數(shù)字FIR濾波器

1、-FIR濾波器設(shè)計主要內(nèi)容n線性移不變系統(tǒng)（線性移不變系統(tǒng)（LSI）；）；n數(shù)字濾波器的基本概念；數(shù)字濾波器的基本概念；nFIR數(shù)字濾波器；數(shù)字濾波器；nFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計。數(shù)字濾波器的設(shè)計。 數(shù)字濾波器實際上就是一個離散時間系統(tǒng)數(shù)字濾波器實際上就是一個離散時間系統(tǒng)，設(shè)計，設(shè)計并實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器也就是實現(xiàn)對于輸入的離散時并實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器也就是實現(xiàn)對于輸入的離散時間信號的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的。間信號的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的。1. 線性移不變系統(tǒng)（線性移不變系統(tǒng)（LSI） 相對于連續(xù)時間信號，系統(tǒng)的分析對象是連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，即線性時不變系統(tǒng)。在數(shù)字信號處理中，討

2、論的是離散時間信號和系統(tǒng)，對于系統(tǒng)分析的對象是離散時間LSI系統(tǒng)，即線性移不變系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)和LSI系統(tǒng)是等價的。 LSI系統(tǒng)在時域同樣也是由其沖激響應(yīng)決定的 y nh nx nnLSI系統(tǒng)的輸入，沖激響應(yīng)和輸出之間的關(guān)系 討論離散時間系統(tǒng)，手段主要有兩個：n序列的卷積時域方法；nZ變換分析法頻域方法。 二種方法統(tǒng)一于時頻對應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)與傳輸函數(shù) n一般借助于差分方程來描述一個離散時間系統(tǒng)：n對該方程的時域解導(dǎo)致了系統(tǒng)分析的時域方法。相應(yīng)的對差分方程進行雙邊Z變換（或單邊Z變換，不考慮初始條件），其系統(tǒng)函數(shù)為： 00NMkkkka y nkb x nkNkkkMkkkzazbzH00)( 進

3、一步 單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)函數(shù)的反Z變換： 這就是分析LSI系統(tǒng)的頻域方法。 ( ) nnH zh n z1 ( )h nZH z注注：（1）由差分方程求）由差分方程求 ，已假定系統(tǒng)為，已假定系統(tǒng)為LSI； （2）因果性和穩(wěn)定性由）因果性和穩(wěn)定性由 的收斂域決定的收斂域決定 （即，差（即，差 分方程不能唯一確定分方程不能唯一確定 ） ( )H z( )H z h n離散時間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 n對于數(shù)字濾波器（等效為LSI系統(tǒng)）而言，必須考慮其因果性和穩(wěn)定性。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)意味著系統(tǒng) 時刻的輸出 ，只取決于 的輸入 ，LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為：n頻域： 的收斂域一定包含點。 0n

4、n 0y n0nn )(nx 0h n 0n( )H z 穩(wěn)定系統(tǒng)意味著系統(tǒng)對每個有界輸入，產(chǎn)生一個有界輸出的系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為： 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 的收斂域包含單位圓 | |nh n ( )H z( ) jj nz enH zh n e j nnnh n eh n 對于線性時不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)對于線性時不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，收斂域為，收斂域為 |, 01rzr 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) n一個離散時間系統(tǒng)（濾波器）最為重要的一個考察指標(biāo)就是其頻率響應(yīng)。濾波器的頻率響應(yīng)包括幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)兩部分，幅頻響應(yīng)反映信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減的情況，而相頻響應(yīng)反映的是信號中各頻率成

5、分通過系統(tǒng)后在時間上發(fā)生的位移情況。相應(yīng)的信號失真分別有幅度失真和相位失真。一個理想的離散時間系統(tǒng)，除了具有所希望的幅頻特性外，還希望具有線性相位的特性，這對于實現(xiàn)無失真的傳輸具有非常重要的意義。純粹的線性相位往往難以實現(xiàn)，對于窄帶信號，往往采用群遲延來衡量信號的相位失真。對于濾波器的設(shè)計，往往從幅頻特性和相頻特性兩個方面綜合考慮。 2. 數(shù)字濾波器的基本概念 n數(shù)字濾波器可以分為兩種：有限長沖激響應(yīng)FIR濾波器和無限長沖激響應(yīng)IIR濾波器。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間LTI和LSI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。 濾波器有模擬濾波器和數(shù)字濾波器之分，

6、經(jīng)典的濾波器在功能上分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。其中低通濾波器是最基本的濾波器，其他的濾波器都可以由低通濾波器通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換得出。我們知道一個濾波器在頻域有幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)之分，對于幅頻響應(yīng)關(guān)注其通帶、阻帶以及過渡帶特性，對應(yīng)著濾波器主要的技術(shù)指標(biāo)。濾波器的設(shè)計就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然濾波器的設(shè)計就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然后實現(xiàn)對應(yīng)的系統(tǒng)后實現(xiàn)對應(yīng)的系統(tǒng)。 數(shù)字濾波器的特點 n實現(xiàn)的方式靈活：硬件實現(xiàn)（專用的數(shù)字硬件）、軟件實現(xiàn)（編程）及軟件、硬件結(jié)合的實現(xiàn)方式；n精度高、穩(wěn)定性好（受環(huán)境條件，如溫度、干擾等的影響?。籲靈活性好（改變系統(tǒng)參數(shù)非常容易）易

7、于實現(xiàn)各種功能的綜合。數(shù)字濾波器的實現(xiàn)形式 n數(shù)字濾波器實現(xiàn)的具體形式有：直接型，并聯(lián)型，級聯(lián)型和格型（Lattice）；包含著三種基本運算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。n直接型：直接型：直接直接I型和直接型和直接II型型 0101 MNkkkky nb x nka y nka0 Mkkw nb x nkn直接直接I型型 n直接直接II型型 n從系統(tǒng)函數(shù)的觀點，將系統(tǒng)函數(shù)從系統(tǒng)函數(shù)的觀點，將系統(tǒng)函數(shù) 分解為分解為兩個部分（兩個部分（ ）：）： 01a ( )H z101111( )( )1( )MMNMbb zb zH zN za za zD zn級聯(lián)型和并聯(lián)型的基本思想是對系統(tǒng)函數(shù)進行因式分

8、解（有理分解），分解為若干個子系統(tǒng)的并聯(lián)和級聯(lián)。 dx nn級聯(lián)型：級聯(lián)型：12( )( )( )( )KH zH z HzHzn并聯(lián)型：并聯(lián)型：12( )( )( )( )KH zHzHzHz值得注意的問題：值得注意的問題：n有限字長效應(yīng)的存在；n級聯(lián)結(jié)構(gòu)具有累積誤差大的缺點，但是便于準(zhǔn)確實現(xiàn)濾波器的極零點，便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)的性能，所需要的存儲器少；n并聯(lián)結(jié)構(gòu)的每一個子系統(tǒng)都是獨立的，不受其他子系統(tǒng)的量化誤差和舍入誤差的影響，因此對于誤差最不敏感，但是對于極零點的調(diào)整不易。濾波器的Z域極零點分析 n將系統(tǒng)函數(shù)n因式分解NrrMrrzdzcAzH1111)1 ()1 ()(00/Aba

9、NkkkMkkkzazbzH00)(NrrMrrMNdzczAzzH11)()()()(n設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將 代入，得傳輸函數(shù) jzeNrrjMrrjMNjjdeceAeeH11)()()()(n在Z平面上向量：n分別稱為零點矢量和極點矢量，用極坐標(biāo)表示為 jrrjrrc Becd Bed rrjrrjrrc Bc ed Bd e ()11()()NrjjjrNrrc BH eAH eed B n對應(yīng)的幅度譜：對應(yīng)的幅度譜：n相位譜為：相位譜為： 當(dāng)頻率 從0變化到 時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周。 n如果濾波器的N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如下圖。當(dāng)從0變化到時

10、 ，每遇到一個零點，幅度為零。具有如下圖所示幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。梳狀濾波器。 11()NrjrNrrc BH eAd B NrrNrra11)(22n梳狀濾波器的極零點分布及幅度特性梳狀濾波器的極零點分布及幅度特性 3. FIR數(shù)字濾波器 nFIR濾波器是全零點濾波器，即 n其沖激響應(yīng)： 0 Mkky nb x nk0 Mkkh nbnknFIR數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點有：數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點有： 1、易于實現(xiàn)線性相位； 2、由于不存在極點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。nFIR數(shù)字濾波器的缺點：數(shù)字濾波器的缺點： 需要較長的濾波器長度以滿足短過渡帶的要求，造成所需的計算量較大。線性相位 nFIR濾波

11、器由于是全零點濾波器，其沖激響應(yīng)為有限長度，容易滿足形如 的對稱的形式，因此容易獲得線性相位的特性n FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 令 ，則 1h nh Nn 1100( ) 1NNnnnnH zh n zh Nn z 1mNn (1)1( )()NH zzH z n因此， 的零點也是 的零點，反之也然。這說明線性相位的FIR濾波器其零點相對于單位圓對稱分布，如圖為線性相位FIR濾波器的零點分布 ( )H z1()H z4. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 nFIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想主要是建立在近似理想濾波器頻率特性基礎(chǔ)上，近似的方法有：窗函數(shù)法；頻率采樣法；最佳一致逼近法等。我們主要介紹窗函數(shù)法，窗函數(shù)法

12、的主要思想是對理想低通濾波器的沖激響應(yīng)序列采用截斷并移位的方法，使之稱為一個因果的有限長的序列，將對應(yīng)的理想系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為物理可實現(xiàn)的。采用不同的窗函數(shù)導(dǎo)致了不同的設(shè)計方法，所設(shè)計的濾波器也具有不同的特性。 理想濾波器理想的低通濾波器n低通濾波器是構(gòu)建其它濾波器的基礎(chǔ)。然而理想的低通濾波器物理上卻不可實現(xiàn)！？窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器1. 由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的 ；( )dh n2. 由 得到因果、 有限長的單位抽樣響應(yīng) ;( )dh n( )h n3. 對 加窗得到較好的頻率響應(yīng)。( )h n理想頻率響應(yīng)()jdHe22cc1思路與方法：思路與方法：設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：1(

13、 )()2jj nddh nHeed12ccjnedsin()cnn則：特點： 無限長 非因果 偶對稱解決方法： 截短， 移位 保留( )(2)dh nh nM,0,1,.,nM即：隱含著使用了窗函數(shù)n時域的乘積頻域的卷積0( )( )MnnH zh n z于是：注意： 是因果的，且是線性相位的，即( )2M 即事先給一線性相位2()jjMdHee為了省去每次的移位，可以令： 在通帶內(nèi)2()0j MjdeHe0cc這樣：( )H z21sin(2)( )2(2)ccjMj ncdnMh neednM( )( )dh nh n0,1,.nM于是：使用了矩形窗上式的的表達式及設(shè)計 的思路可推廣到高

14、通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實際上，給定一個 ，只要能積分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器 。( )dh n( )H z()jdHe( )H z如何設(shè)計FIR濾波器？n上述分析表明，關(guān)鍵在于窗函數(shù)的設(shè)計n如何由技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為窗函數(shù)的設(shè)計參數(shù)呢？n頻帶指標(biāo)n依采樣頻率的歸一化n頻帶起伏指標(biāo)n簡化為對于較小的passn指標(biāo)轉(zhuǎn)化為n窗函數(shù)和這些技術(shù)指標(biāo)之間的關(guān)系如何呢？也就是說具體的窗函數(shù)如何同這些指標(biāo)相對應(yīng)。n進一步的工程簡化 窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對窗函數(shù)提出那幾方面的要求？n

15、3 dB 帶寬（主瓣寬度）越小越好帶寬（主瓣寬度）越小越好n旁瓣起伏越小越好旁瓣起伏越小越好n旁瓣衰減速度越快越好（過渡帶寬度越小越好）旁瓣衰減速度越快越好（過渡帶寬度越小越好）nKaiser窗nKaiser窗的設(shè)計參數(shù)為,Nn同指標(biāo)參數(shù)如何對應(yīng)呢？010203000.51 boxcar-0.500.5-60-40-200010203000.51 triang-0.500.5-100-500010203000.51 hamming-0.500.5-100-500常見的幾種窗函數(shù)及其對應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)常見的幾種窗函數(shù)及其對應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)計步驟n不同的窗函數(shù)的設(shè)計在于其參數(shù)同指標(biāo)要求之間的

16、對應(yīng)關(guān)系不同；n無外乎窗口的長度如何確定，窗口的形狀參數(shù)如何同指標(biāo)相對應(yīng)；n工程設(shè)計中通常采用簡化的經(jīng)驗設(shè)計公式，具體的內(nèi)容可以查工程手冊得到頻率采樣法（時域的設(shè)計方法）n對于所要求的一個任意的頻率響應(yīng) 可以采用頻域采樣求和的方式來近似()H j1 ()iMjnddiiMhnHeN2iiN() iMjndidnMHh n en然后對于所得到的 應(yīng)用前面介紹的窗函數(shù)得到最后的沖激響應(yīng) h n dh nw n h nMclear allclffc=15; %kHz%fs=40; %kHz%f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0,

17、0;axis(-fs/2,fs/2,-0.2,1.2)hold onplot(f,Df)xlabel(analog frequency f in kHz)title(desired AF frequency response D(f)gridhold offpauseclfw=2*pi*f/fs;Dw=Df;axis(-pi,pi,-0.2,1.2)hold onplot(w,Dw)xlabel(digital frequency w in rad)title(desired DF frequency response D(w)gridhold offpauseclfN=21; M=(N-1)

18、/2;delta_f=fs/N;fk=-fs/2*(1-1/N): delta_f : fs/2*(1-1/N);Dfk=(1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc)/2;axis(-fs/2,fs/2,-0.2,1.2)hold onplot(fk,Dfk,*)xlabel(analog frequency f in kHz)title(samples of D(f)gridf = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;plot(f,Df,r)hold offpauseclfk=-M:M;Dk=Dfk;axis(-M,M,-0.2

19、,1.2)hold onbar(k,Dk,0) plot(k,Dk,*)plot(-M,M,0,0)xlabel(k)title(D(k)gridhold offpauseclfj=sqrt(-1);wi=2*pi*(-M:M)/N;for k=-M:M d(k+M+1)=Dk*exp(-j*wi*k)/N;end dk=real(d);k=-M:M;axis(-M,M,-0.3,0.8)hold onbar(k,dk,0) plot(k,dk,*)plot(-M,M,0,0)xlabel(k)title(d(k)gridhold offpauseclfk=0:N-1;hn=dk;axis(0

20、,N-1,-0.3,0.8)hold onbar(k,hn,0) plot(k,hn,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(rectangular windowed h(n)gridhold offpauseclfi=1;Hf=0;for f=-fs/2:(fs/200):fs/2 Hf(i)=hn*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1); i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis(-fs/2,fs/2,-0.3,1.2)hold onplot(f,Hf_abs)plot(-fs/2,fs/2,0,

21、0,k)xlabel(f in kHz)title(H(f),rectangular windowed)f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0, 0;plot(f,Df,k-)plot(fk,Dfk,k*)gridhold offpauseclfwhm=0.54-0.46*cos(2*pi*(0:N-1)/(N-1);axis(0,N-1,-0.3,1.2)hold onbar(0:N-1,whm,0) plot(0:N-1,whm,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(Hamming window)

22、gridhold offpauseclfhn_hm=hn.*whm;axis(0,N-1,-0.3,1.2)hold onbar(0:N-1,hn_hm,0) plot(0:N-1,hn_hm,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(Hamming windowed H(n)gridhold offpauseclfi=1;Hf=0;for f=-fs/2:(fs/200):fs/2 Hf(i)=hn_hm*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1); i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis(-fs/2,

23、fs/2,-0.3,1.2)hold onplot(f,Hf_abs)plot(-fs/2,fs/2,0,0,k)xlabel(f in kHz)title(H(f),Hamming windowed)f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0, 0;plot(f,Df,k-)plot(fk,Dfk,k*)gridhold offpauseclfL=201;P=(L-1)/2;delta_f=fs/L;fk=-fs/2*(1-1/L): delta_f : fs/2*(1-1/L);Dfk=(1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc)/2;wi=2*pi*(-P:P)/L;for k=-P:P d(k+P+1)=Dfk*exp(-j*wi*k)/L;end dk=real(d);k=-P:P;axis(-P,P,-0.3,0.8)hold onbar(k,dk,0) plot(-P,P,0,0)xlabel(k)title(d(k),LN)gridhold offpauseclfhn=dk(P-M+1:P+M+1);k=0:N-1;axis(0,