公務(wù)員考試技巧：余數(shù)同余問題

1、余數(shù)同余問題在公務(wù)員考試的數(shù)量關(guān)系模塊中，余數(shù)相關(guān)問題是考查的傳統(tǒng)重點(diǎn)，也是令很多考生犯難的一種題型，更是公務(wù)員考試研究中心一直很重視的題型?，F(xiàn)公務(wù)員考試研究中心對(duì)常見的幾類余數(shù)同余題目給予分析，幫助考生輕松解決此類問題。按照?？嫉念}型，余數(shù)問題可以分為以下幾類：一、代入排除類型【例1】(江西2009)學(xué)生在操場(chǎng)上列隊(duì)做操，只知人數(shù)在90-110之間。如果排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人;則學(xué)生人數(shù)是多少?( )A.102 B.98 C.104 D.108【解析】像這樣的題目直接代入選項(xiàng)，看看哪個(gè)符合題目所給的條件，哪個(gè)就是正確的答案，毫無疑問，選項(xiàng)108滿足條件，選擇D

2、。二、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@一部分的知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)時(shí)候就已經(jīng)學(xué)過了，余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商余數(shù)(0余數(shù)<除數(shù))，但是在這里需要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：1、余數(shù)是有范圍的(0余數(shù)<除數(shù))，這需要引起大家足夠的重視，因?yàn)檫@是某些題目的突破口。2、由關(guān)系式轉(zhuǎn)變的余數(shù)基本恒等式也需要掌握：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)?！纠?】?jī)蓚€(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少?A.12 B.41 C.67 D.71【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍(0余數(shù)<除數(shù))，我們能夠確定除數(shù)>11。除數(shù)為

3、整數(shù)，所以除數(shù)12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)12×商+余數(shù)=12×5+11=71，因此被除數(shù)最小為71，答案選擇D選項(xiàng)。【例3】有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是?A. 216 B. 108 C. 314 D. 348【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即

4、210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。像上面這兩個(gè)題目，就是活用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來解題的，所以在對(duì)這類問題的練習(xí)過程中，一定要牢牢地把握這兩點(diǎn)。三、同余問題這類問題在考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。通過總結(jié)我們得出解決同余問題的核心口訣，如下表所示：同余問題核心口訣“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”余同取余：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+1和同加和：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+7

5、差同減差：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個(gè)數(shù)是 60n-1說明：在這里，n的取值范圍為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負(fù)數(shù)?！纠?】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示?【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A-1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。(4=2*2;5=1*5;6=2*3 最小公倍數(shù)=2*2*5*3=60)?【例5】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示?【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除

6、數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：A= 60n+7?！纠?】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示?【解析】除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的差相同，對(duì)應(yīng)的為“差同減差”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：60n-1。?根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問題。如：【例7】一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)?A. 5個(gè) B. 6個(gè) C. 7個(gè) D. 8個(gè)解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這兩個(gè)條件的數(shù)可以表示為，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的條件除以9余7，對(duì)應(yīng)的為“余同取余”，我們得到這個(gè)數(shù)可以表示為180n+7，由于這個(gè)數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個(gè)。（ 2014 聯(lián)考 上 1） 某 單位 組織 參加 理論 學(xué)習(xí) 的 黨員 和 入黨 積極分子 進(jìn)行 分組 討論， 如果 每組 分配 7 名 黨員 和 3 名 入黨 積極分子， 則