人教版數學八年級上冊 11.3 多邊形及其內角和 學案

1、八年級上11.3 多邊形及其內角和一、學習目標：1. 了解多邊形的有關概念，了解多邊形的內角和與外角和；2. 知道什么樣的圖形可以鑲嵌平面，能進行簡單的鑲嵌設計二、重點、難點：重點：多邊形的內角和公式與外角和難點：多邊形能覆蓋平面需要滿足的條件三、考點分析：本講內容在中考試卷中多以填空題、選擇題的形式出現，屬基本內容，主要考點有兩個：1. 多邊形的邊數與角度的換算，對角線的條數和邊數之間的關系；2. 用一種或幾種正多邊形鑲嵌成一個平面，進行簡單的鑲嵌設計【知識點總結】1. 多邊形的有關概念（1）在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（2）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊

2、形的對角線（3）各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形2. 多邊形的內角和與外角和（1）n邊形的內角和等于（n2）·180°（2）n邊形的外角和等于360°3. 鑲嵌（1）用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）（2）一般地，多邊形能覆蓋平面需要滿足兩個條件：拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°（周角）；相鄰的多邊形有公共邊【典型例題】知識點一：多邊形及其內角和例1. 一個十二邊形有幾條對角線？思路分析：題意分析：本題考查多邊形的邊數和對角線條數之間的關系解題思路：過十二邊形的任意一個頂點可以畫9條

3、對角線，但每條對角線在每個頂點都重復計算了一次，所以實際對角線的條數應該為12×9÷254（條）解答過程：十二邊形的對角線共有54條解題后的思考：對于一個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規(guī)律，共有條，牢記這個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數例2. 已知一個多邊形的內角和與外角和之比為72，求這個多邊形的邊數思路分析：題意分析：本題考查多邊形內角和公式的應用及外角和解題思路：由于多邊形的外角和與邊數無關，為360°，故此題只要根據72的關系列出方程，解方程即可解答過程：設這個多邊形的邊數為n根據題意，得解得，n9解題后的思考：此類問題多是通過

4、等量關系建立方程來求邊數例3. 正五邊形的一個內角的度數是_思路分析：題意分析：本題考查正多邊形的性質和多邊形的內角和公式解題思路：根據題意得正五邊形的每個內角的度數為108°解答過程：108°解題后的思考：n邊形的內角和公式為（n2）·180°，正多邊形的每個內角都相等，如果設其內角為x°，則5x（52）×180，可解得x108或利用外角和列方程：180x360÷5例4. 如圖所示，求ABCDEF的度數思路分析：題意分析：這個多邊形不是我們通常研究的多邊形類型，需先進行轉化，將其變成凸多邊形，再用多邊形的內角和公式求解解題

5、思路：要求六個角之和，則需在同一個多邊形中，故需連接BF將原多邊形轉化為四邊形解答過程：連接BF因為1CD，1CBFDFB，所以CDCBFDFB所以AABCCDEDFEAABCCBFDFBEDFEAABFBFEE360°解題后的思考：多邊形問題常通過連接兩點或對角線從而轉化為三角形或四邊形的問題來解決例5. 如圖所示，已知在ABC中，A60°，B75°，將ABC的一角折疊，使點C落在ABC內，若120°，2的度數是多少？這個結論是如何得出來的？思路分析：題意分析：可把2看作四邊形ABED一個內角的一部分解題思路：解本題的基本思路是：在ABC中求出C，在C

6、ED中求出CDECED，在四邊形ABED中求出12，進而求出2解答過程：270°因為A60°，B75°，所以C180°（AB）45°所以CDECED180°C135°所以12360°（ABCDECED）90°又因為120°，所以270°解題后的思考：折疊前后C的度數不變，是解此題的關鍵例6. 如圖所示，已知六邊形ABCDEF中，ABCDEF120°，邊長AB2cm，BC8cm，CD11cm，DE6cm，求這個六邊形的周長是多少？思路分析：題意分析：在這個六邊形中，有四條邊長已

7、知，求其周長關鍵是要求出AF和EF的長解題思路：由題意中各角都為120°，想到它的外角為60°，如果延長各邊，能得到4個等邊三角形，從而求得EF、AF的長解答過程：向兩邊分別延長AB、CD、EF，如圖所示，得PQR因為PAF180°BAF180°120°60°，同理AFP60°，所以P60°所以PPAFAFP所以PAF為等邊三角形同理BCQ、DER均為等邊三角形所以PQR也為等邊三角形所以CQBQBC8（cm），DRERDE6（cm）所以QR811625（cm），AFPAPQABBQ252815（cm），EFPRP

8、FER251564（cm）所以六邊形ABCDEF的周長為2811641546（cm）解題后的思考：當題中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角時，應想到把它們轉到特殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等本題就是把AF和EF轉化成等邊三角形的邊，利用等邊三角形的性質來求解的小結：有關多邊形的問題，?？疾閷蔷€的條數，多邊形的內角和，外角和等知識，熟記其中蘊含的規(guī)律性的東西，遇到這些問題時就能迎刃而解知識點二：平面鑲嵌例7. 如果限定用一種正多邊形鑲嵌，在下面的正多邊形中，不能鑲嵌成一個平面的是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正六邊形D. 正八

9、邊形思路分析：題意分析：本題考查用同種正多邊形鑲嵌平面解題思路：當正多邊形的一個內角的度數是360°的約數時，用這樣的正多邊形能鑲嵌平面題目中A、B、C項的內角度數均是360°的約數，而只有D項不符合，因為正八邊形每個內角的度數為135°，顯然135°不是360°的約數，所以限定用正八邊形這一種正多邊形來鑲嵌，不能鑲嵌成一個平面，故選D解答過程：D解題后的思考：判斷用同種正多邊形能不能進行鑲嵌時，只需用360°除以這個正多邊形的內角如果能整除，就能進行平面鑲嵌；如果不能整除，就不能進行平面鑲嵌例8. 我們常見到如圖所示圖案的地面，它們

10、分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣的材料能鋪成平整、無空隙的地面（1）你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖（2）請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖思路分析：題意分析：這是一道平面鑲嵌的實際應用問題解題思路：解答此題時要注意觀察周圍環(huán)境中的鑲嵌問題，從中找到靈感，還要進行多次嘗試，善于創(chuàng)新解答過程：（1）符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考（2）符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考解題后的思考：在實際生活中，鑲嵌平面時最常用的是四邊形，有時也會用三角形和六邊形，不管用什么樣的圖形，只要滿足鑲嵌

11、的條件即可小結：平面鑲嵌的關鍵是使拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°【方法總結】本講我們探索歸納了幾條規(guī)律，正確利用這些規(guī)律可大大加快解題速度和準確程度：1. n邊形的對角線條數：2. n邊形的內角和：（n2）·180°，n邊形的外角和是360°，與邊數無關3. 根據鑲嵌的定義可知，用一種相同的多邊形能否鑲嵌平面，關鍵是看這種多邊形的幾個內角之和是否等于360°（或180°），如圖和所示；用一種相同的正多邊形能否鑲嵌平面，關鍵是看周角360°能否被正多邊形的一個內角的度數整除，如圖所示用多種多邊形鑲嵌平面時，如圖所示

12、，要看兩點：a. 拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°（周角）；b. 相鄰的多邊形有公共邊【同步練習】（答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 一個多邊形的每個內角都等于120°，這個多邊形的邊數為（ ）條A. 5B. 6C. 7D. 82. 用正四邊形一種圖形進行平面鑲嵌時，它在一個頂點周圍的正四邊形的個數為（ ）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個3. 如果一個多邊形的每個內角都相等，且內角和為1260°，那么它的一個外角為（ ）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°4. 多邊形的內角和不可能是（ ）A.

13、 810°B. 540°C. 1800°D. 180°5. 如果多邊形的邊數增加1，則多邊形的內角和、外角和分別（ ）A. 增加180°，增加180°B. 不變，增加180°C. 不變，不變D. 增加180°，不變6. 能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（ ）A. 正八邊形和正方形B. 正五邊形和正十邊形C. 正四邊形和正六邊形D. 正四邊形和正七邊形*7. 在n邊形一邊上取一點與各頂點相連，可得三角形的個數為（ ）A. n個B. （n2）個C. （n1）個D. （n1）個*8. 過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分

14、成9個三角形，這個多邊形的邊數為（ ）條A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空題9. 在正六邊形ABCDEF中，A120°，AB2cm，則D_，DE_10. 一個正多邊形的每個外角都是72°，則這個多邊形是_邊形11. n（n為整數，且n3）邊形的內角和比（n1）邊形的內角和小_度12. 從n邊形的一個頂點出發(fā)共引出了5條對角線，則這個n邊形是_邊形，這5條對角線把n邊形分成了_個三角形*13. 如果用三種正多邊形地磚鑲嵌地面，一個頂點處已有一個正方形和一個正六邊形地磚，則還需一個正_邊形地磚*14. 用正三角形與正方形兩種圖案作平面鑲嵌，設在一個頂點周圍有a個正三

15、角形和b個正方形，則a_，b_三、解答題15. 若一個多邊形的各邊都相等，周長為63，且內角和為900°，求它的邊長16. 如圖所示，（1）四邊形共有_條對角線，五邊形共有_條對角線，六邊形共有_條對角線；（2）你能說出七邊形共有多少條對角線嗎？（3）由（1）、（2），請猜想n邊形的對角線的總條數，說說你的理由*17. 將五邊形截去一個角后所得的多邊形有幾條對角線？*18. 小軍在進行多邊形內角和計算時，求得的內角和為1125°，當發(fā)現錯了之后，重新檢查，發(fā)現是少加了一個內角，求：（1）這個多邊形是幾邊形？（2）這個內角是多少度？四、拓廣探索*19. （1）填表：正多邊形3

16、456n正多邊形每個內角的度數（2）如果限用一種正多邊形進行平面鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？（3）從正三角形、正四邊（方）形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出這兩種不同的正多邊形進行平面鑲嵌的草圖，并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形，說明你的理由【練習答案】一、選擇題1. B2. C3. C 解析：因為（n2）·180°1260°，解得n9這個多邊形的每個內角都相等，每個外角也都相等所以它的一個外角是360°÷940°4. A 解析：用內角和公式驗證5. D 解析：外角和與邊數無關，故不變

17、內角和的變化從公式（n2）·180°中可以看出，n增加1，內角和增加180°6. A 解析：正八邊形的一個內角是135°在一個頂點處，兩個正八邊形和一個正方形可拼出135°×290°360°所以正八邊形和正方形組合能鋪滿地面7. C 解析：可采用歸納猜想法，當n3時，得三角形2個；當n4時，得三角形3個；n邊形得三角形（n1）個8. C 解析：過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成的9個三角形中，除去兩端各一個三角形，中間的7個三角形分別含有多邊形的一條邊，兩端的三角形各含有多邊形的兩條邊所以多邊形的邊數是27

18、211（條）二、填空題9. 120°，2cm10. 正五11. 18012. 八，6 解析：這5條對角線是從一個頂點引出的，并不是所有的對角線條數13. 十二 解析：根據題意，另一個正多邊形的內角是360°90°120°150°，所以（n2）·180°150°×n，解得n1214. 3，2 解析：根據題意有60°×a90°×b360°，即2a3b12，且a、b為正整數，解得a3，b2三、解答題15. 解：設該多邊形有n條邊，則（n2）×180°900°，解得n7因為63÷79，所以這個多