第2章概率論習(xí)題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量離離 散散 型型隨機(jī)變量隨機(jī)變量連連 續(xù)續(xù) 型型隨機(jī)變量隨機(jī)變量分分 布布 函函 數(shù)數(shù)分分 布布 律律密密 度度 函函 數(shù)數(shù)均均勻勻分分布布指指數(shù)數(shù)分分布布正正態(tài)態(tài)分分布布兩兩點(diǎn)點(diǎn)分分布布二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布泊泊松松分分布布隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的的函數(shù)的 分分 布布定定義義二、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn)(0-1)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的分布律分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的分布律 正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)區(qū)間概率的計(jì)算函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)

2、區(qū)間概率的計(jì)算2.難點(diǎn)難點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的求法連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的求法(1)解解：放放回回：,X設(shè)設(shè)抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量:X則則的的所所有有可可能能取取值值為為1,2,X 13101,2,1313kP Xkk 分分布布律律為為：例例1三、典型例題三、典型例題(2)不不放放回回：,X設(shè)設(shè)抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量X則則的的所所有有可可能能取取值值為為1,2,3,4X 101,13P X 分分布布律律為為：3 102,13 12P X 3 2 103,13 12 11P X 3 2 1 10413 12 1110P X .,212. 2, 21,3

3、2, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求試確定常數(shù)試確定常數(shù)且且的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量XbaXPxbaxaxaxxFX 思路思路 首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù) a, b,再用已確定的分布函數(shù)來求分布律再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.解解:)(的性質(zhì)的性質(zhì)利用分布函數(shù)利用分布函數(shù)xF例例2),0()( iiixFxFxXP, 1)( F221 XP知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由由此此解解得得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxF因此有因此有從而從

4、而 X 的分布律為的分布律為XP211 213161,03( )2,3420,1; 2( )7312Xkxxxf xxkXF xPX 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 具具有有概概率率密密度度其其它它（ ）確確定定常常數(shù)數(shù)（ ）求求 的的分分布布函函數(shù)數(shù)；（ ）求求例例31(1)( )16f x dxk 由由得得解解: :0303(2)0,0,036( )2,34621,4xxxxdxxF xxxdxdxxx 分分布布函函數(shù)數(shù) ,xF xf t dtx 220,0,0312( )32,3441,4xxxF xxxxx 即即分分布布函函數(shù)數(shù) 77413112248PXFF （ ）設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某

5、類日光燈管的使用壽命 X 服從服從120001,0,( )0,0.xexF xx X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解參數(shù)為參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí))(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. (2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上小時(shí)以上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. 例例41000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP100020

6、00 XPXP . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性無記憶性”. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx如如X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, 則任給則任給s,t 0, 有有 PXs+t | X s=PX t()事實(shí)上事實(shí)上()/()()|1()ee1( )e.s tt s PXstXsP Xst XsP XsP XstF stP XsF sP Xt l性質(zhì)性質(zhì)()稱為稱為無記憶性無記憶性.l指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的指數(shù)分布在可

7、靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的運(yùn)用運(yùn)用.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求求系數(shù)求系數(shù)的概率密度為的概率密度為已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量XYxFXAxAxfXx 解解有有由概率密度的性質(zhì)由概率密度的性質(zhì),)1( xAxxfxded)(1 0de2xAx,2A .21 A故故例例5,de21)()2( xxxxF有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xxxFxxde21)( ;e21x 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xdede21)(00 xxxxxxF;e211x 所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 0,e211, 0,e21)(xxxFxx, 0)3(2 XY由由于于;

8、 0)(,0 yYPyFyY有有時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 y)(2yXPyYPyFY yXyP yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyFYY 由由于于有有時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng),0 ydedd)(dd0 yxYxyyFy,21eyy 的的概概率率密密度度為為從從而而 Y, . 0, 00,e21)(yyyyfyY.2100,cm182)2(?01. 0,)1()cm:()6,170(2的概率的概率頂碰頭的人數(shù)不多于頂碰頭的人數(shù)不多于個(gè)成年男子與車門個(gè)成年男子與車門求求若車門高為若車門高為車門頂碰頭的幾率小于車門頂碰頭的幾率小于使男子與使男子與車門的高度車門的高度問應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車問

9、應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車單位單位高高設(shè)某城市成年男子的身設(shè)某城市成年男子的身NX思路思路.2,cm182100.,01. 0,cm的概率的概率求其不超過求其不超過布律布律然后用此分然后用此分的人數(shù)的分布律的人數(shù)的分布律子中身高超過子中身高超過名男名男第二問首先要求出第二問首先要求出確定確定那么按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有那么按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為llXPl 例例6解解),6 ,170()1(2NX由由題題設(shè)設(shè)知知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l ,01. 0 .99. 0)6170( l即即,33. 26170 l查查表表得得).cm(98.183 l故故.cm182)2

10、(p的概率為的概率為設(shè)任一男子身高超過設(shè)任一男子身高超過 61701826170182XPXPp則則)2(1 .0228. 0 ,cm182100的的人人數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)男男子子中中身身高高超超過過為為設(shè)設(shè)Y其其中中則則),0228. 0,100( BY,9772. 00228. 0100100 kkkkYP .100, 1 , 0 k,28. 2,0228. 0,100 nppn其中其中布來計(jì)算布來計(jì)算故可用泊松分故可用泊松分較小較小較大較大由于由于從而從而! 2e28. 2! 1e28. 2! 0e28. 2228. 2228. 228. 20 YP.6013. 0 ,2102 YPYPYPYP所

11、求概率為所求概率為,(:),1 600,200,. a 設(shè)設(shè)某某儀儀器器上上裝裝有有三三只只獨(dú)獨(dú)立立工工作作的的同同型型號(hào)號(hào)電電子子元元件件 其其壽壽命命 單單位位 小小時(shí)時(shí) 都都服服從從同同一一指指數(shù)數(shù)分分布布 其其中中參參數(shù)數(shù)試試求求在在儀儀器器使使用用最最初初小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一只只元元件件損損壞壞的的概概率率思路思路(1,2,3) 200 ,iA i 以以分分別別表表示示三三個(gè)個(gè)電電子子元元件件“在在使使用用的的最最初初小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)損損壞壞” 的的事事件件321AAAPa 于于是是)(1321AAAP ),()()(1321APAPAP 例例7),3 , 2 , 1()( iA

12、Ppi令令.,便可得解便可得解由指數(shù)分布求出由指數(shù)分布求出 p解解的的概概率率密密度度為為由由題題設(shè)設(shè)知知個(gè)個(gè)元元件件的的使使用用壽壽命命表表示示第第用用)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1( iXiiXii . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx,一一分分布布由由三三個(gè)個(gè)電電子子元元件件服服從從同同,)(200pAPXPii 又又因此所求概率為因此所求概率為)()()(1321APAPAP 31p 331)e (1 .e11 從而從而 200d)(200 xxfXPi 200600de6001xx,e31 . 3 , 2 , 1 i某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成某地

13、抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(jī)績(jī)( (百分制百分制), ), 服從正態(tài)分布，平均成績(jī)服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)闉?7272分，分，9696分以上占考生總數(shù)的分以上占考生總數(shù)的2.3%, 2.3%, 試求考生的外語成績(jī)?cè)谠嚽罂忌耐庹Z成績(jī)?cè)?6060分至分至 8484分之分之間的概率間的概率. .解解依題意，考生外語成績(jī)依題意，考生外語成績(jī) X X),(2 N72 其其中中，且且960.023P X 96196P XP X 于于是是977. 0023. 01 例例896P X 又又96() )24()7296( 977. 0)24( 查表，知查表，知977. 0)2( ( ) x由由的的單單調(diào)調(diào)

14、增增加加性性，得得224 12 2(72,12 )XN因因而而6084PX 故故)127260()127284( )1()1( )1(1)1( 1)1(2 查表，得查表，得841. 0)1( 682. 01841. 028460 XP1,( )0,axbXf xba 直直徑徑 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為其其它它36YX 體體積積 ( )YFyP Yy36PXy36yPX63( )yf x dx 例例9解解6333330,61( ),661,6yYayaFydxaybbayb ( )( )YYfyFy 33631,660,yaybba 其其它它 233326,660,yayb ba 其其它它11 kkp由由解：解： 1)2/1(51 kkA即即51 A得得51, 1)( dxxf由由解：解： 1210 badxbax得得 ,852835 . 015 . 0 badxbaxXP又又21, 1