微分方程(教師用)

1、第十一章 微分方程 177頁(yè) 第一節(jié)微分方程的基本概念 177頁(yè)階常微分方程: ，或初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題）求方程滿足已給初始條件的特解叫初值問(wèn)題.一階微分方程的初值問(wèn)題，其幾何意義是求微分方程的通過(guò)點(diǎn)的那條積分曲線。二階微分方程的初值問(wèn)題，記作：幾何意義是求通過(guò)點(diǎn)且在該點(diǎn)處的切線斜率為的積分曲線。補(bǔ)例 求下列曲線族所應(yīng)滿足的微分方程(1)； (2) .分析：要求的微分方程其階數(shù)應(yīng)和曲線族中參數(shù)的個(gè)數(shù)一致.解：(1)，對(duì)求導(dǎo)，有：；，；故所求的微分方程是：(2) ；對(duì)求一階，二階導(dǎo)數(shù)有：；(已不含參數(shù))； 所求微分方程是：習(xí)題11-1- 微分方程的基本概念 183頁(yè) 5. 寫出由下列條件確定的曲線

2、所滿足的微分方程：(1)在點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)向徑垂直；1 / 475(1)（2）圖解:補(bǔ)充1： 指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解： （2），是。補(bǔ)充3：在下列各題中確定函數(shù)關(guān)系式中所含的參數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件（3） ，.,由,得 練習(xí)冊(cè)2設(shè)微分方程為(1)驗(yàn)證為任意常數(shù)）是方程的通解；(2)由通解求滿足初始條件的特解。(3)說(shuō)明上述通解和特解的意義。解：（1）所以結(jié)論成立。 （2）又因?yàn)椋?）通解是滿足的一簇曲線。特解是過(guò)（0，1）的一條曲線。3社微分方程的通解為為任意常數(shù)，求此微分方程。解：求導(dǎo)： 即或者：第二節(jié) 一階微分方程 184頁(yè)一 變量可分離變量方程若一階微分方程能寫

3、成：或：的形式，稱為變量可分離變量方程.分離變量積分： （4）就得通解.補(bǔ)例1： 求解：解：其中是任意常數(shù)。補(bǔ)例2:放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫衰變，由原子物理學(xué)知，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子含量成正比，已知時(shí)鈾的含量為求在衰變過(guò)程中鈾的含量變化的規(guī)律。解：鈾的衰變速度即，由題意有：補(bǔ)例3： 是可分離變量方程，得：；兩邊積分得：，記作，得；故通解：歸納：積分過(guò)程中，原函數(shù)出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，真數(shù)可以不加絕對(duì)值，任意常數(shù)也寫為lnc。二. 齊次方程：185頁(yè)方程 （6） 稱齊次方程.解法：令（為未知函數(shù)），原方程化為： 這是可分離變量方程

4、，解此方程，求出通解后，換回原變量得原方程通解.注：方程形如，可令即，原方程化為：三 可化為齊次方程的微分方程187頁(yè)（不講）四 一階線性微分方程 188頁(yè) 稱為一階線性方程. 當(dāng)時(shí)稱為齊次線性方程，的通解為：這就是一階線性方程通解的公式，另法：，兩邊同乘,即得：有時(shí)方程關(guān)于不是線性的，但視為自變量，是函數(shù)時(shí)，方程關(guān)于是線性的，此時(shí)有：方程： 的通解為： .補(bǔ)例2：不是一階線性方程，但可改寫為：。 即 是方程的通解.二. 貝努利方程： 方程 稱為貝努力方程.解法：引入代換化為線性方程.，代回有：這就是一階線性方程，求出通解后換回原變量，就得原方程通解.補(bǔ)例3：設(shè)，且與路徑無(wú)關(guān)，求，并求時(shí)的積分

5、.解：積分與路徑無(wú)關(guān)，故，所以有即 一階線性方程又 得 ,下面求的積分能用變量替換化為可積型的方程：補(bǔ)例4：解方程：解：變形：這是一階線性微分方程。；也可用變量代換法來(lái)解所給方程：令，代入原方程得：，以代回即得： 五. 全微分方程 193頁(yè) 若方程的左端，恰是某二元函數(shù)的全微分，即，則稱此方程為全微分方程或恰當(dāng)微分方程. 是全微分方程的充分必要條件是. 取路徑 通解 ；或取路徑 ： 是通解補(bǔ)例1：解解：這里：，是全微分方程，取，取路徑，由公式有：通解：補(bǔ)例2：求解： 解：， 是全微分方程，取路徑 ：； 通解： 含積分因子的方程：若對(duì)方程，存在函數(shù)，使得是全微分方程，則稱是原方程的積分因子.通常

6、用下面的全微分式子來(lái)找積分因子： ； ； ； ； ；例如：方程不是全微分方程，但是，可知是一個(gè)積分因子，（不難驗(yàn)證：也都是積分因子，事實(shí)上：）；乘上其中任何一個(gè)積分，便得通解:又如,也不是全微分方程，但將其各項(xiàng)重新合并得：，容易看出為積分因子，方程就變?yōu)椋貉a(bǔ)例：. 判別方程是否全微分方程，并求通解.解:是全微分方程. 通解：習(xí)題11-2一階微分方程 194頁(yè)1. 求下列微分方程的通解解：得從而有：即：. 2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.(1)得(2)，；解：分離變量得：；積分：， ，得，所求特解為 （3），解：積分得：由初始條件得：特解為：（4）3. 一曲線通過(guò)點(diǎn)(2,3)，它在兩

7、坐標(biāo)軸間的任一切線段均被切點(diǎn)所平分，求這曲線方程.6圖解：設(shè)切點(diǎn)為則切線的截距分別為即：通解為：由得：故曲線方程為4某車間體積為12000開始時(shí)空氣中含有0.1的二氧化碳，為了降低空氣中二氧化碳的含量，用一臺(tái)風(fēng)量為每分鐘2000的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.03的二氧化碳的新鮮空氣，同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后，車間內(nèi)二氧化碳的百分比降低到了多少？解：以表二氧化碳的濃度，則；即：故=0.56。5. 求下列齊次方程的通解：（1） 解：令：，回代得; 解：變形： 補(bǔ)充：解：，代回原變量得：。6. 求齊次方程滿足所給初始條件的特解.解：令， 則回代得，又： 所以，特解： 7 設(shè)有連

8、結(jié)點(diǎn)和的一段向上凸的曲線段，對(duì)于上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段所圍圖形的面積為，求曲線弧的方程.解：設(shè)，由條件得：對(duì)求導(dǎo)得：又故：，回代：；通解為：由得：故： .8（不要求）9. 求下列微分方程的通解（1）解：先求解：，常數(shù)變易法，令，代入非齊次方程，得：法2，用公式：得： 解：(3)。解：變形得：,（4），因?yàn)椋汗?補(bǔ)充1：補(bǔ)充2： ; 補(bǔ)充3： 解：，補(bǔ)充4： 注不易解。解：10求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：補(bǔ)充1： 求一曲線的方程，這曲線過(guò)原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于.補(bǔ)充2：設(shè)曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，其中可導(dǎo)，且.求.條件，,，,由得,.14. 判別下列方

9、程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解.，通解。通解。； 通解：不是，變形有當(dāng)時(shí)，是全微分方程，解為：2. 利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解：（1）(2) ；變：通解積分因子： 通解：補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：解：變形：,兩邊乘得: 即: 通解,積分因子. 練習(xí)冊(cè) （可分離變量的微分方程）1求下列微分方程的通解：2求下列微分方程滿足所給初值條件的特解。3若以曲線為底的曲邊梯形的面積與縱坐標(biāo)次冪成正比，且已知求此曲線的方程。 齊次方程1求下列齊次方程的通解：2求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解。3用適當(dāng)變量替換，求解下列方程 一階線性微分方程1求下列微分方程的通解（1）2求下列微分方程滿足

10、所給初始條件的特解3已知在全平面上與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且L是起點(diǎn)為（0，0），終點(diǎn)為（1，1）的有向曲線時(shí)，該曲線積分值等于試求函 數(shù)4求下列貝努利方程的通解：補(bǔ)充：求解：全微分方程1驗(yàn)證下列各方程為全微分方程，并求出方程的通解成立，所以方程為全微分方程，取積分路徑如圖，則通解為：2已知為全微分方程，并求此全微分方程的通解。3利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解。解：變形：通解積分因子： 補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：第三節(jié)、可降價(jià)的高階方程（三種最簡(jiǎn)類型）196頁(yè) 型的微分方程特征：缺；求解方法：令，；得關(guān)于的一階方程，設(shè)其通解為因此得到一個(gè)一階微分方程：，再積分得： 補(bǔ) 例2：

11、；解：方程中缺，令，代入方程得。分離變量，積分：，即，方程通解：. 型的微分方程特征；缺；求解方法：令，。得關(guān)于的一階方程，設(shè)解得：，分離變量并積分得：。補(bǔ)例3： 求方程的特解。 解： 缺，令，將，代入方程得： ；因?yàn)?，所以不是方程的解，于是有：積分，得 ，即 ， ，得 于是有 ， 即 ， 積分得：，；原方程特解為 習(xí)題11-3 可降階的高階微分方程 199頁(yè)1. 求下列各微分方程的通解(1) ； （2）：解：設(shè)，代入有：， (3) ；解:設(shè)則原方程化為 解：設(shè)則原方程化為 補(bǔ)充1： 補(bǔ)充2： 2. 求下列微分方程，滿足所給初始條件的特解.；再由：, 故特解：（3）解：令，代回有：在時(shí)約去并分

12、離變量得，再分離變量并積分得：由由,故特解解：設(shè)則原方程化為 補(bǔ)充. 試求的經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線.解:初始條件，對(duì)積分：由得：積分：由得：故： 練習(xí)冊(cè)1求下列微分方程的通解(4) ；解:設(shè)則原方程化為 2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解。解：，代入有：，第四節(jié)、高階線性微分方程 200頁(yè) 叫做二階線性微分方程，當(dāng)時(shí)叫做二階齊次線性微分方程 當(dāng)時(shí)稱階齊次線性方程；時(shí)稱階非齊次線性方程.二. 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)有二階線性方程 定理1：設(shè)與是齊次線性方程的兩個(gè)解，則也是解.疊加起來(lái)的解從形式上看含有兩個(gè)任意常數(shù)，但它不一定是方程（1）的通解，什么情況下才是

13、方程（1）的通解呢？這就要用到下面的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念。設(shè)個(gè)不全為零的常數(shù)時(shí)有恒等式：，那末稱這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的情形，它們是否線性相關(guān)，只要看它們之比是否為常數(shù)：如果比為常數(shù)，那么它們就線性相關(guān)，否則就線性無(wú)關(guān)定理2：設(shè)與是齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解（即常數(shù)），則 是方程的通解.推論：如果階齊次線性方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則此方程的通解為：，其中：為任意常數(shù)。定理3：設(shè)是非齊次線性方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解，則是方程的通解.定理4：若是方程的解， 是方程的解，則 是方程 的解.習(xí)題11-4 高階線性微分方程 206頁(yè)1 驗(yàn)證及都是方程的解

14、. 并寫出通解. ,；是方程的解,同理也是方程的解.因常數(shù),故與線性無(wú)關(guān)；通解： 3. 驗(yàn)證及都是方程的解. 并寫出通解.4. 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解.(4) （任意常數(shù)）是的通解；證明：故 所以是方程的解.同理, 也是方程的解.又常數(shù),所以 是任意常數(shù)）是方程的通解；練習(xí)冊(cè)1. 已知方程的兩個(gè)特解為及. 試求該方程滿足初始條件.的特解2已知函數(shù)是二階線性非齊次微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)特解，而該非齊次線性微分方程本身的一個(gè)特解為求此二階線性非齊次微分方程的通解，并寫出這個(gè)方程。且此時(shí)易驗(yàn)證是的二特解，是的特解。 第五節(jié)常系數(shù)線性方程 206頁(yè) 常數(shù)）稱為二階常系數(shù)齊次線性微分

15、方程。，叫做特征方程；其根有三種不同情形：一，不相等的實(shí)根：通解為：二：，通解為：。三 兩個(gè)共軛復(fù)根，通解補(bǔ)例1： 求解解：通解又，故求導(dǎo)有：又，所以特解：補(bǔ)例2： 求 的積分曲線，使其在點(diǎn)(0,2)與直線相切.解：因所求曲線在點(diǎn)(0,2)與直線相切，問(wèn)題是的特解.特征方程 ，特征根 ，所以通解是由 求得 ；曲線：階常系數(shù)齊次方程： 其中是常數(shù).特征方程 求出特征根，由特征根寫出通解特征方程的根方 程 通 解 中 的 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng)()單實(shí)根給出一項(xiàng)：()一對(duì)單復(fù)根給出兩項(xiàng)：() 重實(shí)根給出項(xiàng)：() 一對(duì)重復(fù)根 給出項(xiàng)：補(bǔ)例： ；特征方程：， 通解：二. 二階常系數(shù)非齊次線性方程 210頁(yè) （常數(shù)

16、）由定理2知，此方程的通解 其中是齊次線性方程的通解，前面已解決. 是非齊次線性方程的特解，求的關(guān)鍵是由方程左端函數(shù)的形式正確地寫出，中的系數(shù)待定，然后用待定系數(shù)法求出這些系數(shù)，從而得.一型若，則方程具有形如的解。其中，的多項(xiàng)式，而則按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2。上述結(jié)論可推廣至階常系數(shù)非齊次線性微分方程。補(bǔ)例1：求：的一個(gè)特解。解：；不是特征根，故設(shè)，代入所給方程，得：于是求得一個(gè)特解為補(bǔ)例2：求的通解。解：，先求對(duì)應(yīng)齊次方程的解：由于是特征方程的單根，故設(shè)：把它代入所給方程，得：因此求得方程的一個(gè)特解為：從而所求的通解為：，二 型：則非齊次線性微分

17、方程的特解可設(shè)為：，其中是不同的次多項(xiàng)式系數(shù)待定，而按不是特征方程的根，或是特征方程的單根依次取0或1。補(bǔ)例：方程因，故特征根 是二次多項(xiàng)式，不是特征根， 設(shè).補(bǔ)例：方程因是單根，一次多項(xiàng)式，故設(shè).補(bǔ)例 寫出下列方程特解的形式：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；解：(1) 的特征方程為 ，故特征根.，二重特征根，且二次，故 （a,b,c待定） (2) 的特征方程是，特征根 ，是特征單根，2是零次多項(xiàng)式，故是零次多項(xiàng)式，且不是特根，故 （a,b待定）(3) 的特征方程為，.，恰是特征根 (a,b待定) (4) 特征方程為，特征根.， 是特征根，且是一次式；故 (a,b,c,d待

18、定)(5)的特征方程為，.又因 ，不是特征根，是二重特征根， （a,b待定）習(xí)題11-5 二階常系數(shù)線性微分方程 215頁(yè)1. 求下列微分方程的通解：(2) ； 通解為 ， 補(bǔ)充1：.通解2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充2：4. 求下列各微分方程的通解 解：分解為： （1） 對(duì)（1）而言：不是特征根，令回代得：。對(duì)（2）而言：是特征根，令回代得： 補(bǔ)充1：解：; 補(bǔ)充2：解：故. 補(bǔ)充3：補(bǔ)充4：5 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充1； ，解：特征方程為 對(duì)應(yīng)齊次解為 ,不是特征根，設(shè) 則得通解為,由得故特解為故6. 設(shè)連續(xù)，且滿足，求.解：初始條件對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 , 不是特征根，設(shè) 則得通解為由得故特解為 . 練習(xí)冊(cè)1求下列微分方程的通解 補(bǔ)充：求以為通解的微分方程（其中為任意常數(shù)）3求下列微分方程滿足所給初始條件的特解。4一質(zhì)量為M的船，以速度時(shí)動(dòng)力被關(guān)閉，假定水的阻力與船的瞬時(shí)速度成正比（比例系數(shù)為K），求時(shí)間與經(jīng)過(guò)的距離的函數(shù)關(guān)系。1設(shè)為下列情形時(shí)，寫出非齊次方程特解的形式（不具體計(jì)算）。注：2求下列微分方程的通解3求微分方程4試求函數(shù)與積分路徑無(wú)關(guān)。解：由積分與路徑無(wú)關(guān)的條件有：得：練習(xí)題一、填空題1. 曲線族所滿足