2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(全國卷新課標1)

1、.2019 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科） （新課標）一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（ 5 分）已知集合M x| 4 x 2 ， N x| x2 x 6 0 ，則 M N（）A x| 4 x3B x| 4 x 2C x| 2 x 2D x|2 x32（ 5 分）設(shè)復(fù)數(shù)z 滿足 | zi | 1， z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），則（）A（ x+1） 2+y2 1B（ x 1） 2+y2 1C x2+（ y1） 2 1D x2+（ y+1） 2 13（ 5 分）已知a log 20.2 ， b 20.2 ， c

2、 0.2 0.3 ，則（）A ab cB ac bC c a bDb c a4（ 5 分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（ 0.618 ，稱為黃金分割比例） ，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例， 且腿長為 105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是 （）A 165cmB 175cmC 185cmD190cm5（ 5 分）函數(shù)f （ x）在 ， 的圖象大致為（）Aeord 完美格式.BCD6（ 5 分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下

3、到上排列的 6 個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3 個陽爻的概率是（）ABCD7（ 5 分）已知非零向量，滿足 | 2| ，且（），則與的夾角為（）ABCD8（ 5 分）如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）eord 完美格式.A AB A2+C ADA 1+9（ 5 分）記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項和已知S4 0，a55，則（）A an 2n5B an 3n10C Sn2n2 8nDSnn22n10（ 5 分）已知橢圓C的焦點為 F1（ 1，0），F(xiàn)2（ 1，0），過 F2 的直線與 C交于 A，B兩點若| AF2| 2

4、| F2B| ， | AB| | BF1| ，則 C的方程為（）A+y2 1B+ 1C+1D+111（ 5 分）關(guān)于函數(shù)f （ x） sin| x|+|sinx| 有下述四個結(jié)論： f （ x）是偶函數(shù) f （ x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增 f （ x）在 ， 有 4 個零點 f （ x）的最大值為 2其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD12（ 5 分）已知三棱錐P ABC的四個頂點在球O的球面上， PAPB PC， ABC是邊長為2 的正三角形，F(xiàn)分別是，的中點， 90°，則球O的體積為（）EPAABCEFA 8 B 4C 2 D 二、填空題：本題共4 小題，每小題5分，共 20 分。

5、eord 完美格式.13（ 5分）曲線y3（ x2+x） ex 在點（0， 0）處的切線方程為14（ 5分）記n 為等比數(shù)列 an 的前n項和若a1，42 6，則5SaaS15（ 5分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束） 根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6 ，客場取勝的概率為0.5 ，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以 4：1 獲勝的概率是16（ 5 分）已知雙曲線C： 1（ a 0， b0）的左、右焦點分別為F1， F2，過 F1的直線與 C的兩條漸近線分別交于A，B 兩點若，? 0，則 C的離

6、心率為三、解答題： 共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。2217（ 12 分）ABC的內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為a，b，c設(shè)（ sin B sin C） sin A sin BsinC（ 1）求 A；（ 2）若a+b 2c，求 sin C18（ 12 分）如圖，直四棱柱ABCD A1 B1C1D1 的底面是菱形，AA1 4， AB 2， BAD60°，E， M，N分別是 BC， BB1， A1D的中點（ 1）證明： MN平面 C1DE；（ 2）

7、求二面角 A MA1 N的正弦值eord 完美格式.19（ 12 分）已知拋物線：2 3的焦點為，斜率為的直線l與C的交點為， ，與CyxFA Bx 軸的交點為 P（ 1）若 | AF|+|BF| 4，求 l的方程；（ 2）若 3，求|AB|20（ 12 分）已知函數(shù)f （ x） sin（ 1） f （ x）在區(qū)間（ 1，xln （ 1+x）， f （ x）為 f （ x）的導(dǎo)數(shù)證明：）存在唯一極大值點；（ 2） f （ x）有且僅有2 個零點21（ 12 分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩

8、只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得 1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得 1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ，一輪試驗中甲藥的得分記為X（ 1）求 X 的分布列；（ 2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分， pi （ i 0， 1， 8）表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認

9、為甲藥比乙藥更有效” 的概率， 則 p0 0，p8 1，pi api 1+bpi +cpi +1（ i 1， 2， 7），其中 aP（ X 1），b P（ X 0）， cP（ X1）假設(shè) 0.5 ， 0.8 （ i ）證明： pi +1 pi （ i 0， 1， 2， 7）為等比數(shù)列；（ ii ）求 p4，并根據(jù) p4 的值解釋這種試驗方案的合理性（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 選修 4-4 ：坐標系與參數(shù)方程 （ 10 分）22（ 10 分）在直角坐標系xOy 中，曲線C的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）以坐標原點O 為極點

10、，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為eord 完美格式.2 cos + sin +11 0（ 1）求 C和 l 的直角坐標方程；（ 2）求 C上的點到 l 距離的最小值 選修 4-5 ：不等式選講 （ 10 分）23已知 a， b， c 為正數(shù)，且滿足abc1證明：（ 1） + + a2+b2 +c2；（ 2）（a+b） 3+（ b+c）3+（c+a） 3 24eord 完美格式.2019 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（ 5 分）已知

11、集合M x| 4 x 2 ， N x| x2 x 6 0 ，則 M N（）A x| 4 x3B x| 4 x 2C x| 2 x 2D x|2 x3【考點】 1E：交集及其運算；73：一元二次不等式及其應(yīng)用【分析】 利用一元二次不等式的解法和交集的運算即可得出【解答】 解： M x| 4 x 2 ， N x| x2 x 6 0 x| 2x 3 ， MN x| 2 x 2 故選： C【點評】 本題考查了一元二次不等式的解法和交集的運算，屬基礎(chǔ)題2（ 5 分）設(shè)復(fù)數(shù)z 滿足 | zi | 1， z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），則（）2222A（ x+1） +y 1B（ x 1） +y 1C x

12、2+（ y1） 2 1D x2+（ y+1） 2 1【考點】 A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；J3：軌跡方程【分析】 由 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x， y），可得 z x+yi ，然后根據(jù) | z i | 1 即可得解【解答】 解： z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x， y）， z x+yi ， z i x+（ y 1） i ， | zi | ，22 x +（ y 1） 1，故選： C【點評】 本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題3（ 5 分）已知a log 20.2 ， b 20.2 ， c 0.2 0.3 ，則（）A cB bC Daa ba cca

13、 bbceord 完美格式.【考點】 4M：對數(shù)值大小的比較【分析】 由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得0.2 1，0 0.20.3log 20.2 0， 2 1，從而得出 a， b， c 的大小關(guān)系【解答】 解： a log 20.2 log 21 0，b 20.2 20 1， 0 0.2 0.3 0.2 0 1， c 0.2 0.3 （ 0， 1）， a c b，故選： B【點評】 本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題4（ 5 分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（ 0.618 ，稱為黃金分割比例） ，著名的“斷臂維納斯”

14、便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例， 且腿長為 105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是 （）A 165cmB 175cmC 185cmD190cm【考點】 31：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素；F4：進行簡單的合情推理【分析】 充分運用黃金分割比例，結(jié)合圖形，計算可估計身高【解答】 解：頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26cm，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是 0.618 ，可得咽喉至肚臍的長度小于 42cm，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，eord 完美格式.可得肚臍至足底

15、的長度小于 110，即有該人的身高小于110+68 178cm，又肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618 65cm，即該人的身高大于 65+105 170，cm故選： B【點評】 本題考查簡單的推理和估算，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題5（ 5 分）函數(shù)f （ x）在 ， 的圖象大致為（）ABCD【考點】 3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換【分析】 由 f （ x）的解析式知f （x）為奇函數(shù)可排除A，然后計算f （），判斷正負即可排除 B， C【解答】 解： f （ x）， x ， ，eord 完美格式. f （ x） f （x）， f （ x）為

16、 ， 上的奇函數(shù)，因此排除A；又 f （），因此排除B， C；故選： D【點評】 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是奇偶性和特殊值，屬基礎(chǔ)題6（ 5 分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的 6 個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3 個陽爻的概率是（）ABCD【考點】 CB：古典概型及其概率計算公式【分析】 基本事件總數(shù)n 26 64，該重卦恰有3 個陽爻包含的基本個數(shù)m 20，由此能求出該重卦恰有3 個陽爻的概率【解答】 解：在所有重卦中隨機取一重卦，基本事件總數(shù)n 26 64，該重卦恰有3 個陽爻包含的

17、基本個數(shù) 20，m則該重卦恰有3 個陽爻的概率p故選： A【點評】 本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題7（ 5 分）已知非零向量，滿足 | 2| ，且（），則與的夾角為（）ABCD【考點】 9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角【分析】由（），可得，進一步得到，然后求出夾角即可eord 完美格式.【解答】 解：（），故選： B【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎(chǔ)題8（ 5 分）如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）A AB A2+C ADA 1+【考點】 EF：程序框圖【分析】 模擬程序的運行，由題意，依次寫出每次得到的A 的值，觀

18、察規(guī)律即可得解【解答】 解：模擬程序的運行，可得：A， k 1；eord 完美格式.滿足條件 k 2，執(zhí)行循環(huán)體，A，k 2；滿足條件k 2，執(zhí)行循環(huán)體， 3；Ak此時，不滿足條件k 2，退出循環(huán)，輸出A的值為，觀察 A的取值規(guī)律可知圖中空白框中應(yīng)填入A故選： A【點評】 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題9（ 5 分）記 n 為等差數(shù)列 n 的前n項和已知4 0，55，則（）SaSaA an 2n5B an 3n10C Sn2n2 8nDSn n22n【考點】 83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n 項和【分析】 根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)

19、列 an 的公差為d，則有，求出首項和公差，然后求出通項公式和前n 項和即可【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，由 S4 0， a5 5，得， an 2n 5，故選： A【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n 項和公式，關(guān)鍵是求出等差數(shù)列的公差以及首項，屬于基礎(chǔ)題10（ 5 分）已知橢圓C的焦點為（ 1，0）， （ 1，0），過F2的直線與C交于， 兩點若F1F2A B| 2|2|2 |，| |1|，則C的方程為（）AFF BABBFeord 完美格式.A+y2 1B+ 1C+1D+1【考點】 K4：橢圓的性質(zhì)【分析】 根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得a，b，可得橢圓的方

20、程【解答】 解： |AF2|2|，|3|，BF2ABBF2又 | AB| | BF1| ， | BF1| 3| BF2| ，又 | BF1|+| BF2| 2a， | BF2| ， | AF2| a， | BF1| a，在 Rt AF2O中， cos AF2 O，在 BF1F2 中，由余弦定理可得cos BF2 F1，根據(jù) cos AF2O+cos BF2F1 0，可得+ 0，解得 a23， ab2 a2 c2 3 1 2所以橢圓 C的方程為：+ 1故選： B【點評】 本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬中檔題11（ 5 分）關(guān)于函數(shù)f （ x） sin| x|+|sinx| 有下述四個結(jié)論： f （ x

21、）是偶函數(shù) f （ x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增 f （ x）在 ， 有 4 個零點 f （ x）的最大值為 2其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD【考點】 2K：命題的真假判斷與應(yīng)用eord 完美格式.【分析】 根據(jù)絕對值的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可【解答】 解： f （ x） sin| x|+|sin（ x） | sin| x|+|sinx| f （x）則函數(shù) f （ x）是偶函數(shù)，故正確，當 x（，）時， sin| x| sin x， |sin x| sin x，則 f （x） sin x+sin x2sin x 為減函數(shù)，故錯誤，當 0x 時， f （ x） sin|

22、x|+|sinx| sin x+sin x 2sin x，由 f （x） 0 得 2sin x0 得 x 0 或 x，由 f （x）是偶函數(shù)， 得在 ，）上還有一個零點 x， 即函數(shù) f（ x）在 ， 有 3 個零點，故錯誤，當 sin| x| 1， |sin x| 1 時， f （x）取得最大值2，故正確，故正確是，故選： C【點評】 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，結(jié)合絕對值的應(yīng)用以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵12（ 5 分）已知三棱錐P ABC的四個頂點在球O的球面上， PAPB PC， ABC是邊長為2 的正三角形，分別是，的中點， 90°，則球O的體積為

23、（）E FPAABCEFA 8 B 4C 2 D 【考點】 LG：球的體積和表面積【分析】 由題意畫出圖形，證明三棱錐P ABC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補形法求外接球球O的體積【解答】 解：如圖，由 PAPB PC， ABC是邊長為 2 的正三角形，可知三棱錐P ABC為正三棱錐，則頂點 P 在底面的射影O為底面三角形的中心，連接BO并延長，交AC于 G，則 ACBG，又 PO AC， PO BG O，可得 AC平面 PBG，則 PB AC， E，F(xiàn) 分別是 PA， AB的中點， EF PB，eord 完美格式.又 CEF 90°，即 EFCE， PB CE，得 PB

24、平面 PAC，正三棱錐P ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為 D半徑為，則球 O的體積為故選： D【點評】 本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13（ 5 分）曲線y3（ x2+x） ex 在點（ 0， 0）處的切線方程為y 3x【考點】 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】 對 y 3（x2+x）ex 求導(dǎo)，可將 x 0 代入導(dǎo)函數(shù)， 求得斜率， 即可得到切線方程2x【解答】 解： y 3（ x +x） e ， y'

25、 3ex （x2 +3x+1），當 x 0 時， y' 3， y 3（ x2+x） ex 在點（ 0， 0）處的切線斜率k3，切線方程為：y 3x故答案為： y 3x【點評】 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上某點的切線方程，切點處的導(dǎo)數(shù)值為斜率是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題14（ 5 分）記 Sn 為等比數(shù)列 an 的前 n 項和若a1， a42 a6，則 S5【考點】 89：等比數(shù)列的前n 項和【分析】 根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，建立方程求出q 的值，結(jié)合等比數(shù)列的前n 項和公式進行計算即可【解答】 解：在等比數(shù)列中，由a42a6，得 q6a12 q5a1 0，即 q0， q 3，則S5，eord

26、完美格式.故答案為：【點評】 本題主要考查等比數(shù)列前n 項和的計算，結(jié)合條件建立方程組求出q 是解決本題的關(guān)鍵15（ 5 分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束） 根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6 ，客場取勝的概率為0.5 ，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以 4：1 獲勝的概率是0.18 【考點】 C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【分析】 甲隊以 4： 1 獲勝包含的情況有：前5 場比賽中，第一場負，另外4 場全勝，前 5 場比賽中，第二場負，另外4 場全勝，前 5 場比賽中，第三

27、場負，另外4 場全勝，前 5 場比賽中，第四場負，另外4 場全勝，由此能求出甲隊以4： 1 獲勝的概率【解答】 解：甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6 ，客場取勝的概率為0.5 ，且各場比賽結(jié)果相互獨立，甲隊以 4： 1 獲勝包含的情況有：前 5 場比賽中，第一場負，另外4 場全勝，其概率為：p1 0.4 × 0.6 ×0.5 × 0.5 × 0.6 0.036 ，前 5 場比賽中，第二場負，另外4 場全勝，其概率為：p2 0.6 × 0.4 ×0.5 × 0.5 × 0.6 0.

28、036 ，前 5 場比賽中，第三場負，另外4 場全勝，其概率為：p3 0.6 × 0.6 ×0.5 × 0.5 × 0.6 0.054 ，前 5 場比賽中，第四場負，另外4 場全勝，其概率為：p3 0.6 × 0.6 ×0.5 × 0.5 × 0.6 0.054 ，則甲隊以 4： 1 獲勝的概率為：p p1+p2+p3+p4 0.036+0.036+0.054+0.054 0.18 故答案為： 0.18 【點評】 本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題16（ 5 分）

29、已知雙曲線：1（ 0，0）的左、右焦點分別為，過F1CabF1F2eord 完美格式.的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B 兩點若，? 0，則 C的離心率為2 【考點】 KC：雙曲線的性質(zhì)【分析】 由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得1 ，寫出1的方程，與y聯(lián)立求得FB OAF BB 點坐標，再由勾股定理求解【解答】 解：如圖，且? 0， OA F1B，則 F1B： y，聯(lián)立，解得 B（，），則， 4c2，整理得： b2 3a2， c2 a23a2 ，即 4a2 c2， e故答案為： 2【點評】 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題三、解答題： 共 70 分。解

30、答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共eord 完美格式.60 分。2217（ 12 分）ABC的內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為a，b，c設(shè)（ sin B sin C） sin A sin BsinC（ 1）求 A；（ 2）若a+b 2c，求 sin C【考點】 HP：正弦定理； HR：余弦定理【分析】（ 1）由正弦定理得： b2 +c2 a2 bc，再由余弦定理能求出 A（ 2）由已知及正弦定理可得：sin （ C），可解得 C的值，由兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解【解答】 解：（ 1

31、） ABC的內(nèi)角 A， B， C的對邊分別為a， b，c設(shè)（ sin B sin C） 2sin 2 A sin BsinC則 sin 2B+sin 2C2sin Bsin C sin 2A sin Bsin C，由正弦定理得：b2+c2 a2 bc， cos A， 0 A， A（ 2）a+b 2c， A，由正弦定理得，解得 sin （ C）， C， C， sin C sin （） sincos+cossin+【點評】 本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18（ 12 分）如圖，直四棱柱ABCD A1 B1C1D1 的底面是菱形，AA1 4， AB

32、2， BAD60°，E， M，N分別是 BC， BB1， A1D的中點（ 1）證明： MN平面 C1DE；（ 2）求二面角 A MA1 N的正弦值eord 完美格式.【考點】 LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法【分析】（ 1）過 N作 NHAD，證明 NMBH，再證明BHDE，可得 NMDE，再由線面平行的判定可得MN平面 C1DE；（ 2）以 D 為坐標原點，以垂直于DC得直線為x 軸，以 DC所在直線為y 軸，以 DD1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標系，分別求出平面A1MN與平面 MAA1的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角AMA1N的正弦值【解答】

33、（ 1）證明：如圖，過N作 ，則 1，且，NH ADNH AA又 MBAA1，MB，四邊形NMBH為平行四邊形，則NM BH，由 NHAA1，N為 A1D中點，得 H為 AD中點，而 E 為 BC中點， BEDH， BEDH，則四邊形 BEDH為平行四邊形，則 BH DE， NMDE， NM? 平面 C1DE， DE? 平面 C1DE， MN平面 C1DE；（ 2）解：以 D為坐標原點，以垂直于DC得直線為 x 軸，以 DC所在直線為y 軸，以 DD1所在直線為z 軸建立空間直角坐標系，則 N（， 2），M（， 1， 2）， A1（， 1， 4），設(shè)平面 A1MN的一個法向量為，由，取 x，得

34、，eord 完美格式.又平面 MAA1的一個法向量為， cos 二面角 A MA1 N的正弦值為【點評】 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題19（ 12 分）已知拋物線：2 3的焦點為，斜率為的直線l與C的交點為， ，與CyxFA Bx 軸的交點為 P（ 1）若 | AF|+|BF| 4，求 l的方程；（ 2）若 3，求|AB|【考點】 K8：拋物線的性質(zhì)【分析】（ 1）很具韋達定理以及拋物線的定義可得（ 2）若 3，則y1 3y2，?x1 3x2+4 ，再結(jié)合韋達定理可解得t1， 3，tx1x2，再用弦長公式可得【解答】 解：（

35、1）設(shè)直線l 的方程為 y（ x t ），將其代入拋物線y2 3x 得：x2 （ t +3） x+ t 20，設(shè) A（x1 ， y1）， B（ x2，y2），eord 完美格式.則 x1+x2 2t +， x1x2 t 2，由拋物線的定義可得：| AF|+| BF| x1+x2+p2t + 4，解得 t ，直線 l 的方程為 yx（ 2）若 3，則 y1 3y2，（ x1 t ） 3×（ x2 t ），化簡得 x1 3x2+4t ，由解得t 1， x1 3， x2，| AB|【點評】 本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬中檔題20（ 12 分）已知函數(shù)f （ x） sin xln （ 1+x）

36、， f （ x）為 f （ x）的導(dǎo)數(shù)證明：（ 1） f （ x）在區(qū)間（ 1，）存在唯一極大值點；（ 2） f （ x）有且僅有 2 個零點【考點】 6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】（ 1） f （ x）的定義域為（ 1，+），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進一步求導(dǎo)，得到f （ x）在（ 1，）上為減函數(shù)，結(jié)合f （ 0） 1，f （） 1+ 1+1 0，由零點存在定理可知，函數(shù)f （ x）在（ 1，）上存在唯一得零點 x0，結(jié)合單調(diào)性可得， f （ x）在（ 1， x0）上單調(diào)遞增，在（x0 ，）上單調(diào)遞減，可得f（ ）在區(qū)間（ 1，）存在唯一極大值點；x（ 2）由（ 1）知，當 x（ 1，

37、0）時， f （ x） 0， f （ x）單調(diào)遞減；當x（ 0，x0）時， f （ x） 0， f （ x）單調(diào)遞增；由于f （ x）在（ x0，）上單調(diào)遞減，且 f （ x0） 0，f （） 0，可得函數(shù) f （ x）在（ x0，）上存在唯一零點 x1，結(jié)合單調(diào)性可知，當 x（ x0， x1）時， f （x）單調(diào)遞增；當x（）時， f （x）單調(diào)遞減當 x（，）時， f （ x）單調(diào)遞減，再由f （） 0， f （） 0然后列 x， f （ x）與 f （ x）的變化情況表得答案eord 完美格式.【解答】 證明：（ 1） f （ x）的定義域為（1， +），f （ x） cos x， f

38、（ x） sin x+，令 g（ x） sin x+，則 g（ x） cos x 0 在（ 1，）恒成立， f （ x）在（ 1，）上為減函數(shù)，又 f （ 0） 1， f （） 1+ 1+1 0，由零點存在定理可知，函數(shù) f （ x）在（ 1，）上存在唯一的零點x0，結(jié)合單調(diào)性可得，f （ x）在（1， x0）上單調(diào)遞增，在（ x0，）上單調(diào)遞減，可得f （ x）在區(qū)間（ 1，）存在唯一極大值點；（ 2）由（ 1）知，當 x（ 1，0）時， f （ x）單調(diào)遞增， f （ x） f （ 0） 0，f（ x）單調(diào)遞減；當 x（ 0， x0）時， f （ x）單調(diào)遞增， f （ x） f （ 0） 0，f （ x）單調(diào)遞增；由于 f （ x）在（ x0，）上單調(diào)遞減，且f （ x0） 0， f （） 0，由零點存在定理可知，函數(shù) f （ x）在（ x0，）上存在唯一零點x1，結(jié)合單調(diào)性可知，當 x（ x0，x1）時