1991考研數(shù)一真題及解析(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1) 設(shè) 則=_.(2) 由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分=_.(3) 已知兩條直線的方程是；,則過且平行于的平面方程是_.(4) 已知當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小,則常數(shù)=_.(5) 設(shè)4階方陣,則的逆陣=_.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1) 曲線 ( )(A) 沒有漸近線 (B) 僅有水平漸近線(C) 僅有鉛直漸近線 (D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線(2) 若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式,則等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 已知級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù)等于 ( )

2、(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 設(shè)是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,是在第一象限的部分,則等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 (5) 設(shè)階方陣、滿足關(guān)系式,其中是階單位陣,則必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1) 求.(2) 設(shè)是曲面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù).(3) ,其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體.四、(本題滿分6分)在過點(diǎn)和的曲線族中,求一條曲線,使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分.)將函數(shù)展開成以2為

3、周期的傅立葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)的和.六、(本題滿分7分.)設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn),使.七、(本題滿分8分.)已知,及.(1) 、為何值時(shí),不能表示成的線性組合？(2) 、為何值時(shí),有的唯一的線性表示式？并寫出該表示式.八、(本題滿分6分)設(shè)為階正定陣,是階單位陣,證明的行列式大于1.九、(本題滿分8分)在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段長(zhǎng)度的倒數(shù)(是法線與軸的交點(diǎn)),且曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與軸平行.十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)(1) 若隨機(jī)變量服從均值為2,方差為的正態(tài)分布,且,則=_.(2

4、) 隨機(jī)地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率為_.十一、(本題滿分6分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 ,求隨機(jī)變量的分布函數(shù).1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即如果 , 則 .所以 ,再對(duì)求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得.(2)【答案】【解析】這是求隱函數(shù)在某點(diǎn)的全微分,這里點(diǎn)的含義是.將方程兩邊求全微分,由一階全微分形式不變性得,再由全微分四則運(yùn)算法則得 ,令,得,即.(3)【答案】【解析

5、】所求平面過直線,因而過上的點(diǎn)；因?yàn)檫^平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且兩向量不共線,于是平面的方程,即.(4)【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以有所以 .因?yàn)楫?dāng)時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小,所以,故.(5)【答案】.【解析】為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.根據(jù)本題的特點(diǎn),若知道分塊求逆法,則可以簡(jiǎn)單解答.注意： ,.對(duì)于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律：,則求的伴隨矩陣.如果,這樣.再利用分塊矩陣求逆的法則：,易見.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)?所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為,所以為鉛直漸近線

6、,所以為水平漸近線.所以選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)在其間斷點(diǎn)處有,則是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng),則為函數(shù)的水平漸近線.(2)【答案】(B)【解析】令,則,所以,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,這是一個(gè)變量可分離的微分方程,即.解之得,其中是常數(shù).又因?yàn)?代入,得,得,即.(3)【答案】(C)【解析】因?yàn)?(收斂級(jí)數(shù)的結(jié)合律與線性性質(zhì)),所以 .而 ,故應(yīng)選(C).(4)【答案】(A)【解析】如圖,將區(qū)域分為四個(gè)子區(qū)域.顯然,關(guān)于軸對(duì)稱,關(guān)于軸對(duì)稱.令 ,由于對(duì)及對(duì)都是奇函數(shù),所以 .而對(duì)是偶函數(shù),對(duì)是奇函數(shù),故有,所以 ,故選(A).(5)【答案】(D)【解析】矩陣的乘法公式?jīng)]有交

7、換律,只有一些特殊情況可以交換.由于、均為階矩陣,且,對(duì)等式兩邊取行列式,據(jù)行列式乘法公式,得到、,知、均可逆,那么,對(duì)于,先左乘再右乘有 ,故應(yīng)選(D).其實(shí),對(duì)于先右乘再左乘,有.三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1)【解析】這是型未定式求極限.令,則時(shí),所以,所以 .因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以 ,故 .(2)【解析】先求方向的方向余弦,再求,最后按方向?qū)?shù)的計(jì)算公式求出方向?qū)?shù).曲面在點(diǎn)處的法向量為,在點(diǎn)處指向外側(cè),取正號(hào),并單位化得 又 ,所以方向?qū)?shù).(3)【解析】由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成的旋轉(zhuǎn)面方程是.于是,是由旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所圍成.曲面與平面的交線是.選用柱坐標(biāo)變換,令,于是,因此 .

8、四、(本題滿分6分)【解析】曲線,則,所以 .對(duì)關(guān)于的函數(shù)兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),其中,并令得.所以,且 .故為函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn).故所求的曲線為.五、(本題滿分8分.)【解析】按傅式級(jí)數(shù)公式,先求的傅式系數(shù)與.因?yàn)榕己瘮?shù),所以 , ,.因?yàn)樵趨^(qū)間上滿足狄利克雷收斂定理的條件,所以 .令,有,所以,.又 ,所以, ,即 .六、(本題滿分7分.)【解析】由定積分中值定理可知,對(duì)于,在區(qū)間上存在一點(diǎn)使得,即.由羅爾定理可知,在區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn),使得.七、(本題滿分8分)【解析】設(shè),按分量寫出,則有.對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換:第一行分別乘以有、加到第三行和第四行上,再第二行乘以、加到第三行和第四

9、行上,有,所以,當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解.即是不存在使得成立,不能表示成的線性組合；當(dāng)時(shí),方程組有唯一解,故有唯一表達(dá)式,且.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則(1) 有唯一解 (2) 有無(wú)窮多解 (3) 無(wú)解 不能由的列向量線表出.八、(本題滿分6分)【解析】方法1：因?yàn)闉殡A正定陣,故存在正交矩陣,使,其中,是的特征值.因此 兩端取行列式得 ,從而 .方法2：設(shè)的個(gè)特征值是由于為階正定陣,故特征值全大于0.由為的特征值可知,存在非零向量

10、使,兩端同時(shí)加上,得.按特征值定義知是的特征值.因?yàn)榈奶卣髦凳撬鼈內(nèi)笥?,根據(jù),知.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.九、(本題滿分8分)【解析】曲線在點(diǎn)處的法線方程為 (當(dāng)時(shí)),它與軸的交點(diǎn)是,從而.當(dāng)時(shí),有,上式仍然成立.因此,根據(jù)題意得微分方程,即.這是可降階的高階微分方程,且當(dāng)時(shí),.令,則,二階方程降為一階方程,即.即,為常數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,即,所以.分離變量得 .令,并積分,則上式左端變?yōu)?.因曲線在上半平面,所以,即.故 .當(dāng)時(shí), 當(dāng)前取+時(shí), ；當(dāng)前取時(shí),；所以 .十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)(1)【解析】一般說來(lái),若計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率,應(yīng)該已知分布的兩個(gè)參數(shù)和,否則應(yīng)先根據(jù)題設(shè)條件求出,再計(jì)算有關(guān)事件的概率,本題可從,通過查表求出,但是注意到所求概率即是與之間的關(guān)系,可以直接由的值計(jì)算出.因?yàn)?所以可標(biāo)準(zhǔn)化得 ,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)概率的計(jì)算公式,有,.由正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)稱性可得到 .(2)【解析】設(shè)事件=“擲的點(diǎn)和