第三節(jié) 分部積分法九江學院

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應用格林公式及其應用(2)(2) 一、曲線積分與路徑無關的定義一、曲線積分與路徑無關的定義 二、曲線積分與路徑無關的條件二、曲線積分與路徑無關的條件 三、二元函數(shù)的全微分的求積三、二元函數(shù)的全微分的求積 四、小結四、小結 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關關, ,一、曲線積分與路徑無關的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關關. .上頁上頁下頁下頁

2、返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. . 定理定理2 2二、曲線積分與路徑無關無關的條件設開區(qū)域設開區(qū)域 是一個單連通域是一個單連通域, 函數(shù)函數(shù) G 在在 內(nèi)具有一階連內(nèi)具有一階連 ),(),(yxQyxPG續(xù)偏導數(shù)續(xù)偏導數(shù),則曲線積分則曲線積分 在在 LQdyPdx 內(nèi)與路徑無關內(nèi)與路徑無關 （或沿（或沿 內(nèi)任意閉曲內(nèi)任意閉曲 GG 線的曲線積分為零）的充要條件是線的曲線積分為零）的充要條件是 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個個單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階

3、連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可有關定理的說明：有關定理的說明：上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積 的充要條件是等式的充要條件是等式 xQyP 定理定理3 3設開區(qū)域設開區(qū)域 是一個單連通域是一個單連通域, 函數(shù)函數(shù) G在在 內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 ),(),(yxQyxPG 連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù), 則則 dyyxQdxyxP),(),( 在在 內(nèi)為某一函數(shù)內(nèi)為某一函數(shù) 的全微分的全微分 G),(yxu在在 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. G上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xQyP 若若 ),(),(1100yx

4、ByxAQdyPdx則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例5：驗證：22yxydxdxy在右半平面（x0）里是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。解：在例4中已經(jīng)知道，令：2222 yxxQyxyp就有：xQyxxyyP)(2222在右半平面里，22yxydxdxy是某個函數(shù)的全微分。上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回A（1，0）C（x,y)B(x,0)取積分路線如圖所示，利用公式（6）得所

5、求函數(shù)為：),()0, 1(22),(yxxyyxydxdyxu0YXBCxyABxyyxydxdyxydxd2222yyyxxd0220 xyarctan上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例6：驗證：在整個xoy面里，yxydxdxy22是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。解：現(xiàn)在yxyp22xQ 且：xQxyyp2在整個xoy面里恒成立，因此在整個xoy面里，yxydxdxy22是某個函數(shù)的全微分。上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回取積分路線如圖所示，利用公式（6）得求函數(shù)為：yx0A（x，0）B(x,y)yxyxydxdxyyxu2),()0, 0(2)

6、,(yxOAAByxydxdxyydxdxy2222yyydx02022202yxydxyy上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 1 1 計計算算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其其中中L為為由由點點)0, 0(O到到點點)1, 1(B的的曲曲線線弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原積分與路徑無關原積分與路徑無關 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 2 2 設設曲曲線線積積分分 Ldyxydxxy)(2與與路路徑徑無無關關, 其其中中 具具有

7、有連連續(xù)續(xù)的的導導數(shù)數(shù), 且且0)0( ,計計算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.積積分分與與路路徑徑無無關關xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回四、小結與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(

8、),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關關內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 填空題填空題: :1 1、 設閉區(qū)域設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設設D

9、為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關的充要條件是內(nèi)與路徑無關的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設設D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導數(shù)導數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習習 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回

10、返回二、二、 計算計算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗證格林公式的正確性驗證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整個在整個xoy面面內(nèi)與路徑無關內(nèi)與路徑無關, ,并計算積分值并計算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計算下列曲線積分計算下列曲線

11、積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點上由點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)的一段??；的一段??；上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點和是過原點和)1,1(A, ,)6,2(B且其對稱軸垂直于且其對稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , AMB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計算六、計算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不

12、經(jīng)過原點的光滑閉曲為不經(jīng)過原點的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時針方向取逆時針方向) )七、驗證七、驗證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個個xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個樣一個),(yxu. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回八、試確定八、試確定 , ,使得使得dyryxdxryx 22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中22yxr , ,并求并求),(yxu. .九、設在半平面九、設在半平面0 x內(nèi)有力內(nèi)有力)(3jyixrkF 構成力構成力場場, ,其中其中k為常數(shù)為常數(shù), , 22yxr . .證明在此力場中證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關場力所作的功與所取的路徑無關 . .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回練習題答案練習題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四、283a . . 五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ； 2 2、-2-2. .七、七、1 1、當、當所所包包圍圍L的的D區(qū)區(qū)域域不包