和推理都歸結(jié)為計算，叫做寓理于算。計算、作圖和證明，問題的形式不同，卻也有相同之處。3類問題的前提，都可以用幾何圖形來表示。證明題可以轉(zhuǎn)化為計算。要證明兩條線段相等，只要算出兩者的比為1或差為0就行了。要說明計算是準確的，作圖過程是合理的，歸根結(jié)底要證明。3類問題在解決過程中都要推演論證，推演論證所用的規(guī)則又是一致的。這

6、就是3者的相通之處。 要問計算機如何解幾何題，就得先看人如何解幾何題。當(dāng)然，人和人不同，應(yīng)該說要看幾何學(xué)家如何解幾何題。幾何學(xué)家拿到一個幾何題，有哪些高招呢？第一， 要畫畫看看，量量算算，看題目出得對不對，合理不合理。不合理就不做下去了。這叫做檢驗。第二， 根據(jù)條件，參照問題，試著東推推，西試試，推出來的東西有用沒用先記下來。這樣或許就解決了問題。解決不了，再想別的出路。說不定記下來的材料還有用。這叫搜索。第三， 搜索不出來，還可以抓住問題的目標（待證的結(jié)論、待求的幾何量、或待作的點與線），分析計算，化簡條件，消去中間的參數(shù)或幾何元素，力求水落石出。這叫歸約。第四， 當(dāng)上述常規(guī)的方法不能奏效時

7、，人的智慧和靈感就成為取勝的源泉了?；蛴梅醋C法、同一法，或加輔助線，或?qū)Σ糠謭D形作平移旋轉(zhuǎn)，總之是改變問題的形式，以求化繁為簡。這叫轉(zhuǎn)換。計算機是人的學(xué)生。它的本領(lǐng)是人教的。它是笨學(xué)生，不教不會。但它又是好學(xué)生，會牢牢記住你教給它的方法，一絲不茍地按你寫好的程序去做。如果你循循善誘，它又能青出于藍。計算機解題靠人教。人會解一道題，把方法教給計算機，計算機就會解這道題。這道題中的數(shù)字換成字母，成了更一般化的一個題型，把處理這個題型的竅門教給計算機，計算機就會解這個題型的題。人掌握了一類題目的規(guī)律，把這規(guī)律總結(jié)提煉成有章可循的算法，實現(xiàn)為程序，計算機本領(lǐng)就更大，會解這一類題了。人掌握了方法，推演計

8、算論證繁了或者累了，容易走神出錯；甚至?xí)r間長了，所掌握的方法遺忘了都有可能。但計算機一旦學(xué)會一套方法，就不會忘記，也很難出錯，做得飛快。幾千年來，人們解幾何題的招數(shù)，層出不窮，爭奇斗艷。概括起來，不外這4類：檢驗、搜索、歸約和轉(zhuǎn)換。50多年來，數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家費盡心思，循循善誘，把個中奧秘向計算機傳授。使得計算機解幾何題的能力日新月異，大放光彩。除了靈機一動加輔助線，或千變?nèi)f化的問題轉(zhuǎn)換之外，前3種方法計算機都學(xué)得十分出色了。用機器幫助，以至在某種程度上代替學(xué)者研究幾何，幫助以至代替老師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，已經(jīng)從古老的夢想變?yōu)楝F(xiàn)實。3 幾何代數(shù)化的道路在幾何定理機器證明中，采用代數(shù)方法，引進

9、坐標，將幾何定理的敘述用代數(shù)方程的形式重新表達，證明問題就轉(zhuǎn)化成判定是否能從假設(shè)的代數(shù)方程推出結(jié)論的代數(shù)方程的問題。這樣把幾何問題代數(shù)化，自笛卡爾以來已是老生常談，并無實質(zhì)困難。然而代數(shù)化的過程，坐標點的選取和方程引進的次序都可能影響到后續(xù)證明的難度，甚至由于技術(shù)條件的限制，影響到證明是否可能完成。也就是說，幾何問題化成純代數(shù)問題之后，也并不見得一定容易，更不能說就能實現(xiàn)機械化了。這不僅是因為解決這些代數(shù)問題的計算量往往過大，令人望而卻步。還因代表幾何關(guān)系而出現(xiàn)的那些代數(shù)等式或不等式常常雜亂無章，使人手足無措。從這些雜亂無章的代數(shù)關(guān)系式中要找出一條途徑，以達到所要證的結(jié)論，往往要用到高度的技巧

10、。換句話說，即使你不怕計算，會用計算機來算，也不知道從何算起。解幾何題是思維的體操，是十分有吸引力的智力活動之一。圖形的直觀簡明，推理的曲折嚴謹，思路的新穎巧妙，常給人以美的享受。許多青少年數(shù)學(xué)愛好者，往往首先是對幾何有了濃厚的興趣。用計算機證明幾何問題，如果僅限于用平凡而繁瑣的數(shù)值計算代替巧妙而難于入手的綜合推理，則未免大煞風(fēng)景。通過計算機的大量計算判斷命題為真，確實是證明了定理。這是有嚴謹理論基礎(chǔ)的。但這樣的證明寫出來只是一大堆令人眼花繚亂的算式、數(shù)字或符號，既沒有直觀的幾何意義，又難于理解和檢驗，這跟幾何教科書上十行八行就說得明明白白的傳統(tǒng)風(fēng)格的證明大不相同。如果計算機給出的這一堆難于理

11、解和檢驗的數(shù)據(jù)也算是幾何問題的解答，這種解答只能叫做不可讀的解答。 所幸的是，計算機不僅能計算，也能推理。只要我們會教，它也能學(xué)會傳統(tǒng)風(fēng)格的幾何解題方法。我們希望的是，既要用計算機幫助人腦，減輕人的高級腦力勞動，還要在提高效率的同時，尋求傳統(tǒng)幾何的魅力。4 尋求傳統(tǒng)風(fēng)格的幾何證明有經(jīng)驗的老師講新課，總是從具體例子開始。同樣，我們給計算機當(dāng)老師，教它用傳統(tǒng)的風(fēng)格解決幾何問題，也要從具體實例開始，讓它知道傳統(tǒng)風(fēng)格解幾何題是怎么回事。例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，于E，于F，求證AECF。 圖1在初學(xué)幾何證明的時候，老師常常要求學(xué)生畫結(jié)構(gòu)圖，再將結(jié)構(gòu)圖整理成證明，而且每一步的推理都要寫出推理規(guī)

12、則。下面就給出證明例題的結(jié)構(gòu)圖以及整理后的證明過程。0: ABCD是平行四邊形 (已知) 1: BCDA (0和平行四邊形的定義)2: CBD = ADB (0、平行四邊形的定義和平行線的性質(zhì))3: FCBD (已知) 4: BFC = 90° (3和直角的定義)5: AEBD (已知)6: DEA = 90° (5和直角的定義)7: DEA = BFC (4，6)8: BC = DA (0和平行四邊形的定義)9: BCFDAE (2，7，8及AAS)10: CF = AE (9和全等三角形的性質(zhì))讓我們像小孩子拆開玩具那樣，把上述命題和證明分解成一堆“零件”，看看它們是如

13、何組裝起來的。先看看命題部分。它提供了有關(guān)問題的基本信息：1：ABCD是平行四邊形。這為證明中的1、2和8提供了理論依據(jù)。2：，。這為證明中的4和6提供了理論依據(jù)。3：希望證明的結(jié)論：AECF。這是證明中10的內(nèi)容，但不包括后面括號內(nèi)的理由。 這表明，題目所給的信息都出現(xiàn)在證明過程之中了。這是有道理的，證明中不用的信息，肯定是多余的。再看證明部分。它由11行組成，每行的前半段是一個判斷，或者說提供一條信息，后半段，即括號里的部分是這個判斷的理由。如果這個判斷來自命題的條件，則簡單地說“已知”。否則，就指出這條新信息是由前面已經(jīng)得到的哪些信息推出來的，以及能夠進行這一步推理的依據(jù)定理、定義等幾何

14、知識。 可見，我們能寫出上述證明，如果不是死記硬背，那么在頭腦中就一定要有保留并運用兩類資源：命題所包含的幾何信息和一般的幾何知識。如果說解幾何題有時需要靈感，那么這靈感也只能在所掌握的幾何知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生。這就是所謂的熟能生巧。5 自動推理的基本設(shè)想在上述分析的基礎(chǔ)上，我們來描述一下解答產(chǎn)生的過程，以便為計算機提供榜樣。在看到題目之前，已經(jīng)掌握了有關(guān)的一般幾何知識：公理、定理、定義、公式，通稱推理規(guī)則。這是預(yù)先就存在頭腦里的一個知識庫推理規(guī)則庫。讀了題目之后，把題目提供的幾何信息記在頭腦里，這就形成了一個臨時的幾何信息庫。不管你是不是意識到，你頭腦中一定有這兩個庫，否則就很難解題。如果你缺乏

15、幾何知識（沒有推理規(guī)則庫）或記不清題目（沒有幾何信息庫）十之八九不會成功。然后進行思考。這就是將知識庫里的推理規(guī)則應(yīng)用于幾何信息庫里的信息。推出了新信息，就把新信息和它的來歷（用了什么推理規(guī)則和哪些舊的信息都要記下來，不然就成了一筆糊涂帳）加到信息庫里。并不是每條新信息都有用。可是在題目還沒完全解答出來的時候，天曉得哪條信息有用，哪條信息沒有用呢，還是統(tǒng)統(tǒng)記下來為妙。這種得到什么要什么的戰(zhàn)略叫做大英博物館方法，破盆子爛骨頭進了博物館說不定都是寶貝。反復(fù)進行下去，這個過程叫做前推式幾何信息搜索過程。如果你覺得腦子不夠用，記不住越來越多的信息，不妨拿張草稿紙記一下。推理規(guī)則太多了記不住，也可以拿本

16、數(shù)學(xué)手冊或幾何課本作參考。反正這又不是閉卷考試。如果所有的推理規(guī)則都用了，還得不到新的信息，就到此為止，別干下去了。這表明幾何信息庫再也不能擴大了，叫做達到了推理不動點。這時，如果幾何信息庫中包含了所要證的結(jié)論或待求的幾何量，則解題成功。否則解題失敗。通常，我們隨時關(guān)注新信息是不是包含了所要的結(jié)論。結(jié)論一出來，就不再去追求推理不動點。解題成功，就可以從你記下來的信息當(dāng)中提取有關(guān)的東西，組織成一個有條有理的證明或解法。解題失敗，并不意味著幾何信息庫就沒用了。它可以作為進一步思考的基礎(chǔ)。進一步思考的方向有：要不要多學(xué)點幾何知識，增加幾條推理規(guī)則；要不要添加輔助線；要不要用同一法或反證法。 復(fù)雜的推

17、理過程可以化為簡單的機械化的操作，但簡單的操作重復(fù)多次就不再簡單了。要提高效率，就又出現(xiàn)復(fù)雜的問題。許多幾何問題包含了大量的信息。人在進行解題思考時能借助于直覺和經(jīng)驗，抓住最關(guān)鍵的信息得到解答，計算機卻靠機械地搜索，大魚小魚一網(wǎng)打盡，工作量就非同小可了。譬如一個三角形和它的三條高線以及垂心，這是個很簡單的幾何圖形，用計算機搜索幾何信息，居然發(fā)現(xiàn)圖中有105組成比例的線段。計算機在搜索中得到的有用信息很多，沒用的信息就更多。而推理規(guī)則和信息組匹配失敗的情形卻比比皆是。不幸的是，有用、無用的信息都要經(jīng)過檢查才能決定取舍，成功、失敗的匹配都要經(jīng)過操作才能明白。要去掉大量失敗的操作而留下成功的匹配，檢

18、查許多無用的信息而獲取有用的結(jié)論，如同沙里淘金。這種一網(wǎng)打盡、涸澤而漁的搜索推理，并不是什么新的發(fā)現(xiàn)，而是一種古老的機械化推理設(shè)想。在沒有計算機的時代，也只能想想而已。一旦有了計算機，科學(xué)家就希望將之付諸實踐，但困難的是難以將這個一般性的想法用有效的算法和程序?qū)崿F(xiàn)。 用機械的方法解決千變?nèi)f化的幾何問題，曾是歷史上一些卓越的科學(xué)家的美好夢想?，F(xiàn)在，這個夢想已經(jīng)成為生活中的現(xiàn)實。這個成功來之不易，這是許多科學(xué)家多年努力的成果，其中當(dāng)代中國科學(xué)家的工作起了決定性的作用。機器證明經(jīng)過50多年的發(fā)展，已經(jīng)形成一個龐大的系統(tǒng)，在這里就不多說了，也不是一篇文章能夠說清楚的。文末列舉了一些和平面幾何證明相關(guān)且

19、較為通俗的文獻，可供讀者參考。6 自動推理軟件的不斷成熟 從1998年起，幾何專家、數(shù)學(xué)實驗室等具備自動推理功能的數(shù)學(xué)軟件相繼問世，引起了國內(nèi)外各界特別是數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注。在這些研究的基礎(chǔ)上，我國又自主研發(fā)了智能教育平臺超級畫板，這是一個集動態(tài)幾何、符號運算、編程環(huán)境、自動推理等多項功能為一體的綜合性平臺，具有“人性化，智能化，可視化，動態(tài)化和程序化”等特點。下面我們就以例1為例，看看超級畫板的自動解題功能。第一步，根據(jù)題意作好幾何圖形（圖1），由于超級畫板的智能畫筆功能強大，所以畫出該圖形是相當(dāng)容易的。第二步，在推理菜單中點擊“自動推理”；此時，若仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)屏幕底部的狀態(tài)欄在飛快地

20、變化，表示推理正在進行。第三步，我們很快（大概4秒鐘）就能在屏幕左邊看到自動彈出的“推理庫”，超級畫板共推導(dǎo)出194條非平凡信息；根據(jù)我們的需求，點擊“線段相等信息”前的“+”將之展開，找到我們需要的“CFAE”（圖2）。第四步，逐級單擊結(jié)論前的加號，即可看到推導(dǎo)出該結(jié)論的依據(jù)，直到已知條件或者顯然為止（圖3）。 第五步，右鍵點擊結(jié)論“CFAE”，即可自動生成推理過程（圖4）。 圖2 圖3圖4 由于我們并沒有告訴計算機需要求證的結(jié)論，所以計算機就把它能夠推導(dǎo)出來的所有信息一股腦推導(dǎo)出來，供我們選用。能在很短的時間內(nèi)，推導(dǎo)出這么多有用的信息，這正是計算機的威力所在。對比之后，我們會驚奇地發(fā)現(xiàn)，超

21、級畫板推理庫中逐級展開的結(jié)構(gòu)圖（圖3）以及自動生成的證明（圖4）與前面所說的人工的傳統(tǒng)證明幾乎沒有什么差別。在圖3中，我們很容易看出，要證明線段相等，就要先證明線段所在的兩個三角形全等；而證三角形全等，可以采用AAS定理，這就要去找所需要的三個條件；這三個條件是并列關(guān)系，合起來作為三角形全等的理論依據(jù)。而這三個條件的滿足則來源于題目所給的信息。看懂證明之后，你若懶得花時間書寫，則可讓計算機自動完成。使用超級畫板的自動推理功能還有幾點需要說明。（1）當(dāng)我們用鼠標選中某一關(guān)系式時，譬如“DEA = BFC”，則該關(guān)系式所牽涉到的對象變色，并作出相應(yīng)的標注，這非常有助于理解和學(xué)習(xí)；（2）超級畫板的自

22、動推理是相當(dāng)詳盡的，最后的落腳點總是題目已知信息或最基本的一些幾何知識，假如你在逐級展開的過程中，發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)弄懂了題目，那么就可以右鍵點擊結(jié)論，沒有必要將所有的“+”都展開，而此時自動生成的證明也會隨之簡單很多。這就好比通常所說的，高手解題比較簡略，一些較明顯的結(jié)論被一筆帶過。（3）學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程，所以要避免證明中用到學(xué)生還沒有學(xué)過的知識，可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進度，選擇證明過程中可以選用的推理規(guī)則，而這也是可以設(shè)置的。另外，對于牽涉到長度，角度等幾何量的題目，超級畫板還允許人工增添“附加條件”，計算機會根據(jù)圖形條件和添加的附加條件進行推理。例2：如圖5所示，在ABC中，AB=5，BC

23、=13，AD是BC上的高，AD=4，求CD。 圖5 圖6（1）作任意ABC（拖動到上圖近似的形狀，與問題中的數(shù)量關(guān)系保持接近）；自點A作BC邊上的垂線段AD。（2）單擊菜單項“推理|添加附加條件或結(jié)論”，結(jié)果彈出“增加條件或結(jié)論對話框”。如圖6所示，從“條件或結(jié)論”列表中，選擇“線段的值”類型的條件。（3）如圖7所示，在右邊對象列表中依次單擊點A、點B，將其增加到條件對象列表框中；同時在條件編輯框中出現(xiàn)條件的類型和對象。將待增加的條件修改為：(segmentvalue A B 5)。 圖7 圖8（4）單擊【增加已知】按鈕，將條件增加到條件列表框。從對象列表框中，依次單擊點B和點C，然后將待增加的條件修改為：(segmentvalue B C 13)，單擊【增加已知】按鈕，將條