菲克定律應(yīng)用

1、1擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)方程一一菲克定律1.1菲克第一定律1.1.1宏觀表達(dá)式1858年，菲克（Fick）參照了傅里葉（Fourier）于1822年建立的導(dǎo)熱方程，建立定量公式。在迸時(shí)間內(nèi)，沿x方向通過x處截面所遷移的物質(zhì)的量Am與x處的濃度梯度成正比:A也C ,m AtZ即 如=_d（工）A d t 玫根據(jù)上式引入擴(kuò)散通量概念，則有:距離工一-X(7-1)圖7-1擴(kuò)散過程中溶質(zhì)原子的1#分布#C jct圖7-2溶質(zhì)原子流動(dòng)的方向與濃度降低的方向相一致1 2圖7-3 一維擴(kuò)散的微觀式(7-1)即菲克第一定律。式中J稱為擴(kuò)散通量，常用單位是mol/ ( cm2 s);濃度梯度；:xD擴(kuò)散系數(shù)，它表示單位濃度

2、梯度下的通量，單位為 cm2/s 或 m2 / s ；負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相 反見圖7-2。1.1.2微觀表達(dá)式微觀模型：設(shè)任選的參考平面1、平面2上擴(kuò) 散原子面密度分別為n1和n2,若n1=匕，則無凈擴(kuò)散流。假定原子在平衡位置的振動(dòng)周期為t則一個(gè)原子單位時(shí)間內(nèi)離開相對(duì)平衡位置躍遷次數(shù)的平均值，即躍遷頻率為:=-(7-2)T由于每個(gè)坐標(biāo)軸有正、負(fù)兩個(gè)方向，所以向給定坐標(biāo)軸正向躍遷的幾率 是。6設(shè)由平面I向平面2的跳動(dòng)原子通量為J12，由平面2向平面1的跳動(dòng)原模型2子通量為J21J12n.6J 21門2 -6(7-3)(7-4)注意到正、反兩個(gè)方向，則通過平面Ji=J12 - J 21

3、1沿X方向的擴(kuò)散通量為(7-5)而濃度可表示為1 、(7-6)式(7-6)中的1表示取代單位面積計(jì)算，、表示沿?cái)U(kuò)散方向的跳動(dòng)距離(見圖7-3)，貝卩由式(7-5)、式(7-6)得J1 =1丨 C1 C2、= 一1 丨(C2 C) 丄丨、.2dC D空 (7-7)666 dxdx式(7-7)即菲克第一定律的微觀表達(dá)式，其中(7-8)式(7-8)反映了擴(kuò)散系數(shù)與晶體結(jié)構(gòu)微觀參量之間的關(guān)系，是擴(kuò)散系數(shù)的微觀表達(dá)式。三維情況下，對(duì)于各向同性材料(D相同)，則J 二Jx JyJz - -D(i£ j-C k-C) -Cexexex(7-9)式中:k為梯度算符x :x對(duì)于各向異性材料，擴(kuò)散系數(shù)

4、D為二階張量，這時(shí),3J、U XJ y =Jz丿/ cCl_£C&丿cCexD31 D32 D33Dll D12 D13D2I D22 D23(7-10)對(duì)于菲克第一定律，有以下三點(diǎn)值得注意：（1）式（7-1）是唯象的關(guān)系式，其中并不涉及擴(kuò)散系統(tǒng)內(nèi)部原 子運(yùn)動(dòng)的微觀過程。（2）擴(kuò)散系數(shù)反映了擴(kuò)散系統(tǒng)的特性，并不僅僅取決于某一種 組元的特性。（3）式（7-1）不僅適用于擴(kuò)散系統(tǒng)的任何位置，而且適用于擴(kuò) 散過程的任一時(shí)刻。其中，J、D、衛(wèi)可以是常量，也可以是變量， 即式（7-1）既可適用于穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，也可適用于非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。1.2菲克第二定律當(dāng)擴(kuò)散處于非穩(wěn)態(tài)，即各點(diǎn)的濃度隨時(shí)間而改變

5、時(shí)，利用式（7-1） 不容易求出C（x,t）。但通常的擴(kuò)散過程大都是非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，為便于求 出C（x,t），菲克從物質(zhì)的平衡關(guān)系著手，建立了第二個(gè)微分方程式。1.2.1 一維擴(kuò)散如圖7-4所示，在擴(kuò)散方向上取體 積元A x , Jx和Jx. x分別表示流入體積元及流出體積元的擴(kuò)散通量，則在厶t時(shí)間內(nèi)，體積元中擴(kuò)散物質(zhì)的積累量為=(JxA - Jx. xA) t圖7-4擴(kuò)散流通過微小體則有積的情況當(dāng)歆、=t > 0時(shí)，有衛(wèi)J甘ex將式（7-1）代入上式得：C :- （D :C）（D ）.t ；x ；x如果擴(kuò)散系數(shù)D與濃度無關(guān)，則式（7-11）可寫成(7-11)2：c 2cD2"ar

6、 厶.x(7-般稱式（7-11）、式（7-12）為菲克第二定律。122三維擴(kuò)散（1）直角坐標(biāo)系中.:CCCC(D ) (D ) (D )_t _ x x _y:yz - z(7-13)當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與濃度無關(guān)，即與空間位置無關(guān)時(shí),.C；：2C ；：2C ；2CD(r2 -r)t:x: y:z6(7-14)或簡(jiǎn)記為:二2C.:t(7-15)-2G2:x-2 -2 C+ +c 2y為L(zhǎng)aplace算符。 .z(2)柱坐標(biāo)系中通過坐標(biāo)變換:鳥;，體積元各邊為dr,rd亠dz，則有:C 1 f (rDa* f ' r ：r.CD ; CC、)二( )(rD ) .r : rz ；z(7-16)對(duì)柱

7、對(duì)稱擴(kuò)散，且D與濃度無關(guān)時(shí)有(7-17)(3)球坐標(biāo)系中通過坐標(biāo)變換r sid ，貝卩有:.C D :C(r ) r r rx = r sin ： cos ：y 二 rsinsin，體積兀各邊為dr , rd ,z = rcos-(r2C.r : r+sin v日 比7#(7-18)#對(duì)球?qū)ΨQ擴(kuò)散，且D與濃度無關(guān)時(shí)有：:C D ： / 2 © 2 (r ) d r :r :r(7-19)從形式上看，菲克第二定律表 示，在擴(kuò)散過程中某點(diǎn)濃度隨時(shí)間 的變化率與濃度分布曲線在該點(diǎn)的 二階導(dǎo)數(shù)成正比。女口圖7-5所示， 若曲線在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)律大于圖7-5菲克第一、第二定律的:x關(guān)系0，即曲

8、線為凹形，則該點(diǎn)的濃度會(huì)隨時(shí)間的增加而增加，即衛(wèi)0;若曲線在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) 一C小于亂ex0,即曲線為凸形，則該點(diǎn)的濃度會(huì)隨時(shí)間的增加而降低，即H V 0。ct 而菲克第一定律表示擴(kuò)散方向與濃度降低的方向相一致。從上述意 義講菲克第一、第二定律本質(zhì)上是一個(gè)定律，均表明擴(kuò)散的結(jié)果總 是使不均勻體系均勻化，由非平衡逐漸達(dá)到平衡。2菲克定律的應(yīng)用涉及擴(kuò)散的實(shí)際問題有兩類其一是求解通過某一曲面(如平面、柱面、球面等)的通量J,以解決單位時(shí)間通過該面的物質(zhì)流量 也=AJ ;dt其二是求解濃度分布C(x,t)，以解決材料的組分及顯微結(jié)構(gòu)控制，為此需要分別求解菲克第一定律及菲克第二定律。2.1 穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散及其

9、應(yīng)用2.1.1 一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散考慮氫通過金屬膜的擴(kuò)散。如圖7-6所示，金屬膜的厚度為，取 x軸垂直于膜面?？紤]金屬膜兩邊供氣與抽氣同時(shí)進(jìn)行， 一面保持高 而恒定的壓力P2，另一面保持低而恒定的壓力 P1。擴(kuò)散一定時(shí)間以后，金屬膜中建立起穩(wěn)定的濃度分布圖7-6氫對(duì)金屬膜的一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散氫的擴(kuò)散包括氫氣 吸附于金屬膜表面，氫 分子分解為原子、離子, 以及氫離子在金屬膜中 的擴(kuò)散等過程。達(dá)到穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散時(shí)的邊界條件:Cl x=0 =C210#Ci、C2可由熱解反應(yīng) H2H+H的平衡常數(shù)K確定，根據(jù)K的定11K=產(chǎn)物活度積反應(yīng)物活度積設(shè)氫原子的濃度為C,則K=（7-20）式（7-20）中S為西佛特（Sieve

10、rt）定律常數(shù)，其物理意義是，當(dāng)空 間壓力p=1MPa時(shí)金屬表面的溶解濃度。式（7-20）表明，金屬表面 氣體的溶解濃度與空間壓力的平方根成正比。因此，邊界條件為：rC| x=o =s*； p2IC|x=6=s 幣（7-21）根據(jù)穩(wěn)定擴(kuò)散條件，有L、蘭=（D）=0-t : X:x所以c =c on st = ax積分得C 二 ax b（ 7-22）式（7-22）表明金屬膜中氫原子的濃度為直線分布，其中積分常數(shù)a、b由邊界條件式（7-21）確定a1 J2 =負(fù)扃_什2）Ijb = C2 = sj p2將常數(shù)a、b值代入式（7-22）得(7-23)(7-24)S |.IC（X） （ . Pl -

11、P2）x S. P2 o單位時(shí)間透過面積為A的金屬膜的氫氣量罟"ADAdXDAaDAS( Pl- P2)由式（7-24）可知，在本例所示一維擴(kuò)散的情況下，只要保持Pi、P2恒定，膜中任意點(diǎn)的濃度就會(huì)保持不變，而且通過任何截面的流 量dm、通量J均為相等的常數(shù)。dt引入金屬的透氣率P表示單位厚度金屬在單位壓差（以 MPa為單位）下、單位面積透過的氣體流量P 二 DS（7-25） 式中：D為擴(kuò)散系數(shù)，S為氣體在金屬中的溶解度，則有P J = 一（. P1 - P2）（ 7-26）0在實(shí)際應(yīng)用中，為了減少氫氣的滲漏現(xiàn)象，多采用球形容器、選用氫的擴(kuò)散系數(shù)及溶解度較小的金屬、以及盡量增加容器壁

12、厚等。2.1.2柱對(duì)稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散史密斯（Smith）利用柱對(duì)稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散測(cè)定了碳在 鐵中的擴(kuò)散系 數(shù)。將長(zhǎng)度為L(zhǎng)、半徑為r的薄壁鐵管在1000C退火，管內(nèi)及管外 分別通以壓力保持恒定的滲碳及脫碳?xì)夥眨?dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，管壁內(nèi)各點(diǎn)的碳濃度不再隨時(shí)間而變'即罟時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過管壁的 碳量m/t為常數(shù)，其中m是t時(shí)間內(nèi)流入或流出管壁的碳量，按照 通量的疋義m2 二 rLt(7-27)由非克第一定律式（7-1）有mdCD - 2r 二 Ltdrm - -D(2二Lt)d In r(7-28)式中m、L、t以及碳沿管壁的徑向分布都可以測(cè)量，D可以由C對(duì)Inru 0. M 0. At a 3Q 0. o

13、. 26 広 24 -l<r累*»眾幅SU167-7 在1000C碳通過薄壁鐵數(shù)，C對(duì)Inr作圖應(yīng)當(dāng)是一直線。但實(shí)驗(yàn)指出，在濃度高的區(qū)域，從圖7-7還可以引出一個(gè)重要管的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散中，碳的濃度的概念：由于m/t為常數(shù)，如果D分布不隨濃度而變，則dC也應(yīng)是常圖圖的斜率確定（見圖7-7）。d I nrd I nr小，D大；而濃度低的區(qū)域，二C大，D小。由圖7-7算出，在1000C, d I nr碳在 鐵中的擴(kuò)散系數(shù)為：當(dāng)碳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.15 %時(shí)，D=2.5 10-7cm2/s;當(dāng)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 1.4%時(shí)，D=7.7 10-7cm2/s?？梢?D#是濃度的函數(shù)，只有當(dāng)濃度很小時(shí)、或濃

14、度差很小時(shí)，D才近似為常數(shù)2.1.3球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散如圖7-8所示，有內(nèi)徑為ri、夕卜徑為r2的球殼，若分別維持內(nèi)表 面、外表面的濃度Ci、C2保持不變，則可實(shí)現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。邊界條件由穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，并利用 式(7-19).C D 2 .C2 (r )=0:t r ；丁 ；丁2 C 得 rconstaa解得 Cbr代入邊界條件，確定待定常數(shù)a,b圖7-8球殼中可實(shí)現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散(7-29)i2i2<rir2(C2 Ci)a =D -AC2r2 CiriI b =J 一 ri求得濃度分布C(r)二12(。2 -)。22 - Ciir(a - ri)i2i2(7-30)i2在實(shí)際中，往往需要求

15、出單位時(shí)間內(nèi)通過球殼的擴(kuò)散量 也，并利用 dt“的關(guān)系(7-32)dmdCJA - -D - dtdr4：r2 =4二Da18圖7-10球形晶核的生長(zhǎng)過程圖7-9過飽和固溶體的析出可見，對(duì)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散來說, 在不同的球面上，dm相同但j并不相同上述球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析方 法對(duì)處理固態(tài)相變過程中球形晶 核的生長(zhǎng)速率是很重要的。如圖7-9中的二元相圖所示， 成分為Co的單相固溶體從高溫 冷卻，進(jìn)入雙相區(qū)并在To保溫。此 時(shí)會(huì)在過飽和固溶體 中析出成 分為c 的-相，與之平衡的:相成分為C ：。在晶核生長(zhǎng)初期，設(shè)1 相晶核半徑為ri，母相在半徑為D的球體中成分由Co逐漸降為C., 隨著時(shí)間由t&#

16、176;,ti,t2變化，濃度分布曲線逐漸變化，相變過程中各相成 分分布如圖7-10所示。一般說來，這種相變速度較慢，而且涉及的范圍較廣，因此可將晶核生長(zhǎng)過程當(dāng)作準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散處理，即在晶核生長(zhǎng)初期任何時(shí)刻，濃度分布曲線保持不變。由球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析結(jié)果式（7-31）,并利用ri>>2，即新相晶核很小、擴(kuò)散范圍很大的條件。應(yīng)特別注意 分析的對(duì)象是內(nèi)徑為ri、外徑為r2的球殼，由擴(kuò)散通過球殼的流量 dm，其負(fù)值即為新相晶核的生長(zhǎng)速率。dtdm_ C2 - Ci_ 2 C2 - CiD 4 r1r2 - - -D 4 r1 - -dtr2 -口r1二 _D 4二（7-33）A應(yīng)注意式（7

17、-33）與菲克第一定律的區(qū)別，因?yàn)槭街械牟⒉籄是濃度梯度。2.2非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程的解，只能根據(jù)所討論的初始條件和邊界條件而定，過程的條件不同方程的解也不同，下面分幾種情況加以討論。7.2.2.1 一維無窮長(zhǎng)物體的擴(kuò)散無窮長(zhǎng)的意義是相對(duì)于擴(kuò)散區(qū)長(zhǎng)度而言，若一維擴(kuò)散物體的長(zhǎng)度大于4.Dt，則可按一維無窮長(zhǎng)處理。由于固體的擴(kuò)散系數(shù)D在10-210-12cm2s-1很大的范圍內(nèi)變化，因此這里所說的無窮并不等同于 表觀無窮長(zhǎng)。設(shè)A，B是兩根成分均勻的等截面金屬棒，長(zhǎng)度符合上述無窮長(zhǎng) 的要求。A的成分是C2, B的成分是Ci。將兩根金屬棒加壓焊上， 形成擴(kuò)散偶。取焊接面為坐標(biāo)原點(diǎn)，擴(kuò)散方向沿X方向

18、，擴(kuò)散偶成分隨時(shí)間的變化如 圖7-11所示。求解的擴(kuò)散方程為式（7-12）D 2.t:X初始條件（7-35）t=0 時(shí),C=C1 , (x > 0)C=C2 ,(x V 0)邊界條件（7-36）t時(shí)，C=C1 , (x= x )C=C2 , (x=二 一 oo )20i g -Ct|AC,圖7-11擴(kuò)散偶成分隨時(shí)間的變化2t3/2d 2t右邊嗨“弓2手L D等*故式（7-12）變成了一個(gè)常微分方程dC令些二u，代入式（7-38 ）得d du二D d'解得a'exp4D）（7-38）（7-39）（7-40）式（7-40）代入到匹=u 中,求解擴(kuò)散方程的目的在于求出任 何時(shí)刻

19、的濃度分布 C （x,t）可采用分 離變量法，拉氏變換法，但在式（7-12）,式（7-35）,式（7-36）的特 定條件下，采用波耳茲曼變換更為方 便，即令 -x/> t（ 7-37）代入式（7-12）dC將上式積分,dC a eg d4DC=a i0exp(24D)d' b(7-41)再令一 /（2、D），則式（7-41 ）可改寫為(7-42)C = a cVDfexp( P2)dP +b = afexp( P2)dP +b注意式（7-42）是用定積分，即 圖7-12中斜線所示的面積來表 示的，被積函數(shù)為高斯函數(shù) exp（2），積分上限為- o根據(jù)高斯誤差積分0 exp（- 1

20、2）d2圖7-12用定積分表示濃度（7-43）因?yàn)?/（2、D） =x/（2 . Dt ）,利用邊界條件式（7-36）在t> 0時(shí)，分別有C =C1 =a 0 e*d” +bC 乂2 =a；e'd b故C, =a ' b, C2 b2 2求出積分常數(shù)a, b分別為C2 Ci 2a 二(7-44)將式（7-44）代入式（7-428-32）有C2 C1 C2 - C1C =2（7-45）式（7-45）中的積分函數(shù)稱為高斯誤差函數(shù)，用erf（J表示（見圖7-12）,定義為2 Berf （ P）二 ex）（P2 ）dP（ 7-46）Ju 10值對(duì)應(yīng)的erf（ J值列于表7-1。這

21、樣式（7-45）可改寫成C_CCierf（ J（7-47）2 2式（7-47）即為擴(kuò)散偶在擴(kuò)散過程中，溶質(zhì)濃度隨二即隨erf（ J的變化關(guān)系式。（1）式（7-47）的用法 給定擴(kuò)散系統(tǒng)，已知擴(kuò)散時(shí)間t,可求出濃度分布曲線C(x,t)。具體的方法是，查表求出擴(kuò)散系數(shù)D，由D、t以及確定的，求出，x/(2、.Dt)，查表 7-1 求出 erf( J，代入式(7-47)求出 C(x,t)。 已知某一時(shí)刻C(x,t)的曲線，可求出不同濃度下的擴(kuò)散系數(shù)。 具體的方法是，由C(x,t)計(jì)算出erf( l)，查表7-1求出一：，t、x已知， 利用=x/(2.Dt)可求出擴(kuò)散系數(shù)D。(2) 任一時(shí)刻C(x,t

22、)曲線的特點(diǎn) 對(duì)于x=0的平面，即原始接觸面，有1=0，即erfj),因此該 平面的濃度Co = C2恒定不變；在x - :,即邊界處濃度，有2C二工G,CW=C2，即邊界處濃度也恒定不變。 曲線斜率:C dC iC2 -Ci 二212M =WePH眉(丫48)由式(7-47)，式(7-48)可以看出，濃度曲線關(guān)于中心(x=0,c = Cl 2C2 )是對(duì)稱的。隨著時(shí)間增加，曲線斜率變小，當(dāng)t：時(shí), 各點(diǎn)濃度都達(dá)到，實(shí)現(xiàn)了均勻化。2(3) 拋物線擴(kuò)散規(guī)律由圖7-12及式(7-47)可知，濃度C(x,t)與有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，25由于2 =x/(2 . Dt )，因此C(x,t)與x/ ,t之間也

23、存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，設(shè)K(C)是決定于濃度C的常數(shù)，必有x2=K(C)t(7-49)式(7-49)稱為拋物線擴(kuò)散規(guī)律，其應(yīng)用范圍為不發(fā)生相變的擴(kuò)散。圖7-13拋物線擴(kuò)散規(guī)律如圖7-13所示，若等濃度G的擴(kuò)散等 距離之比為1： 2： 3： 4,則所用的擴(kuò) 散時(shí)間之比為1: 4： 9： 16。(4)式(7-47)的恒等變形式(7-47)可以寫成:C2 C1C2 C1“C -2C1 erf ( ) C0 1 erf ()2 V 2 丿時(shí)同増如C1erf ()圖7-14 一維無窮長(zhǎng)物體擴(kuò)散的兩種(7-50)特殊情況式中:C0G C2(a)鍍層的擴(kuò)散、異種金屬的擴(kuò)散當(dāng)C1=0時(shí)(鍍層的擴(kuò)散，異種金屬的擴(kuò)

24、散焊)如圖7-14(a)，有焊(b)真空除氣、表面脫碳27C 二 C。Uerfjl（7-51） 當(dāng)Co=O時(shí)（除氣初期，真空除氣以及板材的表面脫碳等）， 如圖7-14 （b）,有C=Cierf（J（ 7-52）（5）近似估算由查表7-1可知，當(dāng)-=0.5時(shí)，erf （ ）=0.52040.5,亦即當(dāng)x2=Dt時(shí)，根據(jù)式（7-51 ）有CP.5C。由于擴(kuò)散，如果某處的濃度達(dá)到初 始濃度的一半，一般稱該處發(fā)生了顯著擴(kuò)散。關(guān)于顯著擴(kuò)散，利用 x2=Dt，給出x可求t,給出t可求x。2.2.2半無窮長(zhǎng)物體的擴(kuò)散半無窮長(zhǎng)物體擴(kuò)散的特點(diǎn)是，表面濃度保持恒定，而物體的長(zhǎng) 度大于4. Dt。對(duì)于金屬表面的滲碳

25、、滲氮處理來說，金屬外表面的 氣體濃度就是該溫度下相應(yīng)氣體在金屬中的飽和溶解度C0，它是恒定不變的；而對(duì)于真空除氣來說，表面濃度為0,也是恒定不變的。鋼鐵滲碳是半無窮長(zhǎng)物體擴(kuò)散的典型實(shí)例。例如將工業(yè)純鐵在927 C進(jìn)行滲碳處理，假定在滲碳爐內(nèi)工件表面很快就達(dá)到碳的飽和 濃度（1.3%C）,而后保持不變，同時(shí)碳原子不斷地向里擴(kuò)散。這樣， 滲碳層的厚度、滲碳層中的碳濃度和滲碳時(shí)間的關(guān)系，便可由式（7-51）求得。初始條件，t=0, x>o, C=0;邊界條件，t>0, x=x, C=0; x=0, C0=1.3927C時(shí)的碳在鐵中擴(kuò)散系數(shù) D=1.5X 10-7cm2 s-1，所以=

26、1.31 -erfxl2Jl.5xlO，t3.29 1030#滲碳10h（3.6 x104s）后滲碳層中的碳分布C =1.31 erf (6.8x) 1在實(shí)際生產(chǎn)中，滲碳處理常用于低碳鋼，如含碳量為0.25%的鋼' 這時(shí)為了計(jì)算的方便，可將碳的濃度坐標(biāo)移到 0.25為原點(diǎn)，這樣就 可以采用與工業(yè)純鐵同樣的計(jì)算方法。2.2.3瞬時(shí)平面源在單位面積的純金屬表面涂上擴(kuò)散元素組成平面源，然后對(duì)接；：2C-2x成擴(kuò)散偶進(jìn)行擴(kuò)散。若擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，其擴(kuò)散方程為式（7-12）:.CD.:t注意到涂層的厚度為0,因此方程式（7-12）的初始、邊界條件為當(dāng)t=0時(shí)，C-：:C x=02X-0二 0當(dāng)20時(shí)，Cx去=0(7-53)由微分知識(shí)可知，滿足方程式（7-12）及上述初始、邊界條件的 解具有下述形式31C 二希 exp(7-54)式中a是待定常數(shù)。可以利用擴(kuò)散物質(zhì)的總量M來求積分常數(shù)a,M 二 Cdx(7-55)如果濃度分布由式（7-54）表示，并令(7-56)則有dx =2（Dt）1/2dl，將其代入式（7-55） 得-4 21M =2aD2 e-'dl = 2a(二D護(hù)J 二將上式代入式（7-54）可得小MCiexp2（二 Dt）°圖7-15示出了不同