包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學效應修正模型

1、第20卷第3期半導體學報Vol.20,No.31999年3月CHINESEJOURNALOFSEMICONDUCTORSMar.,1999包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學效應修正模型馬玉濤李志堅劉理天(清華大學微電子學研究所北京100084)摘要量子力學效應對于深亞微米MOSFET特性的影響隨著襯底濃度的增加和柵氧層厚度較薛定諤方程在拋物線勢壘下的數(shù)值解和三角勢壘下的解析解驗證了MOS結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)量子力學效應三角勢壘近似的正確性.在計算弱反型區(qū)量化層內(nèi)子帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,提出量子化有效態(tài)密度和經(jīng)典有效態(tài)密度的概念,分析了載流子在子帶中的分布情況,討論了量子力學效地揭示了量子力學效應影響

2、開啟電壓的物理實質(zhì),并給出了與實驗數(shù)據(jù)吻合的結(jié)果.EEACC:2530F,2560B1引言隨著MOS器件向深亞微米領(lǐng)域發(fā)展,按比例縮小規(guī)律要求襯底濃度不斷增大柵氧厚17-3度不斷減小.當柵長減小到0125m后,襯底濃度可達到5×10cm,柵氧厚度則下降到10nm以下1.這樣,即使在弱反型區(qū)MOS結(jié)構(gòu)硅表面也能形成很強的電場.當溝道區(qū)垂直方向電勢的變化尺度可以和電子波長相比擬時,溝道區(qū)出現(xiàn)量子化,能級產(chǎn)生分裂,原來連續(xù)的能帶變成一系列二維子帶2,3.能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度的變化,會影響載流子的分布,從而影響到MOS器件的開啟特性.實驗結(jié)果35表明,當襯底濃度達到5×1017cm-3

3、時,開啟電壓的漂移可達到011V以上.對開啟電壓漂移的物理實質(zhì)作深入分析并在開啟電壓的解析模型中引入量子力學效應是非常重要的.通常對于開啟電壓量子力學效應的解析修正都是基于以下假設4,6:(1)反型區(qū)采用三角勢壘近似;(2)載流子只占據(jù)最低能帶(基帶);(3)載流子峰值濃度偏離界面將導致表面勢有Enz的增量(En為表面電場,z為量子化導致的載流子厚度的增量).文獻4中給出的開啟電壓量子力學修正模型中引入了三個修正項:第一項是由于分立馬玉濤男,1974年出生,博士生,從事半導體器件物理特性、器件模型等研究李志堅男,1928年出生,教授、中國科學院院士,從事半導體器件、微電子機械、系統(tǒng)集成等研究劉

4、理天男,1947年出生,教授,從事半導體器件、集成傳感器、微電子機械研究1998207209收到,1998211223定稿220半導體學報20卷能級偏離導帶底造成的等效禁帶變寬,第二項是載流子峰值濃度偏離界面導致的Enz的表面勢的增量,第三項是襯底高摻雜引起的禁帶變窄效應7.我們認為以往的模型主要有下述三個問題:(1)反型層采用三角勢壘近似和載流子只占據(jù)基帶的假設的正確性需要進行驗證;(2)在MOS器件剛剛開啟時,載流子只占空間電荷區(qū)總電荷量的很小一部分,其分布導致Enz的表面勢的增量沒有充分的理論依據(jù);(3)高摻雜引起的禁帶變窄效應僅僅是在導帶底產(chǎn)生帶尾,其對開啟電壓漂移的影響需要進一步分析

5、.深入分析表明:量子力學效應對開啟電壓的影響體現(xiàn)在兩個反面:一方面,電子的第一個子帶帶底高于導帶底,等效于禁帶變寬,減小載流子的濃度;另一方面,二維多子帶結(jié)構(gòu)相對于三維連續(xù)帶結(jié)構(gòu)的差別直接導致載流子分布的變化.而后者在以往的模型中都沒有考慮到.本文在耗盡近似下利用有限差分法求解薛定諤方程的基礎(chǔ)上討論了通常采用的三角勢壘近似的正確性,并從子帶結(jié)構(gòu)出發(fā)分析了量子力學效應導致開啟電壓漂移的物理實質(zhì),進而在定量分析量子力學效應影響開啟電壓的兩個因素的基礎(chǔ)上引入量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的概念,并給出了開啟電壓的量子力學效應修正模型.2三角勢壘近似的正確性三角勢壘情況下求解薛定諤方程可以得到解析解2.假定勢

6、壘為:qFszz0(z)=z<0在有效質(zhì)量近似下求解薛定諤方程:22(z)i=02+Ei+q2m3dz(1)(2)可以得到:3m3qFs󰃗2)1󰃗z-i(z)=Ai(2(Ei󰃗qFs)(3)42󰃗3其中Ei是第i個能級:Ei=22m31󰃗3qFsi+2(4)(3)式中的Ai(x)為Airy函數(shù).但在實際的MOS結(jié)構(gòu)耗盡區(qū)或反型區(qū),其勢壘為拋物線型.拋物線勢壘下是得不到解析解的.經(jīng)典統(tǒng)計理論表明:載流子大部分分布在距SiO22(qFs)的范圍內(nèi).量子力學理論的分析Si界面kBT󰃗同樣得出:較低的

7、幾個能級其能態(tài)也主要取決于勢壘底部的電勢分布.因此,在三角勢壘近似中Fs通求解薛定諤方程,并同三角勢壘近似下的解析解比較,結(jié)果在圖1中給出.圖1三角近似和拋物線近似結(jié)果比較由圖1可以看出,三角勢壘近似下的解析解和3期馬玉濤等:包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學效應修正模型221拋物線近似下的數(shù)值解在襯底濃度小于1018cm-3時,誤差是很小的.當襯底濃度大于1018cm時,最低能級仍能有非常好的近似,計算結(jié)果表明,當襯底濃度大于1018cm-3時,80%以上的載流子占據(jù)在最低能級上.因此,以三角勢壘近似來計算弱反型區(qū)的能帶結(jié)構(gòu)是合理的.3子帶結(jié)構(gòu)及電子分布模型-3量子化后的電子能態(tài)由一

8、系列的二維子帶組成,其能帶結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密度明顯不同于經(jīng)典理論.勢壘區(qū)的電子能帶結(jié)構(gòu)的變化引起載流子分布的變化,從而影響表面達到強反型的條件,導致開啟電壓的漂移.已有的對開啟電壓的量子力學修正模型中都沒有考慮到二維能帶結(jié)構(gòu)對電子分布的影響,同時總是假定只有最低能級被電子占據(jù).我們引入有效態(tài)密度的概念來表征載流子在多個能級下的分布情況,并同經(jīng)典分布作比較,進而導出開啟電壓的量子力學修正解析模型.以Si(100)表面為例,量子化前的6個簡并的導帶分裂成兩組能谷(i=1,2),其簡并度分別為g=(2,4),兩種能谷的態(tài)密度分別為:Di=2i=1,2(5)式中mdei是第i個能谷的態(tài)密度有效質(zhì)量.Eij為

9、第i個能谷的第j個能級,以Eij為帶底的二維子帶上分布的電子數(shù)為:Nij=EijijDiexpkBTdE=DikBTexpkBT(6)總的載流子濃度為:Nqm=Nij=expkBTDijiBkTexpkBT(7)其中E10為第一個分立能級;s為表面勢.(注:式中能級Eij的值是相對于界面處導帶底的值).我們計算了T=300K,表面剛達到強反型時最低能級上分布的電子占電子總量的比例,結(jié)果在圖2中給出.由結(jié)果可以看出,電子只分布在基帶的假設,在很大的濃度范圍內(nèi),并不能反映MOS結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)的電子分布的實際情況.定義量子化有效態(tài)密度NNcqmcqm:kBTkBT=DijiBkTexp(8)則:Nqm

10、=Ncqmexpexp-kBT(9)圖2基帶電子占電子總量的比例經(jīng)典理論下:Nclass(z)=Ncexpexp-kBTkBT(10)經(jīng)典分布的載流子濃度為:222半導體學報20卷Nclass=dNclass(z)dz=exp0kBTcclass0dNcexp-dzkBT(11)定義經(jīng)典有效態(tài)密度N:cclassN=0dNcexp-dzkBTkBT,另一個就是NkBT(12)則:Nclass=Ncclassexp(13)比較(9)式和(13)式可以看出:影響載流子面密度的因素有兩個,一個是第一個分立能級與導帶底之差exp-了量子化有效態(tài)密度和經(jīng)典有效態(tài)密度的計算結(jié)果.從圖中可以看出,在整個濃度

11、范圍內(nèi)Ncqm大于Ncclass,表明考慮電子在多個子帶中的分布相對于經(jīng)中假定的量子力學效應引起的載流子分布的變化(峰值偏離界面)導致表面勢有Enz的增量,其作用等效為禁帶變寬.可見,該假定不能真實地反映量子力學效應對載流子分布的影響.文獻4中引入高摻圖3量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的比較雜導致禁帶變窄效應來補償該項假定引起的誤差.在下一節(jié)中可以看到:不借助高摻雜引起的禁帶變窄效應,只從量子力學效應的物理實質(zhì)出發(fā),我們的模型給出了同樣的結(jié)果.4開啟電壓的量子力學修正模型及計算結(jié)果我們應用前面給出的次開啟區(qū)載流子分布的量子力學模型和經(jīng)典模型計算剛達到強反型時表面勢之差,并推導開啟電壓的量子力學修正公式

12、.定義:(14)ENc=-kBTln(Ncqm󰃗Ncclass)則:Ncqm=Ncclassexp-ENkBT(15)(13)、(15)可得到MOS結(jié)構(gòu)Si表面剛達到強反型時由于量子力學效應而產(chǎn)比較(9)、生的表面勢的增量:(EN+E10)qm(16)s=q忽略可動電荷的影響,在耗盡近似下得到開啟電壓的量子力學修正公式為:qmVT=s1+2Coxb(17)其中:3期馬玉濤等:包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學效應修正模型223b=lnniq(18)在模型實際應用中,必須簡化ENc的計算.我們在4×1016cm-3到3×1018cm-3范圍內(nèi)計算了EN

13、c的值并用log(Nsub)的二次函數(shù)進行擬合,擬合結(jié)果由圖4給出,擬合的最大相對誤差不超過3%.圖5中給出了考慮量子力學效應(曲線(a)和不考慮量子力學效應(曲線(b)以及量子力學效應中只考慮單個子帶能級抬升影響(曲線(c)三種情況下,表面剛剛達到強反型時表面勢隨襯底濃度的變化情況.圖中可以看出,量子力學效應對于表面強反型的條件影響是很大的,同時可以看出:如果不考慮有效態(tài)密度的影響(即ENc),將導致更高的表面勢,從而使開啟電壓的量子力學修正結(jié)果偏大.圖4ENc的二次曲線擬合結(jié)果我們利用擬合的結(jié)果,按照上面給出的模型計算開啟電壓的量子力學效應修正,并與文獻4中給出的實驗結(jié)果相比較,結(jié)果見圖6

14、.圖5量子化效應對表面勢的影響圖6開啟電壓量子力學修正模型結(jié)果文獻4中的開啟電壓定義為給定源漏電壓(011V)和源漏電流(100nA(W󰃗L)下的柵電壓,開啟電壓的漂移量是實測結(jié)果與不考慮量子力學效應時的模擬結(jié)果之差.可以看出,不借助高摻雜導致禁帶變窄效應,只從量子力學效應的物理實質(zhì)出發(fā),我們的模型具有與文獻4中的模型相同的準確度.5結(jié)論本文首次通過對薛定諤方程的數(shù)值求解驗證了MOS結(jié)構(gòu)弱反型下量子力學效應分析中采用三角勢壘近似的正確性,并在分析量子化層中的子帶結(jié)構(gòu)和電子分布的基礎(chǔ)上引入224半導體學報20卷量子化有效態(tài)密度的概念,進而給出了開啟電壓的量子力學修正模型.該模型首

15、次計及了電子在多個子帶上分布的影響,反映了量子力學效應對開啟電壓的影響的真實的物理圖象,并給出了與實驗比較吻合的結(jié)果.致謝本文作者感謝本所的楊之廉老師和田立林老師、斯坦福大學的余志平博士給予的關(guān)心和幫助,以及與陳文松同學進行的有益的討論.參考文獻1G.Baccaranietal.,IEEETrans.ElectronDevices,1984,31(4):452.2F.Stern,Phys.Rev.B,1972,5(12):4891.3T.Andoetal.,Rev.Mod.Phys.,1982,54:437.4M.J.VanDortetal.,IEEETrans.ElectronDevices

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17、jian,LiuLitian(InstituteofMicroelectronics,TsinghuaUniversity,Beijing100084)Received9July1998,revisedmanuscriptreceived23November1998AbstractWithincreasingofthesubstratedopantconcentrationanddecreasingofthegateoxidethickness,theinfluenceofQuantumMechanicalEffects(QME)ondeep2submicronMOSFETcharacteri

18、sticsaregettingmoreandmoresignificant.ExperimentsresultsshowthatQMEcanresultinnoticeablethresholdvoltage(Vth)shift.Inthispaper,numericalsolutionwithparabolicpotentialwellandanalyticalsolutionwithtriangularwellarecompared,andthevalidityoftriangularwellapproximationisdemonstrated.Basedonthecalculationofthesubbandstructureinthequantizedregioninweakinversionregime,theconceptsofQuantumEffectiveStateDensityandClassicalEffectiveStat