利用數(shù)列極限的定義證明

1、練習(xí)1、 利用數(shù)列極限的定義證明.（1）證明：（2）證明：（3）證明：（4）證明：（5）證明：（6）證明：（7）證明：（8）證明：（9）證明：（10）證明：（11）證明：（12）證明：（13）證明： 當(dāng)時(shí)，存在，對(duì)時(shí)，有（14）證明：（15）證明： 由 故對(duì)上述，取，有.（16）證明：（17）證明：（18）證明：（19）證明：設(shè)，則，所以. 因此有, 有（20）證明：，有2證明下列數(shù)列是收斂的。（1）證明：遞增，又因?yàn)楣蕟握{(diào)有界，收斂.（2）證明：，所以所以有下界，收斂.（3）證明：遞增，又因?yàn)楣适菃握{(diào)有界的，收斂.（4）證明：遞增，又因?yàn)楣适菃握{(diào)有界的，收斂. （5）證明：，又故是單調(diào)有界的

2、，收斂. （6）證明：遞增，又因?yàn)橛傻?，故單調(diào)有界，收斂. （7）證明：，所以，減少，又，有下界，收斂.（8）證明：，遞減，又因?yàn)楣蕟握{(diào)有界，收斂.（9）證明：，有（10）證明：由，所以.3證明數(shù)0和1不是下列數(shù)列的極限。（1）證明：（2）證明： （3）證明： 4證明下列數(shù)列沒(méi)有極限.（1）證明：，故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列，所以數(shù)列沒(méi)有極限.（2）證明：，故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列，所以數(shù)列沒(méi)有極限.（3）證明：，故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列，所以數(shù)列沒(méi)有極限.（4）證明：，故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列，所以數(shù)列沒(méi)有極限.（5）證明：（6）證明：，故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列，所以數(shù)列

3、沒(méi)有極限.（7）證明：（8）證明： （9）證明：存在 對(duì)任意，存在正整數(shù)， ，有（10）證明：5已知，求（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：6、已知，試證明下列等式成立.（1） 證明：由（2） 證明：當(dāng)時(shí)，使得，有；若，由，于是 （3）證明： 則 ， 可得，故，有，則（4）證明：，則（5）證明：（6）證明：7、求下列極限.（1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） （25） （2

4、6） （27） （28）解：（1），（2）0，（3）0，（4），（5），（6），（7）0，（8）1，（9），（10）1，（11），（12），（13）1，（14）-1，（15），（16）（17）0，（18），（19），（20）-1，（21）1，（22）0，（23）0，（24）5，（25），（26），（27），（28）0.（18） （19）8、證明：（1） 證明：令， 得，取，則 有，即當(dāng)時(shí)，遞減，又因?yàn)椋邢陆?，故存在極限，記為，對(duì)兩端取極限，得.（2）證明：當(dāng)時(shí)，記，由貝努利不等式得 所以，即，有.當(dāng), 則，綜上，.（3） 證明：，所以遞減，又因?yàn)?，有下界，故存在極限，記為，對(duì)兩端取極限，得.

5、（4） 證明：證明: 設(shè)，有，則（5） 證明：令，得，取，則 有，即當(dāng)時(shí)，遞減，又因?yàn)?，有下界，故存在極限，記為，對(duì)兩端取極限，得.（6）證明：當(dāng)時(shí)，由，知9、求極限.（1） 解：原式=（2） 解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式=（5） 解：原式=所以 （6） 解：原式=（7） 解：原式=（8） 解：原式=（9） 解：原式=（10）解：原式（11） 解：原式=（12） 解：原式=（13） 解：原式=3（14） 解：原式=（15） 解：原式=（16）解：由 所以 .10、求極限.（1） 解：原式=（2）解：原式=（3） 解：原式=（4） 解：原式=（5） 解：原式=（6） 解：原式 由

6、1.1練習(xí)題32(4)（7） 解：（8） 解： （9） 解：原式=（10） 解：原式=（11）解：原式=（12）解：原式=（13）解：11、證明下列數(shù)列有極限并求極限.（1）證明：.因?yàn)椋瑒t所以，遞增數(shù)列. 極限存在，設(shè)為，對(duì)兩端取極限，有，得.（2）證明：因?yàn)?，所以，故. 又，所以遞減數(shù)列， 極限存在，設(shè)為，對(duì)兩端取極限，有，得.（3）證明：，由遞推關(guān)系可知. 因?yàn)?，設(shè)，那么, 遞增數(shù)列. ，設(shè)，則，即. 極限存在，設(shè)為，對(duì)兩端取極限，有，得.（4）證明：，由遞推關(guān)系可知. 又又因?yàn)?，所以為遞減數(shù)列，極限存在，設(shè)為，對(duì)兩端取極限，有，得.（5）證明：，顯然 . , 設(shè)，所以，即當(dāng)時(shí)，遞減，故極限存在，設(shè)為，有，得.12、設(shè)與是任意正數(shù)且. 證明：數(shù)列收斂于. 并利用這一結(jié)論求下列各數(shù)的近似值.（1） 精確到（2） 精確到（3） 精確到證明：顯然，又因?yàn)椋? 又，有，遞減，有下界，故極限存在，設(shè)為，有 .（1） 取,當(dāng)時(shí),;（2） 取,當(dāng)時(shí),;（3）取,當(dāng)時(shí),13、求極限.（1） 解：原式=（2）解：原式=（3） 解：（4）解：原式=（5） 解：原式=（6）解：原式=（7） 解：原式= （8）解：原式=14、試證明下列數(shù)列或發(fā)散到或，或?yàn)闊o(wú)窮大數(shù)列.（1） 證明：，即（2） 證明：，即（3） 證明：，即（4） 證明：， &#