幾種常見函數(shù)的導數(shù)

1、§ 3.2幾種常見函數(shù)的導數(shù)課時安排1課時沉著說課本節(jié)依次要講述函數(shù) y=C(常量函數(shù)),y=xn(n Q), y=sinx, y=cosx的導數(shù)公式，這些公 式都是由導數(shù)的定義導出的，所以要強調導數(shù)定義在解題中的作用(1)關于公式(xn) 'n=n-1(n Q),這個公式的證明比擬復雜，教科書中只給了 n N*情況下的證明實際上，這個公式對于n R都成立.在n N*的情況下證明公式，一定要讓學生自主去探索，特別是f(x x) f(x)x(xnx)要運用二項式定理展開后再證明，化C：( x)n 1 ,當&T0時，其極限為c：xn 1即nxn-1.在講完這xn2仿上述方

2、法用定義求解，這是十分可貴的.也有的學生要利用二項式定理先將(x-a)n 展開，然后求導5即禾U用(xn)'n=n-1求導.y=(x-a)n=C°xn1 n 12 n 22Cnx a Cn x ac；(n n1) ay0 n 11nCnXCn (nn 21)x an 1n 1 n 1(1) Cn a ，利用kkC： nC:11將其合并成二1 n 12為 5X Cn個公式后教師可以因勢利導，讓學生利用定義或這個公式求y=(x-a)n的導數(shù)，學生一定會模項式定理的形式.當然有這種解法的，應該提出表場，鼓勵學生大膽創(chuàng)新，同時也要提出這 要運用導數(shù)的和差運算法那么，并告訴學生這是20

3、03年高考題.sin x運用定義證明公式(sinx) ' cosx,(cosx) ' -sinx，要用到極限lim1，根據(jù)學生的x 0 x情況可以補充證明.第五課時課 題§ 3.2幾種常見函數(shù)的導數(shù)教學目標一、教學知識點1. 公式1 C ' =C(為常數(shù))2. 公式 2(xn) 'n=n-1(n Q)3. 公式 3 (sinx) 'cosx4. 公式 4 (cosx) ' -sinx5. 變化率二、能力訓練要求1. 掌握四個公式，理解公式的證明過程 .2. 學會利用公式，求一些函數(shù)的導數(shù).3. 理解變化率的概念，解決一些物理上的簡單問題

4、.三、德育滲透目標1. 培養(yǎng)學生的計算能力.2. 培養(yǎng)學生的應用能力.3. 培養(yǎng)學生自學的能力.教學重點四種常見函數(shù)的導數(shù):C ' =C為常數(shù))，(xn) ' n=n-1(x Q),(sinx) 'cosx,(cosx) '-sinx.教學難點四種常見函數(shù)的導數(shù)的內容，以及證明的過程，這些公式是由導數(shù)定義導出的.教學方法建構主義式讓學生自己根據(jù)導數(shù)的定義來推導公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先證n N的情況.教學過程I .課題導入師我們上一節(jié)課學習了導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義.我們是用極限來定義函數(shù)的導數(shù)的，我們這節(jié)課來求幾種常見函數(shù)的導數(shù).以后可以把它

5、們當作直接的結論來用.n .講授新課師請幾位同學上來用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)1. y=C(C是常數(shù))，求y'.學生板演解：y=f(x)=C, y=f(x+Ax)-f(x)=C-C=O,=0.y' C' =m y =0, y' =0.x 0 x2. y=xn(n N*),求 y'.學生板演解：y=f(x)=xn, Ay=f(x+Ax)-f(x)=(x+ Ax)n-xnxn c：xn1 x C：xn2( x)2 cn ( x)n xnC：xn1 x C；xn2( x)2C： ( x)n丄 CH Cx： 2 xC：(X)n1x y '務'y1n

6、12n2nn11n1n1lim lim Cnx Cnx x Cn ( x) Cnx nx x 0 x x 0 y ' =n-1.3. y=x-n(n N ),求 y .學生板演解：Ay=(x+Ax)-n-x-n11nn(x x) xnnx (x x)n n、n nx) x(x(x x) xyC：Xn1 Cn2xn 2 xC：(X)n1xn n(x x) X ylim yx 0 XClxn1 C：Xn2(X)2Cnn( x)n(x)nxn叫小2 nCnX2J n 1CnXn ,、n 1Cn( x)n n x x y' =x-n-1.4.y=sinx,求 y'叫兩位同學做)

7、學生板演生甲 解：Ay=s in( x+ Ax)-s inx=sin xcos Ax+cosxs in Ax-sinx,y sin xcos x cosxsin x sinxxx- ysin x cos x cosxsin x sinx limx 0sin x(cos x limx 0cosxs in2sin x( 2 sin limx 02x)lim cosxsx 0lim ( 2sin x)x 0 2 xsin 一2x 2(1")cosx=-2s inx 1 0+cosx=cosx.- y' cosx.生乙 Ay=si n(x+Ax)-si nxx x=2cos(x+ )

8、sin2 2y2cos(xx)sin x22xx5ylim yx 0 x2 cos(xx、.)sirx I 一lim22x0xX、.xcos(x)sin-lim22x0x2xsin -limcos(x-)lim02x02x 0x2=cosx. y' =sx.如果叫兩位同學上去做沒有得到兩種方法，老師可把另一種方法介紹一下探5.y=cosx,求y'也叫兩位同學一起做生甲 解：Ay=cosx+Ax-cosx=cosxcos Ax-s inxsin Ax-cosx,y lim -x 0 xcosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosx(cos x 1) sin

9、xsin x limx 0l'm0(2cosx)cosx( 2sin2.2 xsin2lim sin xsi-xx 0sinx 1=-2cosx 1 0-s in x=-s inx, y' =nx.生乙解:limcos(x x) cosxx 02sin(x)sin2sin(xlimx)sin22=-s inx,/ y' =i nx.師由4、5兩道題我們可以比擬一下，第二種方法比擬簡便，所以求三角函數(shù)的極 限時，選擇哪一種公式進行三角函數(shù)的轉化，要根據(jù)具體情況而定，選擇好的公式，可以簡化計算過程.上面的第2題和第3題中，只證明了 n N*的情況，實際上它對于全體實數(shù)都 成

10、立.我們把上面四種函數(shù)的導數(shù)作為四個公式，以后可以直接用板書(一)公式1 C ' =C(是常數(shù))公式 2 (xn)' n=n-1 (n R)公式 3 (sinx) ' cosx公式 4 (cosx) ' -=inx(二 )課本例題師下面我們來看幾個函數(shù)的導數(shù)，運用公式求：1 (1)(x3) ； (2)( 2) ' ；(3)O)'x學生板演(1)解：(x3) ' =31=3x2.& / 1、(2) 解: (T)(x 2) 2x 21 2x3.x1 1 1 1(x2)x221舟x212 x解：(.X)(還可以叫兩個同學同做一道題，一個

11、用極限即定義來求，一個用公式來求，比擬一下)(三)變化率舉例師我們知道在物理上求瞬時速度時，可以用求導的方法來求.知道運動方程s=s(t),瞬時速度V=s'tX板書物體按s=s(t)作直線運動，那么物體在時刻to的瞬時速度V0=s 'to(.vo=s 'to(叫做位移s在時刻to對時間t的變化率.師我們引入了變化率的概念，函數(shù)f(x)在點xo的導數(shù)也可以叫做函數(shù) f(x)在點xo對自變量x的變化率.很多物理量都是用變化率定義的，除了瞬時速度外，還有什么？板書函數(shù)y=f(x)在點xo的導數(shù)叫做函數(shù)f(x)在點xo對自變量x的變化率.生例如角速度、電流等.師它們是分別對哪些

12、量的變化率呢？生角速度是角度(作為時間的函數(shù))對時間的變化率；電流是電量(作為時間的函數(shù)) 對時間的變化率.師下面來看兩道例題.例1物質所吸收的熱量Q=Q(T)(熱量Q的單位是J,絕對溫度T的單位是K),求熱量對溫度的變化率 C(即熱容量).學生分析由變化率的含義，熱量是溫度的函數(shù)，所以熱量對溫度的變化率就是熱量 函數(shù)Q(T)對T求導.解：C=Q'T(,即熱容量為Q'T(J/K.師單位質量物質的熱容量叫做比熱容，那么上例中，如果物質的質量是v kg,那么比熱容怎么表示？1生比熱容是Q'T(J"kg K).-例2如圖3-9，質點P在半徑為10 cm的圓上逆時針作

13、勻角速運動，角速度為1 rad/s,設A為起始點，求時刻t時，點P在y軸上的射影點 M的速度.學生分析要求時刻t時M點的速度，首先要求出在 y軸的運動方程，是關于 t的函 數(shù)，再對t求導，就能得到 M點的速度了 .解：時刻t時，角速度為1 rad/s,/Z P0A=1 t=t rad./ MPO= Z POA=t rad./ OM=OP sinZ MPO=10 -sint.點M的運動方程為 y=10sint. v=y' =0sint) ' =COst,即時刻t時，點P在y軸上的射影點 M的速度為10cost cm/s.師我們學習了有關導數(shù)的知識，對于一些物理問題，就可以利用導數(shù)

14、知識輕而易舉 地解決了 .求導時，系數(shù)可提出來.川.課堂練習1. ( 口答)求以下函數(shù)的導數(shù).(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4) u=cos ©生(1)yf)'=5生(2)y'珀=6生(3)x =(nt)'cost.生(4)u' =Os©'-oin ©.2.求以下函數(shù)的導數(shù)(1)y13 x;(2) y 3 x .(1) 解:/y1韋)點)-3x-3-1_-3x-4.x解:yL丄1-1(3 x) (x3)- x33213x33. 質點的運動方程是 s=t3(s單位：m,t單位：s),求質點在t=3時的速

15、度. 解：v=s' =() ' =31=3t2, 當 t=3 時，v=3X32=27(m/s), 質點在t=3時的速度為27 m/s.一 1 2 24物體自由落體的運動方程是s=s(t)= gt (s單位：m,t單位：s,g=9.8 m/s ),求t=3時的速度.解：V s (t)(2 gt2) 2g 2t2 1 gt,當 t=3 時，v=g 3=9.8 X3=29.4(m/s), t=3時的速度為 29.4 m/s.師該題也用到求導時系數(shù)可提出來根據(jù)Cf(x) ' Cf' x)(C是常數(shù)).這由極限的知識可以證得.rCf (x x) Cf(x)廠 f (x x

16、) f (x),Cf (x) limlim C=Cf x).x 0xx 0x5.求曲線y=x4在點P(2, 16)處的切線方程.解：y' =0 ' =41=4x3.- y'x=2=4 X23=32.點P(2, 16)處的切線方程為 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0.IV .課時小結學生總結這節(jié)課主要學習了四個公式(C' =C是常數(shù))，(xn) ' n=n-1 (n R),(sinx) ' cosx,(cosx) '-=nx)以及變化率的概念：vo=s't(叫做位移s在時 刻to對時間t的變化率，函數(shù)y=f(x)在

17、點xo的導數(shù)f'x0)叫做函數(shù)f(x)在點xo對自變量x的變 化率.V .課后作業(yè)(一) 課本 P116習題 3.22, 4, 5.(二) 1.預習內容：課本 P118119和(或差)、積的導數(shù).2. 預習提綱：(1)和(或差)的導數(shù)公式、證明過程.積的導數(shù)公式、證明過程.預習例1、例2、例3，如何運用法那么1、法那么2.板書設計§ 3.2幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式1C ' =0(為常數(shù))公式 2(xn) ' n=n-1(n R)公式 3(sinx) ' cosx公式 4(cosx) ' -sinxV0=s ' t(是位移s在t0對時間t的變化率.函數(shù)y=f(x)在點x0的導數(shù)叫做函數(shù)f(x)在點X0對自變量x的變化率.1. y=C(C是常數(shù)),求y '.2. y=xn(n N*),求 y'.3. y=x-n(n N*),求 y'.4. y=sinx,求y'兩種方法)5. y=cosx,求y'兩種方法)課本例題1(1)(x3) ' ；(2鬆)；(3)(X)'.X,求熱量對溫度的變化率 C