角平分線 (2)

1、1.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。2.用尺規(guī)作角的平分線。還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎? ?你是怎樣得到的你是怎樣得到的? ? 與小組同學(xué)交流。與小組同學(xué)交流。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 回顧 思考角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。已知：如圖，已知：如圖，OCOC是是AOBAOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分別為，垂足分別為D D、E E求證：求證：PD=PEPD=PE證明：證明：1=21=2，OP=OPOP=OP，PDO

2、=PEO=90PDO=PEO=90，PDOPDOPEO(AAS)PEO(AAS)PD=PE(PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) )AOCB12PDE定理：角平分線上的點(diǎn)到這定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等個(gè)角的兩邊距離相等. .OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意上任意,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已已知知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等兩邊距離相等).).AOCB12PDE你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎你能寫出上面這個(gè)定理的

3、逆命題嗎? ?性質(zhì)定性質(zhì)定理理: :角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. .如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上個(gè)角的平分線上這是一個(gè)真命題嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是請(qǐng)舉出這是一個(gè)真命題嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是請(qǐng)舉出反例。反例。不是真命題，是假命題。在角的外部，也存在到角兩邊不是真命題，是假命題。在角的外部，也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部且到角平分線性質(zhì)定理的逆命題：

4、在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上。角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上。它是真命題嗎它是真命題嗎? ?如果是如果是. .請(qǐng)你證明它。請(qǐng)你證明它。AOCB12PDE已知：在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PDOA，PEOB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點(diǎn)P在AOB的角平分線上證明：證明：PDOAPDOA，PEOBPEOB， PDO= PEO=90PDO= PEO=90在在RtRtODPODP和和RtRtOEPOEP中中OP=OPOP=OP，PD=PEPD=PERtRtODP RtODP RtOEP(HL)OEP(HL)1=2(1=2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等全等三角形對(duì)應(yīng)

5、角相等) )AOCB12PDE判定定理：判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且到角的且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)兩邊距離相等的點(diǎn), ,在這個(gè)角的平分線上在這個(gè)角的平分線上. .PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已知已知), ), 且且PD=PE,PD=PE, 點(diǎn)點(diǎn)P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上.(.(在一個(gè)在一個(gè)角的內(nèi)部角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等的且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)點(diǎn), ,在這個(gè)角的平分線上在這個(gè)角的平分線上).).AOCB12PDE1.1.如圖如圖,AD,AE,AD,AE分別是分別是ABCABC中中AA的內(nèi)角平分線外角

6、平分的內(nèi)角平分線外角平分線線, ,它們有什么位置關(guān)系它們有什么位置關(guān)系? ?老師期望:你能說出結(jié)論并能證明它.EDABCF2.2.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC. 老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. BAEDCF你能用什么辦法平分一個(gè)已知角呢？你能用什么辦法平分一個(gè)已知角呢？1 1可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一個(gè)已知角使用三角尺，也可

7、以平分一個(gè)已知角3 3用角尺也可以平分一個(gè)已知角用角尺也可以平分一個(gè)已知角4 4用直尺和圓規(guī)平分一個(gè)已知角用直尺和圓規(guī)平分一個(gè)已知角5. 5. 用折紙的辦法也可以用折紙的辦法也可以平分一個(gè)已知角平分一個(gè)已知角已知:AOBAOB,如圖.求作:射線OC,使AOC=BOCAOC=BOC.用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在 AOBAOB內(nèi)內(nèi)交于點(diǎn)C.3.作射線OC.則射線OC就是AOB的平分線.ABOCDE你能說明射線OC為什么是AOBAOB的平分線嗎？1.利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線。你發(fā)現(xiàn)了什么？2. 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等.CDABO溫馨提示：本題綜合運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)哦！3.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到期公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺 1:20 000)。A區(qū) 1.1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理： 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這