Banach空間壓縮映像原理和不動點原理及其應(yīng)用

1、Banach空間壓縮映像原理和不動點原理及其應(yīng)用摘 要 本文進一步揭示了Banach空間壓縮映像原理與完備性的關(guān)系,對壓縮映像原理與不動點的相關(guān)理論做了詳細地闡述，并對Banach空間中壓縮映像原理與不動點原理的應(yīng)用做了詳細的舉例說明。關(guān)鍵詞Banach空間 壓縮原理 完備性 不動點引言 泛函分析是本世紀出才逐漸形成的一個新的數(shù)學分支，以其高度的統(tǒng)一性和廣泛的應(yīng)用性，在現(xiàn)代數(shù)學領(lǐng)域占有重要的地位。在泛函分析中，Banach空間理論在隱函數(shù)定理、微分方程解的存在性定理、積分方程解的存在性定理等等中，否起到了關(guān)鍵的作用，且都歸結(jié)為一個定理不動點定理。這正是抽像的結(jié)果。 不動點定理實際上是

2、算子方程的求解問題，是分析學的各個分支中存在和唯一性定理的重要基礎(chǔ)，它是關(guān)于具體問題解的存在唯一性的定理，其中Banach不動點定理，亦稱壓縮映射原理，它提供了線性方程解的最佳逼近程序，給出了近似解的構(gòu)造，在常微分方程、積分方程等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，在現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展中有著重要的地位和作用。正文Banach空間壓縮映像定理及其應(yīng)用隨著現(xiàn)代電子計算機技術(shù)的發(fā)展，我們在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等）的過程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說：對一個方程，只要我們找到一個迭代公式，就算解出了這個方程（當然我們還要考慮迭代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂

3、速度等問題）。但是，在逐次迭代中，我們必須保證迭代過程中得到的是個收斂序列，否則就是毫無意義的了。而選代法解方程的實質(zhì)就是尋求變換（映射、映像）的不動點。例如求方程f(x)=0的根，我們可令g(x)=x-f(x)，則求f(x)=0的根就變成求g(x)的不動點，即求,使.而在通常求映射的不動點的方法中，最簡單的就是下面我們所講的-Banach空間壓縮映像定理。 定義（壓縮映像） 設(shè)T是度量空間X到X中的映像，如果對都有（是常數(shù)）則稱T是X上的一個壓縮映像。 從幾何上說：壓縮映像即點x和y經(jīng)過映像T后，它們的像的距離縮短了（不超過d(x,y)的倍） 定理1（Banach壓縮映像原理）1922年 （

4、Banach 1892-1945 波蘭數(shù)學家） 設(shè)（X,d）是一個完備度量空間，T是X上的一個壓縮映像，則丅有唯一的不動點。即存在x屬于X，使得Tx=x。（證明存略）對于壓縮映像原理的應(yīng)用，最典型的有以下幾個定理可說明問題。定理2（隱函數(shù)存在定理） 設(shè)在帶狀區(qū)域上處處連續(xù)，處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),且如果存在常數(shù)m,M，適合.則方程在閉區(qū)間上有唯一的連續(xù)函數(shù),使。 證：（在中考慮映像，若其為壓縮映像，則有不動點）在完備度量空間中作映像,顯然,對由連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)有。是到自身的一個映像下證是壓縮的.即證 ,任取由微分中值定理,存在,使令 則 ,故 取最大值 映像T是壓縮的.由Banach壓縮映像定

5、理在上有唯一的不動點使 顯然這個不動點適合注： 注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映像（這是難點）,然后證明此映像是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是利用Banach壓縮映像定理解題的一般方法。  此隱函數(shù)存在定理給出的條件強于數(shù)學分析中隱函數(shù)存在定理所給出的條件，因而得出的結(jié)論也強些：此處得出區(qū)間上的連續(xù)隱函數(shù).下面我們介紹Banach不動點定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的應(yīng)用-Picard定理.定理3：（Picard定理 Cauchy-Peano微分方程解的存在唯一性定理） 設(shè)在矩形上連續(xù),設(shè)又在R上關(guān)于x満足Lipschitz（德國人 1832-1903）條件,即存

6、在常數(shù)k使對有 ,那么方程在區(qū)間上有唯一的滿足初始條件的連續(xù)函數(shù)解.其中證：設(shè)表示在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體。對成完備度量空間。又令表示中滿足條件的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間。顯然閉,因而也是完備度量空間.令 如果 當 時,而 是R上的二元連續(xù)函數(shù),映像中積分有意義。又對一切 故T是到的一個映像下證是壓縮的。由Lipschitz條件,對中的任意兩點 有 令 ,則由 有 .則 故T是壓縮的。由Banach壓縮映像定理,T在中有唯一的不動點.即 使 即 且 即 是滿足初值條件的連續(xù)解。再證唯一性。如果 也是 滿足 的連續(xù)解.那么 因而 而且也是T的不動點.而T的不動點是唯一的.故 有唯一解。注：題設(shè)條件

7、中Lipschitz條件的要求是十分強的，它保證了解的唯一性。實際上満足Lipschtz條件即為一致收斂。因而可在積分號下求導(dǎo)，如果把解的要求降低，例如只要求廣義解，即只要求滿足積分方程 則題設(shè)條件可大大放寬：只要 有界,即可利用Lebesgue控制收斂定理得到廣義解。注意到Banach壓縮映像定理不僅證明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法-逐次逼近法：即只要任取 令 則解 .且在Banach不動點定理的證明中,有 .即此式給出了用逼近解的誤差估計式。不動點定理的應(yīng)用不動點證明數(shù)列極限定理 對于數(shù)列，設(shè)，。求證：。證明：由，。令，則。那么一定存在極限，設(shè)其為。那么，可得，故。不動點定理在圖論中的證明把一張小比例尺的地圖，放在一張同地區(qū)的大比例尺地圖內(nèi)，則有且僅有一個地名重合( 有一個坐標相同的點相重合)。證明: 把大地圖中所有的地名( 包括未寫出來的) 看作定理1中的( 距離按通常定義)；把小地圖所覆蓋的區(qū)域看作大地圖到自身的映像, 顯然這是一個完備度量空間中的壓縮映像問題, 故結(jié)論成立。此外不動點原理還可以應(yīng)用在數(shù)列通項公式中，求方程解中。此處不做一一