第4章MATLAB70的矩陣和數(shù)組

1、技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版第4章 MATLAB7.0的矩陣和數(shù)組lMATLAB的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為矩陣，其所有運(yùn)算都是基于矩陣進(jìn)行的。從形式上看，矩陣可以理解成二維的數(shù)組，矩陣可以方便地存儲(chǔ)和訪問MATLAB中眾多數(shù)據(jù)類型，構(gòu)成矩陣的元素可以是MATLAB中的任何數(shù)據(jù)類型。本章主要講解矩陣和數(shù)組的基本結(jié)構(gòu)即操作內(nèi)容包括矩陣的生成、矩陣的拼接、矩陣變形、矩陣元素的尋訪、獲取矩陣的信息，各種特殊矩陣類型以及高維數(shù)組的知識(shí)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.1 創(chuàng)建矩陣l矩陣是所有MATLAB運(yùn)算的基礎(chǔ)，用戶如果要實(shí)現(xiàn)科學(xué)運(yùn)算、程序設(shè)計(jì)、特性繪制等目標(biāo)，必須要確定

2、矩陣的類型，并建立矩陣。在MATLAB中創(chuàng)建一個(gè)矩陣可以有兩種常用的方法，一是直接輸入矩陣元素，另一種是調(diào)用矩陣創(chuàng)建函數(shù)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.1.1 輸入元素創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣l對(duì)于簡(jiǎn)單的矩陣，特別是元素?cái)?shù)目不多的矩陣，逐個(gè)輸入矩陣元素是最常用、最便捷的矩陣創(chuàng)建方法，其遵循以下3條原則：l運(yùn)用矩陣構(gòu)造符包含所創(chuàng)建矩陣的所有元素；l使用逗號(hào)“，”或者空格“ ”分隔矩陣的列；l使用分號(hào)“；”或者回車鍵分隔矩陣的行。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版 4.1.2 調(diào)用函數(shù)創(chuàng)建特殊矩陣lMATLAB7.0還提供了若干特殊矩陣的生成函數(shù)，在調(diào)用函數(shù)時(shí)，用戶根據(jù)需要

3、設(shè)置參數(shù)，就可以方便地得到需要的矩陣，常用的特殊矩陣函數(shù)列表如下。MATLAB特殊矩陣創(chuàng)建函數(shù)函 數(shù)生成矩陣形式ones全1元素矩陣zeros全0元素矩陣eye單位矩陣，即主對(duì)角線元素為1，其余元素全為0rand均勻分布隨機(jī)矩陣randn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣magic魔術(shù)矩陣diag對(duì)角矩陣compan伴隨矩陣gallery測(cè)試矩陣hadamardHadamard矩陣hilbHilbert矩陣invhilbHilbert矩陣轉(zhuǎn)置rosser經(jīng)典對(duì)稱特征值測(cè)試矩陣toeplitzToeplitz矩陣pascalPascal矩陣vanderVandermonde矩陣wilkinsonWilkinson

4、特征值測(cè)試矩陣技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.2 拼接矩陣l矩陣的拼接是指兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單個(gè)矩陣，按一定的方向進(jìn)行連接，生成新的矩陣。從本質(zhì)上說，矩陣的拼接就是一種創(chuàng)建矩陣的特殊方法，區(qū)別在于基礎(chǔ)元素是原始矩陣，目標(biāo)是新的合并矩陣。本節(jié)主要介紹矩陣拼接的兩種方法，一是利用矩陣生成符，另一種是調(diào)用矩陣拼接函數(shù)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.2.1 基本拼接l通常，矩陣的拼接有按照水平方向拼接和按照垂直方向拼接兩種。例如，對(duì)矩陣A和B進(jìn)行拼接，拼接表達(dá)式分別如下所示。l水平方向拼接：C=A B或C=A,B。l垂直方向拼接：C=A;B。l【例4.3】 把

5、的魔術(shù)矩陣和的單位矩陣在水平方向上拼接成為一個(gè)的新矩陣，垂直方向上拼接成為一個(gè)的新矩陣。本例目的：熟悉矩陣的拼接方法和不同方向上拼接的區(qū)別。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.2.2 拼接函數(shù)l除了使用矩陣拼接符，還可以使用MATLAB7.0提供的矩陣拼接函數(shù)執(zhí)行，具體的函數(shù)和功能列表如表所示。前三個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)功能已經(jīng)在前面的例子中做過示范，這里不再贅述。下面主要針對(duì)后兩個(gè)指令舉例說明其用法。MATLAB的矩陣拼接函數(shù)0函 數(shù)功 能cat指定維拼接horzcat水平方向拼接vertcat垂直方向拼接repmat通過對(duì)現(xiàn)有矩陣復(fù)制和粘貼操作生成新矩陣blkdiag現(xiàn)有矩陣構(gòu)造對(duì)角

6、矩陣技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.3 改變矩陣尺寸l矩陣的尺寸又稱矩陣的大小。在MATLAB7.0中，用戶可以方便地對(duì)矩陣的尺寸進(jìn)行擴(kuò)大和縮小，擴(kuò)大矩陣的主要方式是拼接和添加元素，縮小矩陣的方式是刪除矩陣中的某行或某列元素。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.3.1 擴(kuò)大矩陣的尺寸l在MATLAB7.0中，用戶可以通過兩種方式擴(kuò)大矩陣的尺寸，一是進(jìn)行矩陣拼接，二是在矩陣的尺寸之外添加元素。前者本書4.2節(jié)已經(jīng)作了介紹，本小節(jié)主要介紹后一種方法。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.3.2 縮小矩陣的尺寸l如果要讓矩陣“變小”，也就是刪除矩陣的

7、某行或某列，只要把目標(biāo)行或列賦予一個(gè)空矩陣即可。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.4 改變矩陣形狀l矩陣的形狀和矩陣的尺寸一樣是可以改變的，MATLAB為用戶提供了若干函數(shù)，用來(lái)改變矩陣的形狀，函數(shù)名稱及功能如表所示。MATLAB矩陣形狀操作函數(shù)函 數(shù)功 能reshape重新排列矩陣rot90矩陣逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90fliplr垂直方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣flipud水平方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣flipdim指定方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.5 向量、標(biāo)量與空矩陣lMATLAB中的矩陣多數(shù)是以矩形的形式顯示，但有時(shí)常出現(xiàn)特殊形式的矩陣，即由于和的取值特殊，矩陣

8、常常表現(xiàn)出非矩形的特征。本節(jié)主要介紹三種特殊的矩陣結(jié)構(gòu)：向量（vector）、標(biāo)量（scalar）和空矩陣(empty matrix)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.5.1 向量l向量是行數(shù)或列數(shù)為1的特殊矩陣，其一般顯示為1n或n1的數(shù)列。用戶在構(gòu)造新矩陣，以及對(duì)矩陣進(jìn)行訪問、修改等操作時(shí)，常用到向量數(shù)列。MATLAB提供了生成等差向量數(shù)列的符號(hào)冒號(hào)，例如，(p:q)生成從p到q，差為1的遞增向量數(shù)列。例如，創(chuàng)建101的等差遞減數(shù)列，在命令窗口輸入代碼及執(zhí)行結(jié)果如下。l v=(10:-1:1)lv =l 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力

9、專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.5.2 標(biāo)量l標(biāo)量是行列數(shù)都是1的特殊矩陣，任意以的矩陣形式表示的單個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，稱之為標(biāo)量。如下的實(shí)數(shù)x就是一個(gè)標(biāo)量。實(shí)數(shù)5的維數(shù)為2，即行和列；且各維數(shù)值都為1。l x=5lx =l 5l ndims(x) % 查看x的維數(shù)lans =l 2l size(x) %查看行、列維的數(shù)值lans =l 1 1 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.5.3 空矩陣lMATLAB中為了表示和操作的方便，引入了“空矩陣”的概念，其含義是至少一維的數(shù)值為0的矩陣。空矩陣可以是、和（n為正整數(shù)）?？站仃嚥皇侨?矩陣，讀者可以通過如下指令建立一個(gè)空矩陣a，再利用wh

10、os指令查看其名稱、大小和數(shù)據(jù)類型。l ala =l l whosl Name Size Bytes Classl a 0 x0 0 double array 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.6 矩陣尋訪l矩陣作為存儲(chǔ)各種數(shù)據(jù)的基本單位，是若干相關(guān)元素的有序集合，為方便用戶訪問矩陣中的一個(gè)或者多個(gè)元素，MATLAB引入了元素下標(biāo)的概念。本節(jié)主要介紹不同的元素下標(biāo)表示方法以及如何利用矩陣的下標(biāo)訪問矩陣中的單元素和多元素。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.6.1 下標(biāo)轉(zhuǎn)換lMATLAB7.0中，矩陣的下標(biāo)表示與常用的數(shù)學(xué)習(xí)慣相同，使用“雙下標(biāo)”（Row-Col

11、umn Index），即分別表示行和列，矩陣中的元素都有對(duì)應(yīng)的“第幾行，第幾列”。這種表示方法簡(jiǎn)單直觀，幾何概念比較清晰。如下代碼所示，矩陣m中的元素8、5、2分別可以表示為技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.6.2 訪問單元素l訪問一個(gè)矩陣中的單個(gè)元素，必須指定兩個(gè)參數(shù)，即其所在行數(shù)和列數(shù)。例如，訪問矩陣A中的任何一個(gè)單元素，代碼如下所示，row和column分別代表行數(shù)和列數(shù)。lA(row,column)技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.6.3 訪問多元素l訪問矩陣的多元素，包括訪問某一行或某一列的若干元素，訪問整行、整列元素，訪問若干行或若干列的元素以及

12、訪問矩陣所有元素等。首先，介紹在訪問矩陣多元素時(shí)常用的一個(gè)符號(hào)冒號(hào)。本書之前的章節(jié)介紹過，冒號(hào)可以表示等差步進(jìn)，從而幫助生成向量矩陣。其實(shí)冒號(hào)還有另外一個(gè)重要的功能，即表示矩陣中的多個(gè)元素。例如A(1:k,n)表示矩陣A中第n列的1k的元素，B(m,:)表示矩陣B中第m行的所有元素，在對(duì)矩陣中某部分元素進(jìn)行訪問和賦值時(shí)，此種表示方法顯得十分方便。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.7 獲取矩陣信息l矩陣的信息主要包括以下三點(diǎn)：l矩陣元素的數(shù)據(jù)類型；l矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；l矩陣的大小等。l本節(jié)重點(diǎn)介紹通過調(diào)用函數(shù)來(lái)獲取矩陣各種信息的方法。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出

13、版4.7.1 獲取矩陣元素的數(shù)據(jù)類型lMATLAB提供了獲得矩陣元素?cái)?shù)據(jù)類型的若干函數(shù)，如表所示。MATLAB矩陣元素?cái)?shù)據(jù)類型判斷函數(shù)函 數(shù)功 能isa判斷輸入數(shù)據(jù)是否為某中指定數(shù)據(jù)類型iscell判斷輸入數(shù)據(jù)是否為元胞數(shù)組類型iscellstr判斷輸入數(shù)據(jù)是否為元胞字符串類型ischar判斷輸入數(shù)據(jù)是否為字符類型isfloat判斷輸入數(shù)據(jù)是否為浮點(diǎn)數(shù)類型isinteger判斷輸入數(shù)據(jù)是否為整數(shù)類型islogical判斷輸入數(shù)據(jù)是否為邏輯類型isnumeric判斷輸入數(shù)據(jù)是否為數(shù)值類型isreal判斷輸入數(shù)據(jù)是否為實(shí)數(shù)類型isstruct判斷輸入數(shù)據(jù)是否為結(jié)構(gòu)體類型技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)

14、創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.7.2 獲取矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)lMATLAB不但提供了判斷矩陣內(nèi)元素?cái)?shù)據(jù)類型的函數(shù)，還提供了判斷矩陣本身數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的若干函數(shù)，如表所示。MATLAB矩陣元素?cái)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)判斷函數(shù)函 數(shù)功 能isempty判斷矩陣是否為空矩陣isscalar判斷矩陣是否為標(biāo)量isvector判斷矩陣是否為向量issparse判斷矩陣是否為稀疏矩陣技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.7.3 獲取矩陣的尺寸信息l矩陣的尺寸信息，包括矩陣最長(zhǎng)維的大小、矩陣維數(shù)、元素個(gè)數(shù)和指定維的長(zhǎng)度等。MATLAB提供給用戶4個(gè)函數(shù)來(lái)獲取以上信息，矩陣尺寸信息查詢函數(shù)函 數(shù)功 能length得到矩陣最長(zhǎng)維

15、長(zhǎng)度ndims得到矩陣的維數(shù)numel得到矩陣的元素個(gè)數(shù)size得到矩陣指定維的長(zhǎng)度技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.8 高維數(shù)組l在MATLAB中，維數(shù)超過二維的數(shù)組稱為高維數(shù)組。之前的章節(jié)介紹過，矩陣可以理解成二維的數(shù)組，本書所討論的數(shù)組大多數(shù)情況下都是二維的數(shù)組，即矩陣，對(duì)于矩陣，“行”和“列”分別是矩陣的第一維和第二維；而對(duì)于高維數(shù)組，只有第三維具有統(tǒng)一的名稱，稱為“頁(yè)”（page），更高維稱呼至今仍未統(tǒng)一。在進(jìn)行高維數(shù)組操作的時(shí)候，首先要有一定的幾何空間意識(shí)，如果說對(duì)于二維的矩陣的處理是著眼于平面“矩形”的話，那么對(duì)于三維數(shù)組的理解就要面對(duì)一個(gè)立體的、截面是矩形的“

16、長(zhǎng)方體”。l盡管高維數(shù)組可以是任意維數(shù)，但為了方便講解的直觀和讀者理解的方便，本節(jié)主要以三維數(shù)組為例，一個(gè)三維的數(shù)組由行、列和頁(yè)三維組成，每一頁(yè)都是一個(gè)由行和列來(lái)構(gòu)成的二維的矩陣，正如二維數(shù)組所有的列必須包含相同的行一樣，三維數(shù)組的所有的頁(yè)也要包含相同的行和列，且所有矩陣滿足的操作都可以運(yùn)用于高維數(shù)組上。本節(jié)主要介紹高維數(shù)組的生成和基本操作。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.8.1 高維數(shù)組的創(chuàng)建l創(chuàng)建高維數(shù)組的常用方法包括以下兩種。l調(diào)用函數(shù)直接創(chuàng)建標(biāo)準(zhǔn)高維數(shù)組。l下標(biāo)直接索引賦值生成高維數(shù)組，即給數(shù)組中某一位置的元素或者某些位置的元素賦值，以此生成高維數(shù)組。技術(shù)凝聚實(shí)力技

17、術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.8.2 訪問高維數(shù)組的信息l對(duì)于高維數(shù)組，同樣可以運(yùn)用適用于一般矩陣的信息獲取函數(shù)（參見4.7）來(lái)訪問其信息。例如，以上一小節(jié)中調(diào)用reshape函數(shù)建立的新數(shù)組為例，訪問其維數(shù)、大小，最長(zhǎng)維大小和元素個(gè)數(shù)等信息，具體代碼如下。l ndims(P) % 查詢數(shù)組的維度lans =l 3l size(P) % 查詢數(shù)組的大小lans =l 2 2 4l length(P) % 查詢數(shù)組的最長(zhǎng)維大小lans =l 4l numel(P) % 查詢數(shù)組的元素個(gè)數(shù)lans =l 16 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版4.8.3 高維數(shù)組操作函數(shù)lMATLAB提供了若干