分離變量法求解偏微分方程

1、精選ppt第十章 分離變量法n第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)n第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)n第三節(jié) 特殊區(qū)域上的位勢(shì)方程n第四節(jié) 高維定解問題的分離變量法n第五節(jié) 對(duì)非齊次邊界條件和非齊次方程的處理精選ppt第一節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt物理解釋： 一根長為 l 的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒有強(qiáng)迫外力作用下的振動(dòng)精選pptn求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t本征值問

2、題( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：精選ppt第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式( )cossin1,2,3,nnnananT tAtBtlln本征值和本征函數(shù)2,( )sin,1,2,3,nnnlnXxxln精選ppt第三步：利用初始條件求得定解問題的解1( , )cossinsinnnnanannu x tAtBtxlll利用初始條件得02( )sinlnnAdll 02( )sinlnnBdanl 精選pptn駐波( , )cossinsinsinsinnnnnnanannux tAt

3、BtxlllnanNxtll其中22,arctannnnnnnANABB振 幅頻 率初相位sinnnnaNxlnanln振動(dòng)元素，本征振動(dòng)駐波oln = 4精選pptn其它邊界條件的混合問題22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txxuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l2,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln兩端自由的邊界條件精選ppt22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx

4、u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端點(diǎn)自由、右端點(diǎn)固定的邊界條件精選ppt22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端點(diǎn)固定、右端點(diǎn)自有的邊界條件精選ppt第三類邊界條件的混合問題的求解中遇到的困難22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0,

5、)(0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlututu l tt( )( )0(0)(0)( )0XxX xXXX ltanll精選pptn舉例-弦的敲擊22222,(0, ),0( ,0)0,( ,0)(),0, ,0(0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xu xxcxlclutu l tt121( , )sinsinsinnn cannu x ttxanlll對(duì)不同的 c ，有界弦的自由振動(dòng)精選ppt當(dāng) c=0.2l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)精選ppt當(dāng) c=0.5l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)精選pptn再例-弦的撥動(dòng)2222211,(0, ),0( ,0)

6、,( ,0)0,0, , 0()(0, )( , )0,0dtl duuaxl ttxxu xu xxldllxutu l tt222121( , )sincossin()nln dannu x ttxd ldnlll對(duì)不同的 d ，有界弦的自由振動(dòng)精選ppt當(dāng) d=0.5l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)精選ppt當(dāng) d=0.3l 時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)精選ppt第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xxxlutu l tt物理解釋： 一根長為 l 的均勻細(xì)桿，其右端保持絕熱，左端保持零度，給定桿內(nèi)的初始的溫度分布，在

7、沒有熱源的情況下桿在任意時(shí)刻的溫度分布精選pptn求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值問題X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：精選ppt第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式222122()( )exp0,1,2,3,nnanT tAtln本征值和本征函數(shù)21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln精選ppt第三步：利用初始條件求得定解問題的解222112220()()( , )expsinn

8、nannu x tAtxll利用初始條件得120()2( )sinlnnAdll 精選pptn舉例2220,(0, ),0( ,0),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxuu xxxllutu l tt22211022222102()()2( 1)( , )expsin()nnannuu x ttxnll精選ppt當(dāng) u0=1 時(shí)，桿內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化精選ppt第三節(jié) 特殊區(qū)域上的位勢(shì)方程n矩形域上的邊值問題22220,( , )(0, ) (0, )( ,0)0, ( , ),0, (0, )( , )0,0, uux yabxyu xu x bUxauyu a yyb 散

9、熱片的橫截面為一矩形0,a0,b，它的一邊 y=b 處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的穩(wěn)恒的溫度分布精選ppt021sinh4121( , )sin2121sinhnnynau x yUxnnaba參數(shù)選取1121abU精選pptn圓域內(nèi)的邊值問題22222222220,( , ),xyauuxyaxyuf x y 一個(gè)半徑為a的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù) f (x,y)，求穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布精選pptcossinxryr222110,0, 02( , )( ),( , )( ,2 ),(0, )uurrarrrru afu ru ru有限值,ora

10、+2隱含著的周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件精選ppt第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解( , )( ) ( )u rR r0( )(2 ) 20(0)r RrRRR有限值()： R(r)：周期本征值問題歐拉方程精選ppt第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn20(0)r RrRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rc rn精選ppt第三步：利用邊界條件01( , )cossinnnnnu raanbnr20020201( )21( )cos1( )sinnnnnaf t dtaf tntdta

11、bf tntdta利用邊界條件精選ppt20122222011( , )( )cos()2( )12cos()nnru rf tntdtaf tardtarart解的約化-Poisson積分公式精選pptn舉例-觀察法22222222220,xyauuxyaxyAuxa( , )Au x yxa精選ppt第四節(jié) 高維定解問題的分離變量法n球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題n球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題n球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題精選pptn球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y zcoscoscos sins

12、inxryrzr球面坐標(biāo)變換0020ra精選ppt222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隱含著的周期邊值條件和球內(nèi)約束條件精選ppt第一步：求滿足方程、周期邊界條件和球內(nèi)約束條件的變量分離的解 , ,( ) ( )u rR r 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：()：20( )(2 )m 精選ppt2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：()：20( )(2 )m 11( )

13、llllR rArBr( )llR rAr( )cossin0,1,2,mmCmDmm歐拉方程第二步：求R(r)，()和()的具體表達(dá)式精選ppt220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值()= (cos-1x)=y(x) ：締合勒讓德方程( )(cos )(cos )0,1,2,0,1,2,mlyPlml精選ppt00( , , )cossin(cos )llmlmlmllmu rrCmDmP 第三步：利用邊界條件求解200(21)()!( , )(cos )cossin2()!mlmllmllmCfPmd da

14、lm 200(21)()!( , )(cos )sinsin2()!mlmllllmDfPmd da lm 2,01,0mmm精選pptn舉例20,sincossinr aurau 002222( , , )cossin(cos )sincos sin113sinsin2(cos )sin266llmlmlmllmu aaAmBmPP 22221( , , )(cos )sin26u rr Pa 半徑為a的球形內(nèi)部沒有電荷，球面上的電勢(shì)為sin2cossin ，求球形區(qū)域內(nèi)部的電勢(shì)分布精選pptn附記：球函數(shù), ,( ) ( , )u rR r Y 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有

15、限值R(r)：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：,(cos )cossin,0,1,2,0,1,mmllmmYPCmDmlml 球函數(shù)球方程精選pptn球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問題2222222222222222222220222200,0( , , ),( , , ),0,0tttxyzauuuuaxyza ttxyzux y zxyzaux y zxyzaut精選ppt第一步：首先將時(shí)間變量與空間變量分離開來，即求形如 , , , ,u x y z tv x y z T t 022 tTaktTT(t)：2222200 xyz

16、avk vv v(x,y,z)：其中 k 是待定常數(shù)精選ppt第二步：求解T(t) 0,0,sincoskDtCtTkkatDkatCtT第三步：求解v(x,y,z) 2222222200,111sin0sinsin0( , , )( , ,2 )r arvvvrk vrrrrrvvv rv rv 有限值有限值精選ppt求如下形式的解 ,YrRrv222(1)0( )0(0)ddRrk rl lRdrdrR aR有限值R(r) ：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：球函數(shù),mlY 球Bessel方程球Bessel函數(shù)122nlnAJ

17、k rk r精選ppt第四步：利用初始條件求解1200( , , , )(cos )(cossin)1cossinmllmlmnlmnnnnnlnu rtPAmBmJk rCak tDak tk r 精選pptn球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題222222222222222222200,0( , , ),0,0txyzauuuuaxyza ttxyzux y zxyzaut120022( , , , )(cos )(cossin)1expmllmnlmnnlmnnlnu rtPAmBmJk ra k tk r 精選pptn附注對(duì)于其它特殊區(qū)域上的定解問題我們同樣可以利用分離變量法進(jìn)行求解例如：半

18、球內(nèi)或外、圓柱上的Laplace方程的邊值問題半球內(nèi)或外、圓柱上的波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)的初邊混合問題等精選ppt第五節(jié) 對(duì)非齊次邊界條件和非齊次方程的處理n對(duì)非齊次邊界條件的處理n疊加原理n對(duì)非齊次方程的處理精選pptn對(duì)非齊次邊界條件的處理2222212( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )( ),( , )( ),0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutg tu l tg tt將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件( , )( , )( , )u x tv x tw x t精選ppt2111( , )( )( )( )w x tg tg tx

19、g tl其中w可以取22122211( , )( )()( )w x tg t lxg t xll或精選pptn疊加原理22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt22222( , )( ,0)0,( ,0)0(0, )0,( , )0tuuaf x ttxu xu xutu l t22222( ,0)( ),( ,0)( )(0, )0,( , )0tuuatxu xxu xxutu l t精選pptn對(duì)非齊次方程的處理22222( , ),(0, ),0( ,0)0,( ,0)0,0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xu xxlutu l tt沖量定理法Fourier級(jí)數(shù)法精選pptnFourier級(jí)數(shù)法22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt滿足齊次邊界條件正交完備系( )sin,1,2,3,nnXxxln精選ppt預(yù)設(shè)1( , )( )sinnnnu x tT txl0101012( , )( )sin,( )