有理數(shù)的乘方

1、1.6 1.6 有理數(shù)的乘方有理數(shù)的乘方明光市邵崗中學明光市邵崗中學 林乃永林乃永 若對折若對折100100次，算式中有幾個次，算式中有幾個2 2相乘？相乘？對折對折2 2次可裁成次可裁成4 4張，即張，即2 22 2張；張；對折對折3 3次可裁成次可裁成8 8張，即張，即2 22 22 2張；張；問題：問題： 若對折若對折1010次可裁成幾張？請用一個算式表示（不用算次可裁成幾張？請用一個算式表示（不用算出結(jié)果）出結(jié)果）試一試：試一試：將一張紙按下列要求對折。將一張紙按下列要求對折。 對折對折1010次裁成的張數(shù)用以下算式計算次裁成的張數(shù)用以下算式計算2 22 22 22 22 22 22

2、22 22 22 2是一個有是一個有1010個個2 2相乘的乘積式；相乘的乘積式；對折對折100100次裁成的張數(shù)，可用算式次裁成的張數(shù)，可用算式 計算，在這個積中有計算，在這個積中有100100個個2 2相乘。這么長的算相乘。這么長的算式有簡單的記法嗎？式有簡單的記法嗎？100222 2）如圖，邊長為）如圖，邊長為2 的立方體，它的立方體，它的體積是：的體積是： ，可記：，可記： 。 1）如圖，邊長為）如圖，邊長為2的正方形，它的正方形，它的面積是的面積是_，可記作：，可記作： 。 22222面積面積體積體積222 22 222223 3= 8= 4a a a a 可記作：可記作： , 即即

3、a a a a= . 2 2 2 2 可記作： ，2 2 2 2 2 可記 作： ， 222n個2可記 作： ，n個個an個個a2 24 42 25 52 2n na an na an n想一想：想一想：1）上面各式具有什么共同特征？）上面各式具有什么共同特征？2）說一說小學里學習的什么樣的運算叫乘法？你能仿照）說一說小學里學習的什么樣的運算叫乘法？你能仿照乘法的定義，說說什么樣的運算叫乘方嗎？試一試。乘法的定義，說說什么樣的運算叫乘方嗎？試一試。3 3個個 相加可記為：相加可記為：4 4個個 相加可記為：相加可記為： 個個 相加可記為：相加可記為：2 2個個 相加可記為：相加可記為：a3aa

4、aa2aaa4aaaaaaaananaaan邊長為邊長為 的正方形的面積可記為的正方形的面積可記為a2aaa3aaaa那么那么4 4個個 相乘可記為：相乘可記為：a棱長為棱長為 的正方體的體積可記為：的正方體的體積可記為：個個 相乘又可記為：相乘又可記為：na? naaa?aaaaa個相同的因數(shù) 相乘，即 na naaa我們把它記作 ；na即nnaaaa 乘方的結(jié)果叫做冪。在 中， 叫做底數(shù)， 叫做指數(shù)。naan 讀作 的 次方，也可以讀作 的 次冪。aannna相同因數(shù)這種求幾個 的積的運算，叫做乘方。相同因數(shù)an底數(shù)底數(shù)冪冪指數(shù)指數(shù)anna讀作讀作a a的的n n次方次方; ;na看作是看

5、作是a的的n次方的結(jié)果時，也可讀次方的結(jié)果時，也可讀作作a的的n次冪次冪.（乘方的結(jié)果叫做冪）（乘方的結(jié)果叫做冪） 一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方，一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方，指數(shù)是指數(shù)是1通常省略不寫通常省略不寫.2次方又叫次方又叫平方平方，3次方又叫次方又叫立方立方。例如：例如：5就是就是51.1、口答：、口答： 把下列相同因數(shù)的乘積寫成冪的形式，并把下列相同因數(shù)的乘積寫成冪的形式，并說出底數(shù)和指數(shù)：說出底數(shù)和指數(shù)：（1） （-6）（-6） （-6）36底數(shù)是底數(shù)是 6，指數(shù)是，指數(shù)是 3（2）22223333423底數(shù)是底數(shù)是23指數(shù)是指數(shù)是 4溫馨提示：溫馨提示：冪的底數(shù)冪的底

6、數(shù)是分數(shù)或負數(shù)時，底是分數(shù)或負數(shù)時，底數(shù)應該添上括號！數(shù)應該添上括號?。? 3）在）在 中，中，1212是是 數(shù)，數(shù)，1010是是_數(shù)，數(shù)，讀作讀作 ；（4 4） 的底數(shù)是的底數(shù)是 ，指數(shù)是，指數(shù)是 ，讀，讀作作 ；7321012327的7次方32底指12的10次方請你說說下列各數(shù)表示什么？它們一樣嗎？請你說說下列各數(shù)表示什么？它們一樣嗎？（1）23 與與 32（2） 與與2)43(243（3） (-5)4 與與 -54對于分數(shù)的乘方，負數(shù)的乘方，書寫時一定要注意小括號。對于分數(shù)的乘方，負數(shù)的乘方，書寫時一定要注意小括號。 運算運算加加減減乘乘除除乘方乘方結(jié)果結(jié)果和差積商冪議一議議一議1.呢？

7、與相等？結(jié)果是否的意義是否相同？運算與44332-)2(2)2(答：相乘個負表示23)2(3的相反數(shù)相乘的積個表示2323所以它們的意義不相同8)2)(2)(2()2(3822223所以它們的運算結(jié)果相等相乘個負表示24)2(4的積的相反數(shù)相乘個負表示2424所以它們的意義不相同16)2)(2)(2)(2()2(416222224所以它們的運算結(jié)果不相等777底數(shù)底數(shù)指數(shù)指數(shù)-310-3-3102、把 寫成幾個相同因數(shù)相乘的形式5121111122222 3、把（-2） （-2） （-2）（-2）10個（-2）寫成冪的形式。1 02 在不會引起誤解的情況下，乘號也可以用在不會引起誤解的情況下，

8、乘號也可以用“”表表示。例如示。例如: :(-3)(-3)(-3) (-3)可寫成可寫成(-3)(-3)(-3)(-3)F觀察結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘方運算有什么觀察結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘方運算有什么規(guī)律，你能歸納出有理數(shù)乘方的法則嗎？規(guī)律，你能歸納出有理數(shù)乘方的法則嗎？1） = ， = = ， = = .433922284 41 13 32 22 23 32) = ， (-5)(-5)1 15 = = ，（4）(4)16(-4)(-4)2 2 = = ，(3) （3）（3）27(-3)(-3)3 3= = ，(-2)(-2)4 4（2）（2）（2）（2）16 = = ，(-1)(-1)5 5（1）

9、（1）（1）（1）（1） 1 3） = ， = ， = ， 0 01 1 0 0 02 2 0 0 0 03 3 乘方運算實際是乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，乘方運算實際是乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，可得乘方運算的法則：可得乘方運算的法則： 非零有理數(shù)的乘方，將其絕對值乘方，而結(jié)果的符非零有理數(shù)的乘方，將其絕對值乘方，而結(jié)果的符號是：號是： 正數(shù)的任何次乘方都取正號；正數(shù)的任何次乘方都取正號； 負數(shù)的奇次方取負號、負數(shù)的偶次方乘方取正號。負數(shù)的奇次方取負號、負數(shù)的偶次方乘方取正號。 0的正數(shù)次方是的正數(shù)次方是0.81256(4) (-1)11= -1 (為什么為什么?)1141 4 43

10、 3）（）（443 解：43434343例例1 計算計算：(1)(-3)2 (2) 1.53解：解：(1) (-3)2 = (-3)(-3)=9； (2) 1.53 =1.51.5 1.5 =3.375;（1 1） （2 2）（3 3） （4 4）（5 5） （6 6）8( 1)200812007( 1)31=1=1=-1=12008( 1)=17( 1)=-1(2) -1 -1的冪很有規(guī)律的冪很有規(guī)律: : -1 -1的的奇次奇次冪是冪是-1 -1 ， -1 -1的的偶次偶次冪是冪是1 1。(1) 1(1) 1的任何次冪都為的任何次冪都為 1 1。F 102 = (10)2 = F 103

11、= (10)3 =F 104 = (10)4 =F 105 = (10)5 =10000 1001000100 1000 10000觀察結(jié)果觀察結(jié)果, ,你能你能發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律什么規(guī)律? ?小組討論小組討論. .100000100000 100000 0.12 = (0.1)2 =0.13 = (0.1)3 = 0.14 = (0.1)4 = 0.15 = (0.1)5 =0.0010.00010.00001 0.010.001 0.001 0.000010.00001 0.010.010.0001 0.0001 規(guī)律規(guī)律: :正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù); ;負數(shù)的奇次冪是

12、負數(shù)負數(shù)的奇次冪是負數(shù), ,負數(shù)的偶次冪是正數(shù)負數(shù)的偶次冪是正數(shù)1010n n等于等于1 1后面加后面加n n個個0 00.10.1n n,1,1前面零的個數(shù)前面零的個數(shù)為為n n個個. .( (包括小數(shù)點前的包括小數(shù)點前的1 1個零個零) )例2 計算： 32; (4)8 (-2)3(-2.5)(2) 3 23;(3)(3 2)3;解:原式=-(33)=-9解:原式=3 8=24解:原式=63=216解:原式=8 (-8)(-2.5)=2.5先算乘方，后算乘除；先算乘方，后算乘除；如果遇到括號就先進行括號如果遇到括號就先進行括號里的運算。里的運算。思考：通過以上計算，對于乘除和乘方的混合運算

13、，你覺得有怎樣的運算順序？ 對于有理數(shù)的混合運算對于有理數(shù)的混合運算,應先應先乘方乘方,再再乘除乘除，后，后加減加減；同級運算，從左到右進行；如果有括號，；同級運算，從左到右進行；如果有括號，先做括號里的運算（按小括號、中括號、大括號先做括號里的運算（按小括號、中括號、大括號的次序進行）。的次序進行）。例例3 計算計算（1） -10+8 （2）2有理數(shù)運算順序有理數(shù)運算順序（4） （3）41)21()83()35()59(32F（2）)(4351543 解：原式= = =511計算：計算：（1）)(23512)()2(618)2(31）（）（解：原式31318 =18-1=17先算乘方，再算乘

14、除，最后算加減先算乘方，再算乘除，最后算加減你是怎么你是怎么運算的呢？運算的呢？ 計算：計算： )()3(95322解法一： 解：原式= = -11)(9911解法二： 解： 原式= =-6+（-5） =-11)(9)(99532點撥：點撥：在運算在運算過程中，巧用過程中，巧用運算律，可簡運算律，可簡化計算化計算討論交流：你認為哪種討論交流：你認為哪種方法更好呢？方法更好呢？隨堂練習隨堂練習)2()3(8)1(2計算：計算：)()2()2(100)2(322運算過程中要注意運算過程中要注意運算順序和符號運算順序和符號計算計算3211)2 . 0(5) 1(1515) 1 (3132343)()

15、2()(2( 解：原式= =30+0.2 =30.2 )(2515151251解：原式42332343313243)() 8(注意運算順序及注意運算順序及符號符號本題用乘法分配律本題用乘法分配律進行運算較簡單進行運算較簡單珠穆朗瑪峰是世珠穆朗瑪峰是世界的最高峰，它界的最高峰，它的海拔高度是的海拔高度是8848米米.把一張足把一張足夠大的厚度為夠大的厚度為0.1毫米的紙，連續(xù)毫米的紙，連續(xù)對折對折30次的厚度次的厚度能超過珠穆朗瑪能超過珠穆朗瑪峰峰.這是真的嗎？這是真的嗎？ 如果一層樓按高如果一層樓按高3 3米計算，把足夠長的厚米計算，把足夠長的厚0.10.1毫毫米的紙繼續(xù)折疊米的紙繼續(xù)折疊20

16、20次約有次約有104104米高，有米高，有3434層樓高；層樓高；繼續(xù)折疊繼續(xù)折疊3030次后有次后有1010萬多米高，有萬多米高，有1212個珠穆朗瑪個珠穆朗瑪峰高。峰高。分析：分析：（1 1）0.10.1毫米毫米2 22020=0.1=0.1毫米毫米10485761048576 =104.8576 =104.8576米米 34343=1023=102米米（2 2）0.10.1毫米毫米2 23030=0.1=0.1毫米毫米10737418241073741824 =107374.1824 =107374.1824米米 8844.43 12=106133.1612=106133.16這下你該

17、這下你該相信了吧相信了吧！ 古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋，為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應滿足這個大臣的一個要求。大臣說：“就在這個棋盤上放些米粒吧。第一格放一粒米，第二格放兩粒米，第三格放4粒米，然后是8粒米、16粒、32粒、一直到第64格。”“你真傻！就要這么一點米粒？”國王哈哈大笑。大臣說：“就怕您的國庫里沒有這么多米!” 你認為國王的國庫里有這么多米嗎？ 事實上，按照這個大臣的要求，放滿一個棋盤上的64個格子需要1+2+22+23+263264-1粒米。 264到底多大呢？ 答案是：18 446 744 073 709 551 616 細胞分裂示意圖細胞分裂示意圖 1個細胞個細胞30分鐘后分裂成分鐘后分裂成2個，經(jīng)過個，經(jīng)過5小時，小時，這種細胞由這種細胞由1個能分裂成多少個？個能分裂成多少個？2222222222=10個個2想一想想一想1.有理數(shù)的乘方的意義和相關概念。有理數(shù)的乘方的意義和相關概念。2.乘方的有關運算。乘方的有關運算。3.體會特殊到一般，具體到抽象的數(shù)學方法。體會特殊到一般，具體到抽象的數(shù)學方法。冪的底數(shù)是分數(shù)或負數(shù)時冪的底數(shù)是分數(shù)或負數(shù)時,底數(shù)應該添上括號底數(shù)應該添上括號.小結(jié)：1 1、乘方：求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方：求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘