20182019數(shù)學(xué)蘇教版選修21作業(yè) 空間向量與立體幾何 章末綜合檢測

1、一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)若空間三點(diǎn)A(1，5，2)，B(2，4，1)，C(p，3，q2)共線，則p_，q_解析：A、B、C三點(diǎn)共線，則有與共線，即，又(1，1，3)，(p1，2，q4)，解得答案：32已知空間四邊形ABCD中，a，b，c，點(diǎn)M在OA上，且OM3MA，N為BC中點(diǎn)，則_.(用a，b，c表示)解析：顯然().答案：abc在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是_(填序號(hào))3；0；0.解析：對(duì)，空間的四點(diǎn)M，A，B，C共面只需滿足xyz，且xyz1即可根據(jù)空間向量共面定理可知也能使M與A，B，C共面答案：已知向量a(2，3，0)，

2、b(k，0，3)，若a，b成120°的角，則k_解析：cosa，b<0，k<0，k.答案：已知平行六面體ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90°，BAADAA60°，則AC等于_解析：只需將，運(yùn)用向量運(yùn)算|即可答案：已知A(1，2，6)，B(1，2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與的夾角是_解析：利用cos，1.即向量與的夾角是.答案：設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·0，·0，·0，則BCD是_三角形解析：過點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形答案：銳角已知A(1，1，1)

3、，B(2，2，2)，C(3，2，4)，則ABC的面積為_解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，計(jì)算出cos，再計(jì)算sin，從而得S|·sin，.答案：下列命題：若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1·n20；若n是平面的法向量，a與共面，則n·a0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直；其中正確的個(gè)數(shù)為_解析：中平面，可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知正確答案：3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè)a為非零向量，且a，i45°，a，j60°，則a，k

4、_解析：如圖所示，設(shè)|a|m(m0)，a，PA平面xOy，則在RtPBO中，|·cosa，im，在RtPCO中，|·cosa，j，|，在RtPAB中，PA ，OD，在RtPDO中，cosa，k，又0°a，k180°，a，k60°.答案：60°在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為_解析：設(shè)正方體棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1，所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，可知(2，2，1)，(2，2，1)，所以cos，故 sin，.答案：點(diǎn)P是棱長為1的正方體AB

5、CDA1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P到棱AB的距離為_解析：如圖所示，過P作PQ平面ABCD于Q，過Q作QEAB于E，連結(jié)PE.，PQ，EQ，點(diǎn)P到棱AB的距離為PE .答案：在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D，E分別是CC1，A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，則A1B與平面ABD所成角的余弦值為_解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CACBa，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)E(，1)

6、，G(，)，(，)，(0，a，1)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，GE平面ABD，·0，解得a2.(，)，(2，2，2)平面ABD，為平面ABD的一個(gè)法向量，那么cos，A1B與平面ABD所成角的余弦值為.答案：在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同時(shí)為零)，點(diǎn)P(x0，y0，z0)到平面的距離為：d，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于_解析：如圖，以底面中心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(1，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，2)，設(shè)平面PAB的方程為AxByCzD0，將

7、以上3個(gè)坐標(biāo)代入計(jì)算得A0，BD，CD，所以DyDzD0，即2yz20，則d.答案：二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(本小題滿分14分)在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，M為四邊形ABCD的中心求證：對(duì)A1B1上任一點(diǎn)N，都有MNAP.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，P，M，N(1，y，1)，.·(1)×0××10，即A1B1上任意一點(diǎn)N都有MNAP.(本小題滿分14分)已知空間向量，滿足|5，|8，且·0.(1)求|；

8、(2)設(shè)BAC，且已知cos(x)，<x<，求sin(x)解：(1)由已知得，所以，則|，|，因?yàn)?#183;0，所以CDAB，在RtBCD中，BC2BD2CD2，又CD2AC2AD2，所以BC2BD2AC2AD249，所以|7.(2)在RtADC中，cosBAC，所以；所以cos(x)cos(x)，故sin(x)±.而<x<，<x<.如果0<x<，則sin(x)<sin<sin<<，故sin(x)舍去，所以sin(x).(本小題滿分14分)在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB，B

9、C1，PA2，E為PD的中點(diǎn)(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，P，E的坐標(biāo)為A(0，0，0)、B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)、E(0，1)，從而(，1，0)，(，0，2)，設(shè)與的夾角為，則cos ，AC與PB所成角的余弦值為.(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，則(x，1z)，由NE面PAC，可得即即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0，1)，從而N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為1，.(本小題滿分16分)已知一個(gè)多面體是

10、由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.(1)求BF的長；(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則D(0，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，A(2，0，0)，C1(0，4，3)；設(shè)F(0，0，z)，四邊形AEC1F為平行四邊形，得(2，0，z)(2，0，2)，z2，F(xiàn)(0，0，2)，(2，4，2)于是|2，即BF的長為2.(2)設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF，故可設(shè)n1(x，y，1)，由得即n1(1，1)又(0，0，3)，設(shè)與n1的夾角為，則cos .

11、C到平面AEC1F的距離為d|cos 3×.(本小題滿分16分)如圖，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABDC，DAB90°，PA底面ABCD，且PAADDCAB，M是PB的中點(diǎn)(1)證明：平面PAD平面PCD；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，)(1)證明：因(0，0，1)，(0，1，0)，故·0，所以APDC.由題設(shè)知ADDC，且APADA，由此

12、得DC平面PAD.又DC在平面PCD上，故平面PAD平面PCD.(2)因?yàn)?1，1，0)，(0，2，1)，故|，|，·2，所以cos，.故所求AC與PB所成角的余弦值為.(3)在MC上取一點(diǎn)N(x，y，z)，則存在R，使，(1x，1y，z)，(1，0，)，x1，y1，z.要使ANMC，只需·0，即xz0，解得.可知當(dāng)時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(，1，)，·0，此時(shí)(，1，)，(，1，)，有·0.由·0，·0得ANMC，BNMC，所以ANB為面AMC與面BMC所成二面角的平面角|，|，·，cos，故所求的二面角的余弦值為.(本小題滿分16分)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O為AD中點(diǎn)(1)求證：PO平面ABCD；(2)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PCD的距離解：(1)證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)所以(0，0，1)，(0，2，0)，·0，所