東華大學數(shù)學建模競賽B題本科組

1、2016年度東華大學數(shù)學建模競賽（本科生組）B題 農(nóng)作物用水量預測及智能灌溉方法隨著水資源供需矛盾的日益加劇，發(fā)展節(jié)水型農(nóng)業(yè)勢在必行。智能灌溉應(yīng)用先進的信息技術(shù)實施精確灌溉，以農(nóng)作物實際需水量為依據(jù)，提高灌溉精確度，實施合理的灌溉方法，進而提高水的利用率。灌溉水利用系數(shù)是指在一次灌水期間被農(nóng)作物利用的凈水量與水源渠首處總引進水量的比值，它是衡量灌區(qū)從水源引水到田間作用吸收利用水的過程中水利用程度的一個重要指標，也是集中反映灌溉工程質(zhì)量、灌溉技術(shù)水平和灌溉用水管理的一項綜合指標，是評價農(nóng)業(yè)水資源利用，指導節(jié)水灌溉和大中型灌區(qū)續(xù)建配套及節(jié)水改造健康發(fā)展的重要參考。據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計分析，我國灌區(qū)平均水

2、利用系數(shù)僅為0.45，節(jié)水仍有較大空間。按照經(jīng)濟學的觀點，灌溉水量是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的生產(chǎn)資源的投入量，而作物產(chǎn)量是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)品的產(chǎn)出量，因此作物產(chǎn)量與水分之間存在著一種投入與產(chǎn)出的數(shù)學關(guān)系，這種關(guān)系被稱為水分生產(chǎn)函數(shù)。作物水分生產(chǎn)函數(shù)的單因子模型中自變量的形式可以為灌水量(W)、實際騰發(fā)量(ETa)、土壤含水量()等，因變量的形式可以為作物產(chǎn)量(Y)，平均產(chǎn)量(K=Y/W)，邊際產(chǎn)量(y=dY/dW)等。如圖1所示，若以W為自變量，水分生產(chǎn)函數(shù)的特征曲線一般可分三個階段：第一階段為報酬遞增階段，但沒有發(fā)揮生產(chǎn)潛力；第二階段報酬遞減階段；第三階段邊際產(chǎn)量為負，為不合理的生產(chǎn)行為。圖1. 水分生產(chǎn)函數(shù)的

3、三個階段示意圖作物水分生產(chǎn)函數(shù)無論對節(jié)水灌溉的區(qū)域規(guī)劃和系統(tǒng)評估，或是非充分灌溉的應(yīng)用均具有深刻意義。非充分灌溉是指在灌溉水不能完全滿足作物的生長發(fā)育全過程需水量的情況下，以作物水分生產(chǎn)函數(shù)為理論依據(jù)，將有限的水科學合理（非足額）安排在對產(chǎn)量影響比較大、并能產(chǎn)生較高經(jīng)濟價值的需水臨界期供水，從而建立合理的水量與產(chǎn)量關(guān)系及分配模式，在水分利用效率、產(chǎn)量、經(jīng)濟效益三方面尋求有效均衡，實現(xiàn)經(jīng)濟效益最大化。然而由于作物各生育階段水分對產(chǎn)量影響的機理甚為復雜，目前尚難用嚴格準確的物理方程來描述。問題1. 基于表1中作物1實測需水量與產(chǎn)量的對應(yīng)數(shù)據(jù)，建立該作物全生育期的水分生產(chǎn)函數(shù)的模型，即總產(chǎn)量與需水量

4、之間的解析關(guān)系，給出詳細過程及擬合效果。表1. 全生命周期實測需水量與產(chǎn)量處理號需水量（m3/畝）產(chǎn)量（kg/畝）1187.14247.632238.38361.183283.12430.374315.37462.895337.65476.886356.21483.257387.68483.058414.46472.019435.57456.2310456.82434.08問題2. 作物的全生育期可以分為若干個生育階段，以水稻為例，可以分為返青、分蘗、拔節(jié)孕穗、抽穗開花、乳熟、黃熟6個生育階段。不同階段灌溉水量不足均會對最終的產(chǎn)量有影響，表2為某地晚稻分蘗至乳熟各階段受旱情況對產(chǎn)量影響的數(shù)據(jù)。

5、基于表2的數(shù)據(jù)，利用附錄中材料，選取某類優(yōu)化算法，尋求最優(yōu)的作物水分生產(chǎn)函數(shù)模型，得到各階段的蒸發(fā)蒸騰量（可以理解為灌水量）與最終產(chǎn)量之間的關(guān)系。給出詳細過程，并將所得結(jié)果與常見的機理模型（見附錄）作對比。表2. 某地晚稻蒸發(fā)蒸騰量及產(chǎn)量處理編號處理特征分蘗(mm)拔節(jié)孕穗(mm)抽穗開花(mm)乳熟(mm)產(chǎn)量(kg/hm2)0充分灌溉148.1111.8124.789.47138.51輕旱113.296.692.167.25757.02重旱107.688.384.964.24576.53輕旱133.991.0106.970.36111.04重旱132.177.993.965.04555.5

6、5輕旱128.299.485.378.75520.06重旱129.792.571.969.45329.57輕旱140.5112.9108.668.66345.08重旱135.3108.0101.765.06040.59中旱110.683.395.272.35076.010中旱128.490.483.473.65442.011中旱130.1102.694.761.46130.5問題3. 基于已有材料對于非充分灌溉的描述，結(jié)合表2晚稻蒸發(fā)蒸騰量與產(chǎn)量數(shù)據(jù)，選擇合適的作物水分生產(chǎn)函數(shù)（可以選擇已得到的模型或者機理模型），建立該地區(qū)水稻的非充分灌溉制度的優(yōu)化模型。在總供水量分別為充分灌溉總水量的40%

7、，60%，80%的情況下，解決供水量在各生育期（從分蘗到乳熟階段）合理分配的問題，應(yīng)包含階段變量、決策變量、狀態(tài)變量、系統(tǒng)方程、目標函數(shù)、初始條件及約束條件等描述（背景材料及提示見附錄），最后給出求解方案。附錄：A. 作物生育階段水分的數(shù)學模型（1）乘法模型。由各生育階段的相對騰發(fā)量或相對缺水量作自變量，用各階段連乘的數(shù)學式構(gòu)成階段效應(yīng)對產(chǎn)量總的影響的數(shù)學模型，稱為乘法模型。最常用的是Jensen模型，其中，為實際產(chǎn)量；為供水充足條件下作物最大產(chǎn)量；為作物生育期第i階段作物缺水敏感系數(shù)；為作物實際耗水量；為供水充足條件下作物需水量。（2）加法模型。由各生育階段i的相對騰發(fā)量或相對缺水量作自變量，用各自分別影響相加的數(shù)學式構(gòu)成對產(chǎn)量總影響的數(shù)學模型，稱加法模型。最常用的是Blank模型，其中，為不同階段缺水對產(chǎn)量的敏感系數(shù)。表4. Jensen模型和Blank模型的敏感系數(shù)模型分蘗拔節(jié)孕穗抽穗開花乳熟Jensen模型指數(shù)0.20900.70250.21990.1523Blank模型A系數(shù)0.05250.55750.29090.0607B. 非充分灌溉優(yōu)化模型背景材料及提示（1）決策變量及約束：各生育階段的灌溉水量Q，各階段初