高中數(shù)學(xué)題庫高一部分-A集合與簡易邏輯-集合

1、集合Axx 2axa2190，Bxx 25 x60，Cxx 22 x80 （1）若ABAB，求a的值；（2）若 AB，AC，求a的值答案：由已知，得B2，3，C2，4.(1) ABAB， AB 于是2，3是一元二次方程x2axa2190的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理知： 解之得a5. (2)由AB ，又AC，得3A，2A，4A，由3A，得323aa2190，解得a5或a=2當(dāng)a=5時(shí)，Axx25x602，3，與2A矛盾；當(dāng)a=2時(shí)，Axx22x1503，5，符合題意. 來源：09年湖北宜昌月考一題型：解答題，難度：中檔設(shè)A=-4，2a-1，a2 ，B=a-5，1-a，9若AB=9，求a的值答案：解：AB

2、=9，A=-4，2a-1，a2 ，2a-1=9或a2=9解得a1=5，a2=3，a3=-3當(dāng)a=5時(shí)，A=-4，9，25，B=0，-4，9這時(shí)，AB=-4，9與已知AB=9矛盾，把a(bǔ)=5舍去當(dāng)a=3時(shí)，A=-4，5，9，B=-2，-2，9由集合中元素的互異性，應(yīng)把a(bǔ)=3舍去當(dāng)a=-3時(shí)，A=-4，-7，9，B=-8，4，9AB=9符合要求a=-3 來源：題型：證明題，難度：中檔已知：集合A=x|0， B=x|x23x+2<0，U=R，求（1）AB；（2）（uA）B.答案：A=x|0=x|5<x B=x|x23x+2<0=x|1<x<2 （1）AB=x|5<x

3、<2 （2）（uA）=x|x5或x> （uA）B=x|<x<2 來源：09年湖北襄樊月考一題型：解答題，難度：中檔已知全集，不等式的解集為，不等式的解集為（I）求，；（II）求答案：（）由 得.由.得 .（）， .來源：09年北京海淀月考一題型：解答題，難度：容易設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）若，則答案：（1）因?yàn)椋?，所以?）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以（3）設(shè)，則（因?yàn)椋?。來源?8年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)任何，都有，則必有，證明你的

4、結(jié)論。答案：不正確，取滿足條件，但。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：中檔設(shè)集合P=1，2，3，4，5，對(duì)任意kP和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在kP和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。答案：設(shè)集合P=1，2，3，4，5，對(duì)任意kP和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在kP和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。證明：定義集合A=|mN*，kP，其中N*為正整數(shù)集。由于對(duì)任意k、iP且ki，是無理數(shù)，則對(duì)任意的k1、k2P和正整數(shù)m1、m2，當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2，k1=k2。由于A是一個(gè)無窮

5、集，現(xiàn)將A中的元素按從小到大的順序排成一個(gè)無窮數(shù)列。對(duì)于任意的正整數(shù)n，設(shè)此數(shù)列中第n項(xiàng)為。下面確定n與m、k的關(guān)系。若，則。由m1是正整數(shù)可知，對(duì)i=1，2，3，4，5，滿足這個(gè)條件的m1的個(gè)數(shù)為。從而n=f(m，k)。因此對(duì)任意nN*，存在mN*，kP，使得f(m，k)=n。來源：07年全國高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題型：解答題，難度：較難已知集合，問：當(dāng)取何值時(shí)，為恰有2個(gè)元素的集合？說明理由，若改為3個(gè)元素集合，結(jié)論如何？答案：因?yàn)椋ˋB）C=（AC）（BC），而AC，BC分別為方程組（）與 （）的解集。在（）中將代入消去y得（1-ax）2+x2=1.即（a2+1）x2-2ax=0，所以x=0或x=

6、。當(dāng)x=0時(shí)y=1，當(dāng)x=時(shí)，y=所以（）的解集為在（）中將代入解（）得（1）若（AB）C含有2個(gè)元素，因?yàn)椋?，1），（1，0）（AB）C，所以（AB）C中只含有這兩個(gè)元素，從而或。解得a=0或a=1。故當(dāng)a=0或a=1時(shí)，（AB）C恰有2個(gè)元素。（2）若（AB）C含有3個(gè)元素，由（1）知只有，即a2+2a-1=0.所以a=來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難已知，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：）若，則由；）若，由得或；所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，C為單元素集。所以的取值范圍是。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：中檔對(duì)于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合

7、的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。答案：首先，在2，3，4，n+1中能被2或3或除的有個(gè)，記為g(n)，其中任意3個(gè)中必有2個(gè)不互質(zhì)，所以f(n)>g(n)。引理：當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，從m, m+1, m+2, m+3, m+4中任意取出4個(gè)元素，必有3個(gè)兩兩互質(zhì)。只需分m=6k+1, 6k+3, 6k+5三類討論即可。下面證明，當(dāng)f(n)=g(n)+1時(shí)，題設(shè)條件成立。用反證法，若不然，對(duì)于給定的S，因?yàn)閙, m+1中必有1個(gè)奇數(shù)，從這個(gè)奇數(shù)開始，連續(xù)6個(gè)整數(shù)為一組，設(shè)n=6k+r, 1r6.（1）若r=1,2,3,則由引理可知，每組至多取出4個(gè)數(shù)，一共至多取出4k+r<4

8、k+r+1=g(n)+1個(gè)數(shù)，矛盾。（2）若r=4,5，從m, m+1中的奇數(shù)開始分組，最后余下至少3個(gè)數(shù)，且以奇數(shù)開頭。以奇數(shù)開頭的連續(xù)3個(gè)正整數(shù)兩兩互質(zhì)，從而必有1個(gè)沒被取出。由引理可知一共至多取出4k+r-1<4k+r=g(n)+1個(gè)數(shù)，矛盾。（3）若r=6，從m, m+1中的奇數(shù)開始連續(xù)6個(gè)整數(shù)為一組，最后余下以奇數(shù)開頭的至少5個(gè)整數(shù)，連同第一個(gè)數(shù)（如果第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)）作為一組，共分k+1組。由引理可知，每組至多取出4個(gè)數(shù)，一共至多取出4(k+1)<4k+5=g(n)+1個(gè)數(shù)，矛盾。綜上所述，假設(shè)不成立。所以當(dāng)f(n)=g(n)+1=時(shí)，對(duì)于任意mN+，從S中任取f(n)個(gè)

9、元素，總有3個(gè)兩兩互質(zhì)。故f(n)=來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對(duì)A的任意一個(gè)14-分劃，一定存在某個(gè)集合，在中有兩個(gè)元素a和b滿足。答案：構(gòu)造數(shù)表表1、表2如下。表1 表2 如表2，第i行的數(shù)即為子集Ai中的元素，這時(shí)|Ai|=4(i=1,2,13)，|A14|=3。顯然，14個(gè)子集中每一個(gè)都不存在兩個(gè)元素滿足題中不等式。所以m56.另一方面，若m=56，則對(duì)A的任意分劃A1，A2，A14，數(shù)42，43，56中必有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)A，取此二數(shù)為a和b，則42a<b56=·42a.綜上所述，所求m的最小正整數(shù)為56。來源：08年

10、數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1）若，則。如果，S中至少含有多少個(gè)元素？說明理由。答案：首先（否則，但），由得，且（理由同上）。所以互不相同，所以S至少含有3個(gè)元素。另一方面，滿足條件，故S至少含有3個(gè)元素。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：中檔集合A和B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素；2）。答案：若，則有種；若，則有種；若，則有種，故滿足條件的C共有1084個(gè)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個(gè)成立，并且若，則，試確定集合S。答案：

11、若-1S，則(-1)2=1S與已知矛盾，所以-1S，1S。所以1+1=2S，1+2=3S，依次類推，所以，所以。所以若rQ,則設(shè)m,nN+.因?yàn)閚S，S，所以rS，所以Q+S。由已知若rS，因?yàn)?，若r<0，則-rQ+,所以-rS矛盾。所以rQ+,所以SQ+，所以S=Q+.來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。答案：因?yàn)?+2+10=55<120=1×2×3×4×5，所以集合C至多有4個(gè)元素，下面對(duì)|C|分4種情況討論。（1）C由一個(gè)元素構(gòu)成，因?yàn)镃的元素乘積不超過10，B的元素和

12、至少為55-10=45。故此情況不成立。（2）C由兩個(gè)元素x,y構(gòu)成，設(shè)x<y，則有xy=55-x-y,即（x+1）(y+1)=56，因?yàn)閤+1<y+111，解得x=6,y=1,故C=6，7，B=1，2，3，4，5，8，9，10。（3）C由三個(gè)元素x<y<z構(gòu)成，由題設(shè)得xyz=55-x-y-z.當(dāng)x=1時(shí)，解得y=4,z=10,因此C=1，4，10，B=2，3，5，6，7，8，9；當(dāng)x=2時(shí)，有2yz+y+z=53,即(2y+1)(2z+1)=107為質(zhì)數(shù)，無解；若x3，顯然有xyz3×4×5=60>55-x-y-z，無解。（4）C由四個(gè)元素

13、x<y<z<t構(gòu)成，必有x=1,否則xyzt2×3×4×5=120>55.這時(shí)yzt=54-y-z-t,2y<z<t。如（3），當(dāng)y3時(shí)無解，故y=2,2zt+z+t=5.即(2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,從而C=1，2，3，7，B=4，5，6，8，9，10。綜上可知，B，C有3組解。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干個(gè)五元子集滿足：S中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問：至多有多少個(gè)五元子集？答案：假設(shè)有9個(gè)五元子集，重復(fù)計(jì)

14、數(shù)共5×9=45個(gè)元素。因?yàn)?5=4×10+5，由抽屜原理，必有一個(gè)元素出現(xiàn)在至少5個(gè)五元子集中，不妨設(shè)0出現(xiàn)在五元子集A1，A2，A3，A4，A5中，這5個(gè)子集中除0外，重復(fù)計(jì)數(shù)還含有共4×5=20個(gè)元素，因?yàn)?0=2×9+2。所以由抽屜原理可知必有1個(gè)元素出現(xiàn)在三個(gè)五元子集中，不妨設(shè)1出現(xiàn)在A1，A2，A3中，則0，1同時(shí)出現(xiàn)在3個(gè)子集中，不滿足題意，故五元子集數(shù)8。如下8個(gè)五元子集滿足題意：A1 0 2 4 6 8A2 0 2 5 7 9A3 0 3 4 7 9A4 0 3 5 6 8A5 1 2 4 6 9A6 1 2 5 7 8A7 1 3 4

15、 7 8A8 1 3 5 6 9來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難是三個(gè)非空整數(shù)集，已知對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，如果，則。求證：中必有兩個(gè)相等。答案：證明：由已知，若xS，ySj，則y-xSk, (y-x)-y=-xSi,所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。否則，設(shè)S1，S2，S3中的最小正元素為a，不妨設(shè)aS1，設(shè)b為S2，S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)bS2，則b-aS3.若b>0, 則0b-a<b，與b的取法矛盾，所以b=0。任取xS1，由于0S2，故x-0=xS3，所以，同理，故。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，

16、難度：較難求證：集合1，2，1989可以劃分為117個(gè)互不相交的子集，使得（1）每個(gè)恰有17個(gè)元素；（2）每個(gè)中各元素之和相同。答案：將集合1，2，1989中的數(shù)從小到大順次分成17段，每段含117個(gè)數(shù)，從第4段數(shù)開始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入A1，A2，A117中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這117個(gè)子集中，易見，所有集合中的14個(gè)數(shù)之和都相等，于是問題歸結(jié)為如何將前三段數(shù)1，2，351的每3個(gè)一組分別放入每個(gè)集中，且使每組3個(gè)數(shù)之和都相等。把這些數(shù)中3的倍數(shù)抽出來從大到小排好：351，348，345，6，3，共117個(gè)數(shù)，依次將入A1，A2，A117中，其余的234個(gè)數(shù)從小到大排列

17、并分成兩段，每段117個(gè)數(shù)，即1，2，4，5，7，173，175和176，178，179，349，350，將這兩段數(shù)分別順次放入A1，A2，A117之中便滿足要求。事實(shí)上，若將這兩段數(shù)中的數(shù)順次相加，則其和為177，180，183，186，522，525。由此可見，放入每個(gè)Ai的3個(gè)數(shù)之和都是528。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難某人寫了封信，同時(shí)寫了個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？答案：本題使用錯(cuò)位排列，因此每封信都裝錯(cuò)的情況有n!種。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：中檔設(shè)集合S=1，2，50，求最小自然數(shù)，使S的任意一個(gè)元子集

18、中都存在兩個(gè)不同的數(shù)a和b，滿足。答案：設(shè)有a,bS滿足(a+b)|ab，記c=(a, b)，于是a=ca1, b=cb1，其中a1, b1N+且有（a1,b1）=1, a1b1，不妨設(shè)a1>b1。由于a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，因此（a1+b1）|ca1b1。又由于（a1+b1, a1）=1, （a1+b1, b1）=1, 因此a1+b1|c。而a+b99，即c（a1+b1）99，所以3a1+b19。由此可知，S中滿足(a+b)|ab的不同數(shù)對(duì)（a, b）共有23對(duì)：當(dāng)a1+b1=3時(shí)，有（6，3），（12，6），（18，9），（24，12），（30，15），（36

19、，18），（42，21），（48，24）；當(dāng)a1+b1=4時(shí)，有（12，4），（24，8），（36，12），（48，16），當(dāng)a1+b1=5時(shí)，有（20，5），（40，10），（15，10），（30，20），（45，30）；當(dāng)a1+b1=6時(shí)，有（30，6）；當(dāng)a1+b1=7時(shí)，有（42，7），（35，14），（28，21）；當(dāng)a1+b1=8時(shí)，有（40，24）；當(dāng)a1+b1=9時(shí)，有（45，36）。令M=6，12，15，18，20，21，24，35，40，42，45，48，則上述23個(gè)數(shù)對(duì)中的每一個(gè)數(shù)都至少包含M中的1個(gè)元素。令T=S-M。則T中任何兩數(shù)都不能成為滿足要求的數(shù)對(duì)（a,b）。因

20、為|T|=38，所以所求最小自然數(shù)k39.另一方面，下列12個(gè)滿足題中要求的數(shù)對(duì)互不相交：（6，3），（12，4），（20，5），（42，7），（24，8），（18，9），（40，10），（35，14），（30，15），（48，16），（28，21），（45，36），對(duì)于S中任一39元子集R，它只比S少11個(gè)元素，而這11個(gè)元素至多屬于上述12個(gè)數(shù)對(duì)中的11個(gè)，因此必有12對(duì)中的1對(duì)屬于R。故所求的最小自然數(shù)k=39.來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)是20個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。答案：所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為10

21、0。首先，令ai=1011+10i, a10+i=1011-10i(i=1,2,，10)，則ai+aj|ij20中共有（20+19+1）-10+1=201個(gè)不同的元素，而ai-aj|1ij20=2×10ii=1，2，10|10i10j|1i<j10共有10+2=100個(gè)不同的元素。下面用反證法證明：所給集合的不同元素的個(gè)數(shù)不小于100。若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于100的集合S=a1, a2, ,a10，我們計(jì)算S的“好子集”x,y,z,w的個(gè)數(shù)，這里x<yz<w，且x+w=y+z.對(duì)S中滿足b>c的數(shù)對(duì)（b,c）（共190對(duì)），考慮它們的差b-c，由于

22、至多有99個(gè)不同的差（這里用反證法假設(shè)），故必須至少91個(gè)數(shù)對(duì)（b, c），使得存在b, c S，滿足b<b, c<c, 且b-c=b-c，對(duì)這樣的91個(gè)數(shù)對(duì)（b, c），它與其相應(yīng)的b, c 形成S的一個(gè)4元集b, c, b, c，可得到S的一個(gè)“好子集”x, y, z, w，且至多兩個(gè)數(shù)對(duì)（b, c）形成相同的子集x, y ,z, w（只能是（b,c）=(w, z)和（w, y），故S的“好子集”至少有46個(gè)。另一方面，S的“好子集”x, y, z,w的個(gè)數(shù)等于，這里的si為S中滿足b+c=I, bc的數(shù)對(duì)（b, c）的個(gè)數(shù)，其中i為正整數(shù)。注意到，對(duì)于每個(gè)i, S中的每個(gè)元素

23、s至多出現(xiàn)在上面的一個(gè)數(shù)對(duì)（b, c）中（事實(shí)上，當(dāng)si-s時(shí)，s出現(xiàn)在數(shù)對(duì)（s, i-s）中，其余情況出現(xiàn)在（i-s, s）中），于是si10.從而在時(shí)1 si10，故，由于集合ai+aj|1ij20中有201個(gè)不同的元素，故使得si1的正數(shù)i有201個(gè)。設(shè)T為這樣的i組成的集合，易知s中有對(duì)（b,c）滿足b<c，有20對(duì)（b,c）滿足b=c,所以，于是=5×（210-201）。這與s的“好子集”至少有46個(gè)矛盾，所以，所給集合中至少有100個(gè)不同的元素。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合1，2，3n可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正

24、整數(shù)答案：設(shè)其中第個(gè)三元集為則1+2+所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為5。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)S是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。答案：證明：用反證法：設(shè)S為一個(gè)由2n個(gè)人組成的集合，S中每兩個(gè)人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)，S中的任意一個(gè)人A，記M=F1，F(xiàn)n為A的朋友集?？梢宰C明：每個(gè)A，k都為偶數(shù)。事實(shí)上，對(duì)每個(gè)FiM，考慮它在M中的朋友數(shù)，所有這k個(gè)Fi的這些朋友數(shù)之和為偶數(shù)（因?yàn)榕笥咽窍嗷サ模鴮?duì)A，F(xiàn)

25、i而言，其公共朋友數(shù)為奇數(shù)，故每個(gè)Fi的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)，故k為偶數(shù)。設(shè)k=2m，現(xiàn)在考慮每個(gè)FiM，他的所有朋友集不包括A，但不局限于M中他的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)（因?yàn)镕i的朋友數(shù)為偶數(shù)，而A不算在內(nèi)）。因此，所有2m個(gè)這樣的朋友集的元素個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。從而在2n-1個(gè)人（A除外）中，必有一個(gè)人在偶數(shù)個(gè)這樣的朋友集中出現(xiàn)，但與A的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。這個(gè)矛盾表明有兩個(gè)S中的人，他們的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合，試作出X的三元子集族&，滿足：（1）X的任意一個(gè)二元子集至少被族&中的一個(gè)三元子集包含；（2）。答案：先證明下面的引理。引理

26、：對(duì)于nN+，集合X1=1，2，2n的全部二元子集可分成2n-1組，且每組是X1的一個(gè)分劃。引理的證明：如圖所示，將1，2，2n-1個(gè)數(shù)按順時(shí)針方向放到一個(gè)正2n-1邊形的頂點(diǎn)上，數(shù)2n放在外接圓圓心上。連接2n與1，作n-1條以2n-1邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于1與2n連線的線段，便得到X1的n個(gè)二元子集構(gòu)成X1的n個(gè)二元子集。這樣，X1的全部個(gè)二元子集被分成2n-1組，且每組n個(gè)集合構(gòu)成X1的一個(gè)分劃。下面來做滿足題設(shè)的子集族。令A(yù)=1，2，2k，B=2k+1,2k+2,4k，C=4k+1,4k+2,6k。由引理可知，A的全部二元子集可分為2k-1組，每組是A的一個(gè)分劃。將其中一組重復(fù)一次，得

27、到A的2k個(gè)分劃，讓其中每個(gè)分劃與B的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集。類似地，作出B的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含B的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與C的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集；作出C的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含C的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與A的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集。上面得到的k×2k×3=6k2個(gè)X的三元子集組成的族&滿足題設(shè)要求。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）。答案：先證，若，因?yàn)?，所以，所以；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，來源：08年

28、數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)集合A= B=C=，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。答案：假設(shè)存在這樣的，則，所以與均無解，由得。）若，則有實(shí)根，所以。）若，則無解，所以。由得，即無解，所以。化簡得，所以。（1）若，則不成立；（2）若，則仍不成立；（3）若，由式得，所以或2，又當(dāng)時(shí)式不成立。所以，反之時(shí)，均成立，從而，無解，所以存在滿足條件。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)。答案：（1）集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB，BA，中

29、的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有310個(gè)。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有1022個(gè)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值。答案：設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，

30、不妨設(shè)它是1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以20個(gè)中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以。當(dāng)時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5

31、，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。答案：將I的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個(gè)子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：答案：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。下證

32、當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾， 所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。（）若，考慮，有或，即，這時(shí)，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。答案：記，由容斥原理， ，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個(gè)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難S是集合1，2，2004

33、的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個(gè)元素？答案：將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S，將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)?004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個(gè)元素。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難 ，若，求答案：依題設(shè)，再由解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以?，所以或3

34、。因?yàn)椋?，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難已知關(guān)于的不等式組的解集為（）集合，若，求的取值范圍；答案：（）由不等式組得，當(dāng)，即時(shí)，滿足；當(dāng)，即時(shí)，所以，解得，所以綜述上面情況，的取值范圍是 （）滿足不等式組的整數(shù)解僅有，所以且，解得，所以的取值范圍是分來源：09年江蘇鹽城月考二題型：解答題，難度：中檔已知集合B=（1）當(dāng)a=2時(shí)，求；（2）求使的實(shí)數(shù)a的取值范圍；答案：（1）當(dāng)a=2時(shí)，（2） 當(dāng)要使，此時(shí)a=1；當(dāng)?shù)腶不存在；當(dāng)要使綜上可知，使的實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，3來源：09年湖南月考三題型：解答題，難度：較難 已知集合，

35、（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)全集為R，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。答案：()， , () ， 來源：09年江蘇南通月考一題型：解答題，難度：較難已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，.其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和.若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì).(1)檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；(2)對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明：；(3)判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.答案：(1)解：集合不具有性質(zhì).集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，.(2)證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè).因?yàn)椋?；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最

36、多為，即.（III）解：，證明如下：（1）對(duì)于，根據(jù)定義，且，從而.如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立.故與也是的不同元素.可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，（2）對(duì)于，根據(jù)定義，且，從而.如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也不至少有一個(gè)不成立，故與也是的不同元素.可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，由（1）（2）可知，.來源：07年高考北京卷題型：解答題，難度：較難已知集合求：（1）；（2）；（3）若，求的取值范圍。答案：（1）; （2） （3） 來源：09年江蘇高郵月考一題型：解答題，難度：中檔(文）某班共30人，其中

37、15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_答案：設(shè)所求人數(shù)為，則只喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，故. 注：最好作出韋恩圖！來源：09年高考湖南卷題型：填空題，難度：容易(文）設(shè)集合A=(xlog2x<1), B=(x<1), 則A= .答案： . 【解析】易得A= B= AB=.來源：09年高考湖北卷題型：填空題，難度：中檔某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_答案：12【解析】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為人，則只喜愛籃球的有人，只喜愛乒乓

38、球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人數(shù)為12人。.來源：09年高考湖南卷題型：填空題，難度：中檔(文）若是小于9的正整數(shù)，是奇數(shù)，是3的倍數(shù)，則 .答案： . 解法1，則所以，所以解析2，而來源：09年高考重慶卷題型：填空題，難度：容易若，則 .答案：（0，3）【解析】因?yàn)樗詠碓矗?9年高考重慶卷題型：填空題，難度：容易(文)設(shè)全集，若，則集合B=_.答案：2，4，6，8【解析】來源：09年高考天津卷題型：填空題，難度：中檔(文）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有

39、6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有 人。答案：8. 解析:由條件知,每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組,故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組, 設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為,則. .,由公式易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.來源：09年高考陜西卷題型：填空題，難度：中檔已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：a1 【解析】因?yàn)锳B=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a1。來源：09年高考上海卷題型：填空題，難度：容易(文）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是A的一個(gè)“孤立元”，給定，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè).答案：6【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問