大連理工大學《矩陣與數(shù)值分析》2007年真題答案(共7頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上大連理工大學應用數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2005級試A卷答案課 程 名 稱： 計算方法 授課院 (系)： 應 用 數(shù) 學 系 考 試 日 期：2007年11 月 日 試卷共 6 頁裝 訂 線一二三四五六七八九十總分標準分4281515155/100得 分 一、填空（每一空2分，共42分）1為了減少運算次數(shù)，應將表達式.改寫為；2給定3個求積節(jié)點：，和，則用復化梯形公式計算積分求得的近似值為，用Simpson公式求得的近似值為。1 設函數(shù)，若當時，滿足，則其可表示為。4已知,則 6 , 0 ，逼近的Newton插值多項式為。5用于求的根的具有平方收斂的Newton迭代公

2、式為：。6已知，則的Jordan標準型是或；7設是階正規(guī)矩陣，則；8求解一階常微分方程初值問題，的向后（隱式）Euler法的顯式化的格式為：。9設12為的近似值，且，則至少有 5 位有效數(shù)字；10將，化為的Householder矩陣為：；11；12用二分法求方程在區(qū)間內的根，進行一步后根所在區(qū)間為，進行二步后根所在區(qū)間為。13若為Newton-Cotes 求積公式，則，若為Gauss型求積公式，則。14設，則在Schur分解中，可取為或。15設，則, 。二、（8分）已知近似值，均為有效數(shù)字，試估計算術運算的相對誤差界。 解：由已知，；。令，由函數(shù)運算的誤差估計式+從而，相對誤差可寫成三、（15

3、分）設線性方程組：（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并利用得到的上三角矩陣計算出（要有換元、消元過程）；（2）試問用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？（3）請給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值滿足：，則，故，從而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩陣為：，則，故，從而Jacobi迭代法發(fā)散。（3）將上述方程組的第一個方程與第二個方程對調后，新的方程組的系數(shù)矩陣為：是嚴格對角占有

4、的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收斂。且新的方程組與原方程組同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分別為： 和 #四、（15分）對于如下求解一階常微分方程初值問題，的數(shù)值方法證明其收斂性；求出它的局部截斷誤差主項及絕對穩(wěn)定區(qū)間；要用此方法解，。為使方法絕對穩(wěn)定，求出步長的取值范圍并以，初值，為步長，求出的近似值。解：（1）注意，從而 故此為線性隱式二步三階法，其局部截斷誤差主項為：。（2）令，得，滿足根條件；又方法階，故此差分格式收斂。（3）又對于模型問題：(), 取而要使得 的充要條件為：而 自然成立?，F(xiàn)在再由 得由 ，可推出，即。#五、（15分）（1） 用Schimidt正交化方法，構造上以權函數(shù)的正交多項式系：，; （2）構造計算 具有5次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式；（3） 利用2)的結果求出的數(shù)值解。解：由，即應構造具有3個Gauss點的求積公式。首先構造3次正交多項式，令+ ；令即得，得，取，令 即得到方程組：，解之，得，從而具有5次代數(shù)精度Gauss求積公式（2），則有六、證明題（5分）任選一題1設均為可逆矩陣，且齊次線性方程組有非零解，證明：對于中的任何矩陣范數(shù)，都有。（1）由題意，可知矩陣奇異。故奇異。反證法，若存在某種范數(shù)，使得，則，則可知非奇異，與條件矛盾。 （2）由于有非零解，