2022年2010年第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案-《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》

1、“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 第一課時 ”教學(xué)設(shè)計一，教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式” 是一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書人教 A 版必修 4 第一章第三節(jié), 其主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式六, 是三角函數(shù)的主要性質(zhì) . 同學(xué)在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一和任意角的三角函數(shù)的定義,這節(jié)課在此基礎(chǔ)上,連續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四. 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”,利用對稱性,讓同學(xué)自主發(fā)覺終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對 稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合,成為一個 整體. 通過簡潔問題的提出，誘導(dǎo)公式的發(fā)覺，問題的解決,體會由未知到已知的轉(zhuǎn)化, 為以后的三角函

2、數(shù)求值， 化簡，簡潔證明以及后續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)等學(xué)問打好基礎(chǔ)誘導(dǎo)公式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0 90角的三角函數(shù)值 . 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,表達了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡潔的“轉(zhuǎn)化” 的數(shù)學(xué)思想方法, 反映了從特殊到一般的歸納思維形式 對培育同學(xué)的創(chuàng)新意識，進展同學(xué)的思維才能, 把握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用 .誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過程仍表達了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系,是定義的延長與應(yīng)用, 在本章中起著承上啟下的作用 .本節(jié)課的重點是誘導(dǎo)公式的探究, 運用誘導(dǎo)公式進行簡潔函數(shù)式的求值與化簡,提高對數(shù)學(xué)學(xué)問之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的熟識,把過去滲 透在詳細

3、數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要的方法以集中的，顯性的形式顯現(xiàn)出來, 使同學(xué)更加明確這些方法,并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用它們.二，教學(xué)問題診斷分析在老師的組織和引導(dǎo)下同學(xué)以自主探究， 動手實踐， 合作溝通的方式進行學(xué)習(xí). 在學(xué)習(xí)中明白和體驗公式的發(fā)生，進展過程,讓同學(xué)領(lǐng)悟到誘導(dǎo)公式是前面三角函數(shù)定義，單位圓對稱性等學(xué)問的連續(xù)和拓展,應(yīng)用遷移規(guī)律,引導(dǎo)同學(xué)聯(lián)想，類比，歸納推導(dǎo)公式 .在教學(xué)中可能會遇到如下幾個問題：可編輯資料 - - - 歡迎下載1. 在利用多媒體引導(dǎo)同學(xué)從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程中,部分同學(xué)認(rèn)為只要 記住公式,會做題就可以,對公式的推導(dǎo)重視不夠. 為了盡量防止這種情形的出現(xiàn),我接受小組爭論制,

4、考慮到同學(xué)的個體差異,把“強” ，“中”，“弱”合理搭配,支配組長監(jiān)管收集爭論的結(jié)果,記錄收集每一階段的過程材料.2. 角 的任意性, 怎樣向同學(xué)交代清晰是這節(jié)課我始終摸索的問題. 為明白決這個問題我自己利用幾何畫板制作教學(xué)課件,通過用角終邊的任意一點的拖動,顯示三角函數(shù)值在各個象限的變化, 讓同學(xué)明白角不局限為第一象限的角, 它具有任意性,從而突破了難點 .3. 公式的記憶也是個難點 . 特殊是十字口訣更是懂得不深. 對于幻燈片中的公式,老師對比幾何畫板課件逐字逐句的分析,讓其明白公式中的角是任意的, 而記憶時將其看成銳角 . 另外,反思學(xué)習(xí)過程時,體會角的終邊的對稱性與三角函數(shù)值之間的關(guān)系

5、也有利于公式的記憶.三，目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)1. 能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式, 會利用誘導(dǎo)公式進行簡潔的三角函數(shù)式的求值與化簡.2. 通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運用.3. 培育同學(xué)由特殊到一般的歸納意識,學(xué)會用聯(lián)系的觀點看待問題.（二）目標(biāo)解析在中學(xué)同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過關(guān)于原點， x 軸以及 y 軸對稱的點的坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系, 并且前面同學(xué)能運用三角函數(shù)的定義和公式一進行三角函數(shù)求值, 但對于任意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系仍不清晰, 或者只有一點模糊的感性熟識 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)：“同學(xué)要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能, 懂得數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì), 明白

6、概念，結(jié)論等產(chǎn)生的背景，應(yīng)用,體會其中所包蘊的數(shù)學(xué)思想和方法,以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用 通過不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動,體驗數(shù)學(xué)發(fā)覺和制造的歷程”所以,依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教材的特點，對本節(jié)課的教學(xué)要求以及同學(xué)的認(rèn)知水平,從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點及教學(xué)目標(biāo), 本節(jié)課接受了 “問題發(fā)覺歸納類比” 的教學(xué)方法和“自主探究小組合作” 的學(xué)習(xí)方式 . 由問題驅(qū)動,可編輯資料 - - - 歡迎下載通過誘導(dǎo)公式二至四的探究, 概括得到誘導(dǎo)公式的特點, 提高對數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的熟識,懂得求任意角三角函數(shù)值所表達出來的化歸思想,培育同學(xué)的探究才能.教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)過程：1利用已有學(xué)問導(dǎo)出新的

7、問題,創(chuàng)設(shè)問題情境,引起同學(xué)學(xué)習(xí)愛好,激發(fā)同學(xué)的求知欲,達到以舊拓新的目的 .2由特例 18030 與 30 36030 與 30, 18030 與30的關(guān)系提出問題,啟示同學(xué)的思維, 引導(dǎo)他們分析角的終邊對稱關(guān)系, 利用定義進行推導(dǎo)得到公式二,再利用多媒體動態(tài)演示,使同學(xué)對“ 為任意角”的熟識自然合理. 之后如法炮制公式三，四,通過聯(lián)想,類比，方法遷移,同學(xué)很輕松的發(fā)覺公式,每小組積極發(fā)言并且通過實物展臺出現(xiàn)溝通,發(fā)覺任意角 與180 , 180 三角函數(shù)值的關(guān)系,體會了從特殊到一般的歸納推理過程,使同學(xué)的思維得到科學(xué)訓(xùn)練,有助于培育同學(xué)的概括才能和創(chuàng)新才能.3. 接受問題設(shè)疑,觀看演示,步

8、步深化,逐層引導(dǎo),探究合作的教學(xué)方法,旨在讓同學(xué)充分感受和懂得學(xué)問的產(chǎn)生和進展過程. 在老師適時的啟示點撥下, 同學(xué)在類比，歸納的過程中積極主動地去探究，發(fā)覺數(shù)學(xué)規(guī)律（公式）,培育同學(xué)的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神 . 通過引導(dǎo)同學(xué)探究并發(fā)覺公式,將發(fā)覺與證明合為一體,表達了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法 .4. 通過例 1 和變式,把誘導(dǎo)公式（一） ，（二），（三），（四）的應(yīng)用進一步拓廣,進展同學(xué)的思維才能和運算才能. 例 2 的擴展讓同學(xué)熟識到公式的有用性和學(xué)習(xí)的必要性 .本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計力求表達“問題性”，“科學(xué)性”與“思想性”,以多媒體為幫忙手段,接受老師為主導(dǎo)同學(xué)為主體的啟示式與探究式相結(jié)合的方法,

9、 使同學(xué)輕盈地學(xué)習(xí) .三，教學(xué)支持條件分析在進行本節(jié)課的教學(xué)時, 同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義， 各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一,這些內(nèi)容是同學(xué)懂得，歸納公式二至公式四的基礎(chǔ), 因此教學(xué)時應(yīng)充分留意利用這一有利條件,引導(dǎo)同學(xué)多進行歸納與概括. 另外,信息技術(shù)的使用也為突破教學(xué)難點， 啟示同學(xué)思維， 增加課堂容量供應(yīng)了有力的支可編輯資料 - - - 歡迎下載持.可編輯資料 - - - 歡迎下載五，教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)問題情境師生活動 ：老師提問,同學(xué)摸索，回答,同學(xué)口述的同時,老師加以引導(dǎo)并用幻燈片出現(xiàn)問題 1：（1） 各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號是什么？（只爭論正弦，余弦，正切）（2） 任意

10、角的三角函數(shù)的定義是什么？（3） 公式一的內(nèi)容與作用是什么？可編輯資料 - - - 歡迎下載問題 2: 已知 sin 301 , 如何求 sin 210 ,sin330,sin150的值. 2可編輯資料 - - - 歡迎下載老師引導(dǎo)： 能否再把 0 360間的角的三角函數(shù),化為我們熟識的0 90間的角的三角函數(shù)問題呢？這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)和爭論這樣的問題.【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)舊知,為新學(xué)問的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 特殊是各象限三角函數(shù)的符號,對于誘導(dǎo)公式記憶起關(guān)鍵作用. 提出的新問題,引導(dǎo)同學(xué)進一步摸索,激起同學(xué)們的愛好 . 二 探究開發(fā)新結(jié)論老師 引導(dǎo)： 為 明白 決以上問題, 我們 接受 各個擊破

11、的方 法 . 第一看21030180 ,假如我們知道一個任意角與 三角函數(shù)值的關(guān)系, 問題就解決了 .探究一： 任意角與 三角函數(shù)值的關(guān)系 .問題 3： 與 角的終邊關(guān)系如何？（互為反向延長線或關(guān)于原點對稱）設(shè) 與 角的終邊分別交單位圓于點 P1,P2,就點 P1 與 P2 位置關(guān)系如何？（關(guān)于原點對稱）設(shè)點 P1 x, y ,那么點 P2 的坐標(biāo)怎樣表示？（ P2 x, y ）sin與 sin , cos與 cos ,tan與 tan 的關(guān)系如何？經(jīng)過探究,歸納成公式可編輯資料 - - - 歡迎下載sin sincos cos tan tansin 210sin30180 sin 30-公式

12、 二1 .2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載【設(shè)計意圖】公式二的三個式子中, sin sin是第一個解決的問可編輯資料 - - - 歡迎下載題,由于方法及思路都是未知的, 所以實行老師引導(dǎo), 師生合作共同完成方法 通過腳手架式的層層提問,引導(dǎo)同學(xué)自主推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二,讓同學(xué)體驗證明猜想的樂趣,凸顯同學(xué)學(xué)習(xí)的主體位置 . 同時,試圖通過環(huán)環(huán)相扣的問題給同學(xué)傳遞“由宏觀到微觀考慮問題”的思維習(xí)慣,從而達到“授人以漁”的目的. 后兩個均由同學(xué)類比爭論完成同學(xué)活動：小組爭論,代表發(fā)言溝通問題 4：公式中的角僅是銳角嗎？【設(shè)計意圖】課前提問的問題是以 30 引入的,之后的爭

13、論只是用代數(shù)方法換成了一般形式的角,有些同學(xué)確定會有這樣的疑問, 所以這個問題的解決好, 就是突破難點的關(guān)鍵 . 引導(dǎo)同學(xué)相互爭論,溝通可以使同學(xué)記憶更深刻.師生活動： 演示幾何畫板課件, 第一作出第一象限的任意角, 之后得到相應(yīng)的三角函數(shù)值, 拖動其終邊上任意點, 再讓同學(xué)觀看每一象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號和它們之間存在的對稱關(guān)系, 從而驗證了猜想, 使同學(xué)更好的懂得了這個公式【設(shè)計意圖】 通過多媒體演示, 發(fā)覺變化規(guī)律, 從而總結(jié)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式類比 第一 個問題的解決 方法 , 我們再 來解 決后面的兩個 問題 . 觀看33036030 ,由公式一知 330 的終邊與 30 的終邊相同,

14、所以我們必需知道一個任意角與- 三角函數(shù)值的關(guān)系 .探究二：任意角與- 三角函數(shù)值的關(guān)系 .問題 5： 與 角的終邊位置關(guān)系如何？ 關(guān)于 x 軸對稱設(shè) 與 角的終邊分別交單位圓于點 P1,P2 點 P1 與 P2 位置關(guān)系如何 關(guān)于 x 軸對稱設(shè)點 P1 x,y ,就點 P 的坐標(biāo)怎樣表示？ P 2 x, y 可編輯資料 - - - 歡迎下載sin與 sin ,cos與 cos ,tan與 tan 關(guān)系如何？ 經(jīng)過探究,歸納成公式sinsin可編輯資料 - - - 歡迎下載coscostantan-公式 三可編輯資料 - - - 歡迎下載sin 330sin36030 sin 30 sin 3

15、01 .2【設(shè)計意圖】通過同學(xué)自主探究與合作溝通, 完成由角的終邊點的對稱性得到公式的過程,充分調(diào)動同學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)同學(xué)的參加，探究和體驗的欲望,讓他們既動腦又動手,讓同學(xué)參加教學(xué)活動. 讓同學(xué)體驗數(shù)與形的關(guān)系,嘗試自主探究的樂趣 .老師引導(dǎo)：那15018030 ,我們須知與 的三角函數(shù)值的關(guān)系, 同學(xué)們連續(xù)發(fā)揮聰慧才智解決它吧。探究三： 與 的三角函數(shù)值的關(guān)系 問題 6： 與 角的終邊位置關(guān)系如何？ 關(guān)于 y 軸對稱設(shè) 與 角的終邊分別交單位圓于點P1, P2 點 P1 與 P2 位置關(guān)系如何？ 關(guān)于 y 軸對稱設(shè)點 P1 x, y ,就點 P 的坐標(biāo)怎樣表示？ P 2- x, y s

16、in與 sin ,cos與 cos ,tan與 tan 關(guān)系如何？經(jīng)過探究,歸納成公式sin sin可編輯資料 - - - 歡迎下載cos costan tan sin150sin18030 sin 30-公式 四12可編輯資料 - - - 歡迎下載【設(shè)計意圖】 與探究二的教法相同,同學(xué)分組爭論,嘗試推導(dǎo)公式,老師巡察,準(zhǔn)時反饋，矯正，講評接受合作學(xué)習(xí)有助于觀看的多種方式的顯現(xiàn),通過同學(xué)多角度的觀看所得到結(jié)論的溝通,讓同學(xué)感受數(shù)學(xué)美和發(fā)覺規(guī)律（公式） 的輕盈,激發(fā)同學(xué)更積極地去查找規(guī)律，熟識規(guī)律. 同時讓同學(xué)感受到只要做個可編輯資料 - - - 歡迎下載有心人,發(fā)覺規(guī)律并非難事 . 三 總結(jié)概

17、括新結(jié)論師生活動： 為了更好的使同學(xué)們把自己的爭論成果記憶牢靠,師生共同大聲朗讀這四組公式 .三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可編輯資料 - - - 歡迎下載公式一： sin2 ksin,cos2kcos,tan2ktankZ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載公式二： sinsin,coscos,tantan.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載公式三： sin sin,coscos,tantan.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載公式四： sin sin,coscos,tantan.可編輯資料 - - - 歡迎下載說

18、明：公式中的指使公式兩邊有意義的任意一個角 問題 7：你能用一句話概括公式一，二，三，四嗎？為了讓同學(xué)更好的記憶公式, 通過幻燈片出現(xiàn), 猜想驗證,假如把角看成銳角,2k, , ,分別位于第一，二，三，四象限,由課前提問各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號,同學(xué)可以試著表達 .師生活動： 總結(jié)概括公式一，二，三，四：可編輯資料 - - - 歡迎下載2k kZ, ,的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一可編輯資料 - - - 歡迎下載個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號 . 公式特點：“函數(shù)名不變,符號看象限”【設(shè)計意圖】逐步懂得十字口訣含義,并且訓(xùn)練同學(xué)的概括才能. 四 鞏固應(yīng)用結(jié)論例 1 求以下三角函數(shù)值

19、：師生活動： 同學(xué)板書,老師巡察,訂正錯誤可編輯資料 - - - 歡迎下載.（1） cos225 .（ 2） sin 1133） sin16 .（4） cos 2040 3可編輯資料 - - - 歡迎下載分析：先將不是 0 2范疇內(nèi)角的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為0 2范疇內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導(dǎo)公式一）或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導(dǎo)公式化到0 范疇內(nèi)角的三角函數(shù)的值 .2解：（1） cos 225cos18045 cos 452 2可編輯資料 - - - 歡迎下載（2） sin 11sin4sin 3 可編輯資料 - - - 歡迎下載3332可編輯資料 - - - 歡迎下載（3） sin16sin

20、16sin5 3sin可編輯資料 - - - 歡迎下載33332（4） cos 2040 cos 2040cos6360120 =cos120cos18060 cos601 2問題 8： 用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),其一般步驟是什么？（同學(xué)大膽說,相互爭論）化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù).化大于 2的正角的三角函數(shù)為 0 2內(nèi)的三角函數(shù).化 0 2內(nèi)的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)可編輯資料 - - - 歡迎下載變式：已知是第三象限的角且口答）sin1 ,求sin ,sin （同學(xué)3可編輯資料 - - - 歡迎下載【設(shè)計意圖】在得到誘導(dǎo)公式后,在此讓同學(xué)獨立去實踐解決問題,一

21、般情形下, 1，2 小題都能很快解決,只是到了第3，4 小題時,條件變化稍復(fù)雜一些,同學(xué)們就會顯現(xiàn)思維障礙,需準(zhǔn)時引導(dǎo)他們?nèi)ミM行角的轉(zhuǎn)化,在實踐中體會誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用,使任意一個角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角,體會從未知到已知的化歸思想,從而為總結(jié)出解題的一般步驟埋下伏筆. 變式是為了讓同學(xué)進一步懂得公式中角的任意性而設(shè)立.可編輯資料 - - - 歡迎下載例 2化簡cos180gsin360sin180 gcos 180可編輯資料 - - - 歡迎下載（同學(xué)板書）解： sin180 sin180sin180sinsin,cos 180cos180cos180cos,可編輯資料 - - - 歡迎下載所以原式 =cosgsin1 可編輯資料 - - - 歡迎下載singcos可編輯資料 - - - 歡迎下載變式：已知sin 1 ,求sin5 的值.可編輯資料 - - - 歡